¡Expertos en matemáticas, miren aquí! ! ! ¡Altas recompensas! ! ! ¡Voy a tomar el examen final para el primer grado de la escuela secundaria! ¡Dame algunas preguntas!

1 Sólo hay una línea recta entre dos puntos. 2El segmento de recta más corto entre dos puntos es 3. Los ángulos iguales o suplementarios del mismo ángulo son iguales. 4. Los ángulos iguales o suplementarios del mismo ángulo son iguales. 5. Sólo existe una recta perpendicular a la recta conocida. 6. Entre todos los segmentos de línea conectados a los puntos de la línea recta, el axioma paralelo más corto del segmento de línea vertical pasa por un punto fuera de la línea recta. Sólo hay una línea paralela a esta línea. 8Si dos rectas son paralelas a una tercera recta, entonces las dos rectas son paralelas entre sí. 9Los ángulos isósceles son iguales y dos rectas son paralelas entre sí. 10. Los ángulos internos son iguales y las dos rectas son paralelas entre sí. 11 es complementario al ángulo interior del lado, y las dos rectas son paralelas entre sí. 13. Dos rectas son paralelas. El ángulo de dislocación interna es igual a 14 y las dos rectas son paralelas. Teorema La suma de dos lados de un triángulo es mayor que el tercer lado 15. RazonamientoLa diferencia entre los dos lados del triángulo es menor que el tercer lado17. Teorema de la suma de los ángulos interiores de un triángulo La suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es igual a 180 18. Los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo se complementan19. Ángulos exteriores de un triángulo. De la suma de dos ángulos interiores no adyacentes se puede deducir que un ángulo exterior de un triángulo es mayor que el lado correspondiente de cualquier ángulo interior no adyacente, es decir, 21 triángulos congruentes, y el ángulo correspondiente es igual a 22. Axioma lateral (SAS) Hay dos triángulos con ángulos iguales. Axioma lateral (ASA) Hay dos triángulos con ángulos iguales. Axioma lateral (AAS) Hay dos triángulos con ángulos iguales. El axioma de lados de 25° congruente para dos triángulos correspondientes a dos ángulos y el lado opuesto de un ángulo (SSS) y el axioma de hipotenusa y ángulo recto de 26° congruente (HL) para dos triángulos correspondientes a tres lados. Dos triángulos rectángulos con hipotenusa y un lado rectángulo son congruentes. Teorema 1 Un punto de la bisectriz de un ángulo equidista de los dos lados del ángulo. Teorema 2: Un punto que equidista de ambos lados de un ángulo está en la bisectriz del ángulo. La bisectriz de los 29 ángulos es el conjunto de todos los puntos que equidistan de ambos lados del ángulo. 30 Propiedades del teorema del triángulo isósceles Los dos ángulos base de un triángulo isósceles son iguales (es decir, equilátero y equiangular). 31 Inferencia 1 La bisectriz del vértice de un triángulo isósceles biseca la base y es perpendicular a la bisectriz del vértice de la base 32 del triángulo isósceles. La línea central del borde inferior coincide con la altura del borde inferior. 33 Corolario 3 Todos los ángulos de un triángulo equilátero son iguales y cada ángulo es igual a 60° 34 Teorema de determinación de un triángulo isósceles. Si un triángulo tiene dos ángulos iguales, entonces los lados opuestos de los dos ángulos también son iguales (equiláteros) 35 Corolario 1 Un triángulo con tres ángulos iguales es un triángulo equilátero 36 Corolario 2 Un triángulo isósceles con un ángulo igual a 60° Es el triángulo equilátero 37 entre los triángulos rectángulos. Si un ángulo agudo mide 30°, entonces el lado del ángulo recto que subtiende es igual a la mitad de la hipotenusa. 38 La línea media de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la mitad de la hipotenusa. Teorema 39: La distancia entre un punto en la perpendicular media de un segmento de línea y los dos puntos finales del segmento de línea es igual. 40 Teorema inverso y el punto donde los dos extremos de un segmento de recta son iguales. En la perpendicular media de este segmento de línea, la perpendicular media del segmento de línea 41 puede considerarse como el conjunto de todos los puntos que están equidistantes de ambos extremos del segmento de línea. Teorema 42: Dos figuras que son simétricas respecto de una recta son congruentes. Teorema 43: Dos figuras son simétricas con respecto a una línea recta, entonces el eje de simetría es la línea media perpendicular. 44 Teorema 3: Dos figuras son simétricas con respecto a una línea recta. Si sus correspondientes segmentos o extensiones se cruzan, entonces el punto de intersección está en el eje de simetría. 45 Teorema inverso Si una línea recta que conecta los puntos correspondientes de dos figuras es bisecada perpendicularmente por la misma línea recta, entonces las dos figuras son simétricas con respecto a esta línea recta. 46 Teorema de Pitágoras La suma de los cuadrados de los dos lados rectángulos A y B de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa C, es decir, el teorema inverso de A^2+B^2 = C^2 47 Teorema de Pitágoras Si los tres lados del triángulo están relacionados A^2+B^2 = C^2, entonces este triángulo es un triángulo rectángulo. Teorema 48 La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es igual a 360° 49, y la suma de los ángulos interiores de un polígono es igual a 360° 50. Teorema La suma de los ángulos interiores de un n-polígono es igual a (n-2) × 180 51. Se deduce que la suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono es igual a 360° 52°. Propiedades del teorema 1 del paralelogramo La diagonal de un paralelogramo es igual a 53. Teorema 2: Los lados opuestos de un paralelogramo son iguales. 54. Inferencia de que rectas paralelas entre dos rectas paralelas son iguales. 55. Teorema 3 de las propiedades del paralelogramo. Las diagonales de un paralelogramo bisecan 56. Teorema 1 del juicio del paralelogramo. Dos conjuntos de paralelogramos con diagonales iguales son paralelogramos. 57. Teorema 2 del juicio del paralelogramo. Un paralelogramo con dos lados iguales es un paralelogramo. 58. Teorema 3 del juicio del paralelogramo.

