(1) Si eliges cualquiera de estos libros, ¿cuántas formas diferentes hay?
(2) Si tomas un libro de matemáticas, un libro chino y un libro en inglés de estos libros, ¿cuántas formas diferentes hay?
(3) Si de estos libros se sacan dos libros con diferentes temas, ¿cuántas formas diferentes hay?
Solución: (1) Como puedes conseguir un libro de la estantería, es necesario clasificarlo. Como hay tres tipos de libros, puedes dividirlos en tres categorías. Luego, según el principio de la suma, el número de libros que obtienes es: 3 5 6 = 14.
(2) Sacar 1 libro de matemáticas, un libro chino y un libro en inglés de la estantería debe completarse en tres pasos. Según el principio de multiplicación, el número de métodos diferentes es 3×5×6=90 (tipos).
(3) Si tomas dos libros de diferente temática de la estantería, hay tres situaciones (1 libro en varios idiomas, 1 libro en varios ingleses y 1 libro en inglés. Cada situación requiere dos). Pasos. Entonces tenemos que calcular el número de métodos diferentes basándonos en los dos principios de la suma y la multiplicación:
3×5 3×6 5×6=63 (tipos).
Ejemplo 2. Dados dos conjuntos A = {1, 2, 3} y B = {a, B, c, d, e}, ¿cuántas asignaciones diferentes se pueden establecer de A a B?
Análisis: Primero que nada es necesario aclarar “esto se refiere a mapeo, ¿qué es mapeo?” Es decir, para cada elemento en A, existe un elemento único en b. ”
Dado que hay tres elementos en A, necesitas encontrar una casa en B, y los tres elementos deben completarse, por lo que debe hacerse en tres pasos. establecer Según el principio de multiplicación, el número de mapas diferentes que se pueden crear es: 5×5×5=53 (tipos)
2 Dos fórmulas para el número de permutaciones y el número de combinaciones<. /p> p>
Hay dos formas de fórmulas de números de permutación y combinación, una es la forma de producto continuo, que se usa principalmente para el cálculo; la segunda es la forma factorial, que se usa principalmente para la simplificación y la prueba. /p>
La forma factorial del producto continuo
La ecuación se cumple.
Comentario: Este es un problema de prueba de ecuaciones de permutación, usando la forma del cociente factorial. usando las propiedades del factorial: n! (n 1)=(n 1)! El proceso de deformación se puede simplificar
Ejemplo 4. Solución: La ecuación original se puede simplificar a:
<. p>La solución es x=3.Comentarios: Al resolver ecuaciones dadas por números de permutación y números de combinación, preste atención a la relación entre los elementos extraídos y los elementos extraídos en las definiciones de números de permutación y números de combinación. , y antes de eliminar los símbolos, todas son limitaciones importantes de los números naturales.
3. Preguntas de aplicación de permutación y combinación
En preguntas de matemáticas del examen de ingreso a la universidad anteriores, preguntas de permutación y combinación. generalmente tiene ciertas restricciones; El contenido y los escenarios de estas preguntas de aplicación son diversos y las soluciones siguen siendo regulares.
Los métodos generales son: método directo y método indirecto. 1) Se divide en dos categorías en el método directo. Si el problema se puede dividir en categorías mutuamente excluyentes, según el principio de suma, se puede utilizar la clasificación si el problema considera el orden, según el principio de multiplicación; Se puede utilizar el método de ocupación.
(2) El método indirecto generalmente resuelve el problema eliminando el lado opuesto del problema.
Métodos especiales:
(1) Posición del elemento especial: prioridad. Existen requisitos especiales para los elementos o posiciones, y luego se consideran otros elementos o posiciones.
(2) Método de vinculación: ciertos elementos deben organizarse juntos y combinarse estrechamente. un grupo usando el "método de enlace". Organizar por separado fuera del grupo
(3) Método de interpolación: algunos elementos deben separarse y organizarse juntos usando el "método de interpolación", y aquellos que no necesitan hacerlo. estar separados deben estar dispuestos en puestos vacantes.
(4) Otros métodos
Ejemplo 5.7 las personas forman una fila y encuentran el número de arreglos diferentes que cumplen con los siguientes requisitos.
(1) El medio de la fila A; (2) A no está dispuesto en ambos extremos; (3) A y B son adyacentes
(4) A es el a la izquierda de B (no requerido Adyacente); (5) Partido A, B y Partido C;
(6) Partido A, Partido B y Partido C no son adyacentes.
Solución: (1) El medio de la fila A es una "ubicación especial" y se le dará prioridad a la ubicación. Sólo hay una forma de pararse, y las otras seis personas están dispuestas al azar, por lo que hay: 1×=720 disposiciones diferentes.
