¿Para qué sirve el análisis funcional? ¿Qué estudia el análisis funcional? Para aprender funciones funcionales, en primer lugar, ¿qué estudian los estudios funcionales? Se puede explicar mediante el siguiente diagrama: 1. El mapeo se refiere a operadores y funcionales. 2. Espacio: X es una colección de objetos definidos en un determinado campo numérico. Si X es un espacio lineal, entonces es un espacio lineal con distancias. Si asigna una norma a X, es un espacio lineal normado. Especificar un producto interno para X es un espacio de producto interno (también un espacio lineal normado). Los estudiantes interesados ​​en la dirección del control pueden consultar el libro de texto "Análisis funcional aplicado: bases matemáticas del control automático". Autor: Tsinghua University Press Autor: Han (Universidad Jiaotong) Este libro puede ser leído por estudiantes de posgrado y estudiantes de doctorado. ¿Cuál es el análisis funcional en este párrafo? El análisis funcional es una rama de las matemáticas modernas y pertenece al análisis. El principal objeto de investigación es el espacio formado por funciones. El análisis funcional se desarrolló a partir del estudio de las propiedades de las transformaciones (como las transformadas de Fourier) y del estudio de ecuaciones diferenciales e integrales. El uso de funcionales como expresiones proviene del cálculo de variaciones, expresando funciones por funciones. Stefan Banach es uno de los principales fundadores de la teoría del análisis funcional, y el matemático y físico Vito Volterra ha hecho grandes contribuciones a la aplicación generalizada del análisis funcional. Edite esta sección Descripción general de los espacios lineales normados Desde un punto de vista moderno, el análisis funcional estudia principalmente espacios lineales normados completos en el dominio de los números reales o en el dominio de los números complejos. Este tipo de espacio de análisis funcional se llama espacio de Banach. El caso especial más importante del espacio de Banach se llama espacio de Hilbert, y la norma en él se deriva de un producto interno. Este espacio es la base para la descripción matemática de la mecánica cuántica. Un análisis funcional más general también estudia al P.? Los espacios chet y los espacios vectoriales topológicos no tienen normas definidas. Un objeto importante del análisis funcional son los operadores lineales continuos en el espacio de Banach y el espacio de Hilbert. Este tipo de operador puede derivar los conceptos básicos del álgebra C* y otras álgebras de operadores. Espacios de Hilbert Los espacios de Hilbert se pueden clasificar completamente mediante la siguiente conclusión: para dos espacios de Hilbert cualesquiera, si la cardinalidad de sus bases es igual, entonces deben ser isomorfos. Para un espacio de Hilbert de dimensión finita, los operadores lineales continuos son transformaciones lineales estudiadas en álgebra lineal. Para el espacio de Hilbert de dimensión infinita, cualquier morfismo en él se puede descomponer en morfismos de dimensiones contables (base 50), por lo que el análisis funcional estudia principalmente el espacio de Hilbert y sus morfismos de dimensiones contables. Un problema no resuelto en los espacios de Hilbert es si existe un subespacio verdaderamente invariante para cada operador en el espacio de Hilbert. La respuesta a esta pregunta es sí en algunos casos concretos. El espacio de Banach general es relativamente complejo. Por ejemplo, no existe un método universal para construir un conjunto de bases sobre él. Para cada número real p, si p? 1. Un ejemplo de espacio de Banach es el espacio formado por funciones medibles de Lebesgue, para las cuales el análisis funcional integral de todos los valores absolutos converge en p potencias. (Ver espacio Lp) En el espacio de Banach, una parte considerable de la investigación involucra el concepto de espacio dual, es decir, el espacio formado por todos los funcionales lineales continuos en el espacio de Banach. El espacio dual de un espacio dual puede ser diferente del espacio original, pero siempre se puede construir un homomorfismo de un espacio dual desde un espacio de Banach a su espacio dual. El concepto de diferenciación se puede generalizar en los espacios de Banach. Los operadores diferenciales actúan sobre todas las funciones y el diferencial de una función en un punto dado es una aplicación lineal continua. Edite los principales resultados y teoremas de este párrafo. Los principales teoremas del análisis funcional incluyen: 1. El teorema acotado consistente (también conocido como teorema explícito) describe las propiedades de una familia de operadores acotados. 2. El teorema espectral incluye una serie de resultados, el más comúnmente utilizado da la expresión integral del operador normal en el espacio de Hilbert y juega un papel central en la descripción matemática de la mecánica cuántica. 3.El teorema de Hahn-Banach estudia cómo extender los operadores desde un subespacio a todo el espacio de una manera que preserve la norma. Otro resultado relacionado son las propiedades no triviales de los espacios duales. 4. Teorema de mapeo abierto y teorema de imagen cerrada. La mayoría de los espacios estudiados por el análisis funcional y el análisis funcional del axioma de elección en este párrafo son infinitos. Para demostrar la existencia de un conjunto de bases en un espacio vectorial de dimensión infinita, se debe utilizar el teorema de Zorn.

