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El análisis funcional es una rama de las matemáticas modernas y pertenece al análisis. El principal objeto de investigación es el espacio formado por funciones. El análisis funcional se desarrolló a partir del estudio de las propiedades de las transformaciones (como las transformadas de Fourier) y del estudio de ecuaciones diferenciales e integrales. El uso de funcionales como expresiones proviene del cálculo de variaciones, expresando funciones por funciones. Stefan Banach es uno de los principales fundadores de la teoría del análisis funcional, y el matemático y físico Vito Volterra ha hecho grandes contribuciones a la aplicación generalizada del análisis funcional. Edite esta sección Descripción general de los espacios lineales normados Desde un punto de vista moderno, el análisis funcional estudia principalmente espacios lineales normados completos en el dominio de los números reales o en el dominio de los números complejos. Este tipo de espacio de análisis funcional se llama espacio de Banach. El caso especial más importante del espacio de Banach se llama espacio de Hilbert, y la norma en él se deriva de un producto interno. Este espacio es la base para la descripción matemática de la mecánica cuántica. Un análisis funcional más general también estudia al P.? Los espacios chet y los espacios vectoriales topológicos no tienen normas definidas. Un objeto importante del análisis funcional son los operadores lineales continuos en el espacio de Banach y el espacio de Hilbert. Este tipo de operador puede derivar los conceptos básicos del álgebra C* y otras álgebras de operadores. Espacios de Hilbert Los espacios de Hilbert se pueden clasificar completamente mediante la siguiente conclusión: para dos espacios de Hilbert cualesquiera, si la cardinalidad de sus bases es igual, entonces deben ser isomorfos. Para un espacio de Hilbert de dimensión finita, los operadores lineales continuos son transformaciones lineales estudiadas en álgebra lineal. Para el espacio de Hilbert de dimensión infinita, cualquier morfismo en él se puede descomponer en morfismos de dimensiones contables (base 50), por lo que el análisis funcional estudia principalmente el espacio de Hilbert y sus morfismos de dimensiones contables. Un problema no resuelto en los espacios de Hilbert es si existe un subespacio verdaderamente invariante para cada operador en el espacio de Hilbert. La respuesta a esta pregunta es sí en algunos casos concretos. El espacio de Banach general es relativamente complejo. Por ejemplo, no existe un método universal para construir un conjunto de bases sobre él. Para cada número real p, si p? 1. Un ejemplo de espacio de Banach es el espacio formado por funciones medibles de Lebesgue, para las cuales el análisis funcional integral de todos los valores absolutos converge en p potencias. (Ver espacio Lp) En el espacio de Banach, una parte considerable de la investigación involucra el concepto de espacio dual, es decir, el espacio formado por todos los funcionales lineales continuos en el espacio de Banach. El espacio dual de un espacio dual puede ser diferente del espacio original, pero siempre se puede construir un homomorfismo de un espacio dual desde un espacio de Banach a su espacio dual. El concepto de diferenciación se puede generalizar en los espacios de Banach. Los operadores diferenciales actúan sobre todas las funciones y el diferencial de una función en un punto dado es una aplicación lineal continua. Edite los principales resultados y teoremas de este párrafo. Los principales teoremas del análisis funcional incluyen: 1. El teorema acotado consistente (también conocido como teorema explícito) describe las propiedades de una familia de operadores acotados. 2. El teorema espectral incluye una serie de resultados, el más comúnmente utilizado da la expresión integral del operador normal en el espacio de Hilbert y juega un papel central en la descripción matemática de la mecánica cuántica. 3.El teorema de Hahn-Banach estudia cómo extender los operadores desde un subespacio a todo el espacio de una manera que preserve la norma. Otro resultado relacionado son las propiedades no triviales de los espacios duales. 4. Teorema de mapeo abierto y teorema de imagen cerrada. La mayoría de los espacios estudiados por el análisis funcional y el análisis funcional del axioma de elección en este párrafo son infinitos. Para demostrar la existencia de un conjunto de bases en un espacio vectorial de dimensión infinita, se debe utilizar el teorema de Zorn.
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