(2) Si la Parte A no arregla ambos extremos, también es una cuestión de "posición especial". El grupo de colocación prioritaria A tiene semillas en cualquiera de las cinco posiciones intermedias, y las seis personas restantes pueden colocar las semillas a voluntad, por lo que * * * hay = 3600 arreglos diferentes.
(3) La Parte A y la Parte B son adyacentes y pertenecen al "método de agrupación". A y B se combinan para formar un "elemento", y las otras 5 personas organizan aleatoriamente los 6 elementos y luego los organizan en los grupos A y B, por lo que hay = 1400 arreglos diferentes.
(4) A está a la izquierda de B.. Considerando todos los arreglos formados por una fila de 7 personas, los arreglos de "A está a la izquierda de B" y "A está a la derecha de B" son correspondencia uno a uno, cuando no se requiere adyacencia, cada arreglo representa la mitad de todos los arreglos, por lo que hay = 2520 arreglos diferentes de A a la izquierda de B.
(5) La yuxtaposición de A, B y C es también una disposición en la que ciertos elementos deben estar juntos. Usando el "método de unión", primero combine A, B y C en un "elemento", y los otros 4 a 5 "elementos" se organizan al azar. Ahora las partes A, B y C intercambian lugares, por lo que hay = 720 arreglos diferentes.
(6) Las partes A, B y C no son adyacentes y son acuerdos separados en los que algunos elementos no pueden estar juntos. Utilice el método de "insertar agujeros" para alinear a cuatro personas que no sean los Partidos A, B y C en una fila, formando cinco "vacíos" entre cada dos personas a la izquierda y a la derecha. Luego inserte A, B y C en los tres "espacios" y luego * * * estará allí.
=1440 arreglos diferentes.
Ejemplo 6. Utilice los seis números 0, 1, 2, 3, 4 y 5 para formar un número no repetido de cinco dígitos y calcule los siguientes tipos de números respectivamente:
(1) Números impares ( 2) 5 Múltiplos; (3) Números mayores que 20300; (4) Los números que no contienen el número 0 no son adyacentes a 1 y 2.
Solución: (1) Número impar: Para obtener un número impar de 5 dígitos, hay tres pasos. El primer paso es seleccionar un número entre 1, 3 y 5 para ordenar los dígitos, considerando que la cantidad de dígitos debe ser un número impar. En el segundo paso, considere que el primer número no puede ser 0 y elija uno de los cuatro números restantes que no sea 0 para ocupar el primer lugar.
Paso 3: Elige 3 números de los 4 números restantes y clasifícalos en el medio de los 3 números. Según el principio de multiplicación, * * * hay = 388 (números).
(2) Se utilizan múltiplos de 5:0 para la clasificación.
Categoría 1: Si 0 fuera un bit, tendría =120.
La segunda categoría: 0 no es un bit, o 5 es un bit, entonces =96.
Entonces * * * existe tal número: =216 (piezas).
(3) Los números de cinco dígitos mayores que 20300 se pueden dividir en tres categorías:
La primera categoría: 3 xxxx, 4 xxxx, 5 xxxx
La segunda categoría Categoría: 21xxx, 23xxx, 24xxx, 25xxx
La tercera categoría: 203xx, 204xx, 205xx, con uno,
Entonces, el número de cinco dígitos mayor que 20300 * * * es: = 474(piezas).
(4) Los números que no contienen el número 0 no son adyacentes al 1 y al 2: Completar en dos pasos. En el primer paso, los tres números 3, 4 y 5 se organizan en una fila; en el segundo paso, 1 y 2 se insertan en dos posiciones de los cuatro "espacios en blanco", por lo que * * * hay = 72 cinco sin ellos. el número 0 Número de dígitos, 1 y 2 no son adyacentes.
Ejemplo 7. Una línea recta separa un círculo. Los seis puntos de la recta son A1, A2, A3, A4, A5, A6 y los cuatro puntos del círculo son B1, B2, B3 y B4.
¿Cuántas líneas rectas se pueden obtener como máximo? ¿Cuántas personas hay por lo menos?
Solución: Cuando se obtienen las líneas más rectas, es decir, rectas sin tres puntos, se pueden dividir en tres categorías:
La primera categoría es conectar un punto en un punto conocido línea recta y un círculo El número de líneas rectas en un punto = 24;
La segunda categoría es el número de líneas rectas trazadas desde dos puntos cualesquiera del círculo = 6;
Se sabe que la tercera categoría tiene 1 línea recta, por lo que el mayor número de líneas rectas es n 1 = 1 = 31 (líneas).
Cuando el número de líneas rectas obtenidas es menor, es decir, el número de líneas rectas superpuestas es mayor, es más conveniente utilizar el método de eliminación para restar el número de palabras superpuestas. Las líneas rectas son las líneas rectas que conectan dos puntos en el círculo. La eliminación de duplicados es el número mínimo de líneas rectas: N2 = n 1-2 = 31-12 = 19 (líneas).