Además, los teoremas más importantes del análisis funcional se basan en el teorema de Hanbanach, que en sí mismo es una forma del axioma de elección más débil que el teorema del ideal primo booleano. Edite este párrafo Estado de la investigación del análisis funcional El análisis funcional actualmente incluye las siguientes ramas: 1. El objetivo del análisis suave es expresar el análisis matemático en el lenguaje de grupos topológicos, anillos topológicos y espacios vectoriales topológicos. 2. Una serie de obras de Jean Bourgain representan la estructura geométrica del espacio de Banach. 3. Geometría no conmutativa. Los principales contribuyentes en esta dirección incluyen a Alain Connes. Parte de su trabajo se basa en los resultados de la teoría ergódica de George Mackey. 4. Las teorías relacionadas con la mecánica cuántica se denominan física matemática en sentido estricto y, desde una perspectiva más amplia, como la describe Israel Gelfand, abarcan la mayoría de los tipos de problemas de la teoría representacional. Desde el siglo XIX, el desarrollo de las matemáticas ha entrado en una nueva etapa. Es decir, gracias al estudio del quinto postulado de Euclides, se introdujo un nuevo tema: la geometría no euclidiana. Para la idea general de resolver ecuaciones algebraicas, finalmente se estableció y desarrolló la teoría de grupos; el estudio del análisis matemático estableció la teoría de conjuntos. Estas nuevas teorías preparan las condiciones para resumir los conceptos y métodos básicos del análisis clásico desde un punto de vista unificado. A principios de este siglo, las semillas de la ciencia del análisis generalizado aparecieron en los trabajos publicados por el matemático sueco Vlitholm y el matemático francés Adama. Posteriormente, Hilbert y Hailingzhe vinieron a realizar investigaciones sobre los espacios de Hilbert. En la década de 1920, el campo de las matemáticas formó gradualmente el concepto básico de análisis general, es decir, análisis funcional. A medida que se formaron muchos departamentos nuevos de análisis, se reveló que muchos conceptos y métodos de análisis, álgebra y conjuntos a menudo tienen similitudes. Por ejemplo, el método de aproximación sucesiva se puede utilizar para encontrar las raíces de ecuaciones algebraicas y resolver ecuaciones diferenciales. Las condiciones para la existencia y unicidad de las soluciones son muy similares. Esta similitud es aún más prominente en la teoría de ecuaciones integrales. El surgimiento del análisis funcional está precisamente relacionado con esta situación, y algunas cosas aparentemente no relacionadas también tienen similitudes. Por lo tanto, inspira a las personas a explorar la esencia verdadera y universal de estas cosas similares. El establecimiento de la geometría no euclidiana ha ampliado la comprensión del espacio por parte de las personas. El surgimiento de la geometría espacial N-dimensional nos permite utilizar el lenguaje de la geometría para interpretar funciones multivariadas en el impacto del espacio multidimensional. De esta forma se muestra la similitud entre análisis y geometría, y existe la posibilidad del análisis geométrico. Esta posibilidad requiere una mayor generalización del concepto de geometría y, finalmente, la expansión del espacio euclidiano a un espacio de dimensiones infinitas. En este momento, al concepto de función se le dio un significado más general. El concepto de función en el análisis clásico se refiere a una relación de correspondencia establecida entre dos conjuntos de datos. Sin embargo, el desarrollo de las matemáticas modernas requiere el establecimiento de una correspondencia entre dos conjuntos arbitrarios. Aquí primero presentamos el concepto de operadores. Los operadores también se llaman operadores. Matemáticamente, la transformación de un espacio de dimensiones infinitas a un espacio de dimensiones infinitas se llama operador. El estudio de la teoría funcional y de operadores en espacios lineales de dimensión infinita dio lugar a un nuevo tipo de matemática analítica llamado análisis funcional. En la década de 1930, el análisis funcional se había convertido en una disciplina independiente de las matemáticas. La característica del análisis funcional y el contenido de este párrafo es que no solo resume los conceptos y métodos básicos del análisis clásico, sino que también los geometriza. Por ejemplo, diferentes tipos de funciones pueden considerarse como puntos o vectores en el espacio funcional, obteniendo finalmente el concepto general de espacio abstracto. Incluye no sólo los objetos geométricos discutidos anteriormente, sino también diferentes espacios funcionales. El análisis funcional es una herramienta poderosa para estudiar la física moderna. El espacio n-dimensional se puede utilizar para describir el movimiento de un sistema mecánico con n grados de libertad. De hecho, se necesitan nuevas herramientas matemáticas para describir un sistema mecánico con infinitos grados de libertad. Por ejemplo, la vibración de una viga es un ejemplo de sistema mecánico con infinitos grados de libertad. En términos generales, la transición de la mecánica de partículas a la mecánica del continuo requiere la transición de un sistema con grados de libertad limitados a un sistema con grados de libertad infinitos. La teoría cuántica de campos en la física moderna pertenece a un sistema con infinitos grados de libertad. Así como estudiar un sistema con grados de libertad limitados requiere la geometría y el cálculo del espacio N-dimensional como herramientas, estudiar un sistema con grados de libertad infinitos requiere geometría y análisis del espacio infinito, que es el contenido básico del análisis funcional. Por lo tanto, el análisis funcional también puede denominarse coloquialmente como la geometría y el cálculo de espacios de dimensiones infinitas.