Las diagonales son recíprocas. Un cuadrilátero bisectado es un paralelogramo 59 Teorema 4 de determinación del paralelogramo. Un conjunto de paralelogramos con lados opuestos iguales es un paralelogramo 60. Teorema 1 de propiedades del rectángulo. Las cuatro esquinas de un rectángulo son todas ángulos rectos61. Teorema 2 de propiedades del rectángulo. Las diagonales de un rectángulo son iguales a 62. Teorema 1 de determinación del rectángulo. Un cuadrilátero con tres ángulos rectos es un rectángulo63. Teorema 2 de determinación del rectángulo. Un paralelogramo con diagonales iguales es un momento. Forma 64 Propiedades del rombo Teorema 1 Los cuatro lados de un rombo son iguales. 65 Propiedades del rombo Teorema 2 Las diagonales de un rombo son perpendiculares entre sí y cada diagonal biseca un grupo de diagonales. 66El área de un rombo = la mitad del producto de sus diagonales. Es decir, S=(a×b)÷2 67 Teorema 1 de determinación del rombo Un cuadrilátero con cuatro lados iguales es un rombo 68 Teorema 2 de determinación del rombo Un paralelogramo con diagonales perpendiculares es un rombo 69 Teorema 1 de las propiedades del cuadrado Los cuatro ángulos de un cuadrado son todos ángulos rectos, los cuatro lados son iguales 70 Propiedades de los cuadrados Teorema 2 Las dos diagonales de un cuadrado son iguales y se bisecan perpendicularmente. Cada diagonal biseca un grupo de diagonales 71 Teorema 1 Dos figuras que son simétricas con respecto al centro son congruentes 72 Teorema 2 Para dos figuras que son simétricas con respecto al centro, la línea recta en el punto de simetría pasa por el centro de simetría y es bisecada por el centro de simetría 73 Teorema inverso Si las líneas rectas correspondientes a los puntos de dos figuras pasan por un punto y son bisecadas por el punto, entonces las dos figuras son simétricas con respecto al punto. 74Teorema de propiedades del trapezoide isósceles. Dos ángulos de un trapezoide isósceles sobre la misma base son iguales. 75 Las dos diagonales de un trapezoide isósceles son iguales. 76 trapecios isósceles tienen ángulos iguales en la misma base, que es un trapezoide isósceles. 77 Un trapezoide diagonal es un trapezoide isósceles. 78 Teorema de las rectas paralelas que bisecan los segmentos de recta. Si un conjunto de líneas paralelas cortadas en una línea recta son iguales, entonces los segmentos de línea cortados en otras líneas rectas también son iguales. 79 Corolario 1 A través de una línea recta paralela a la base del trapezoide, se debe bisecar la otra cintura 80. Corolario 2 Corolario 2 Una línea recta paralela al otro lado del triángulo debe bisectar el tercer lado 81 El teorema de la línea media de un triángulo es paralelo al tercer lado. E igual a la mitad. 82 El teorema de la línea media de un trapezoide es paralelo a las dos bases y es igual a la mitad de la suma de las dos bases. L=(a+b)÷2 S=L×h 83 (1) Propiedades básicas de la razón Si a:b=c:d, entonces ad=bc Si ad=bc, entonces A: B = C: D. Entonces (A B)/B = (C D)/D 85 (3) Propiedad isométrica Si A/B = C/D = … = M/N (B+D+…+N ≠ 0), entonces (A+C+…+ El Se infiere que el segmento de recta correspondiente obtenido por M)/(B+D) es que una recta paralela a un lado del triángulo corta los otros dos lados (o las líneas de extensión de ambos lados), y el segmento de recta correspondiente obtenido es proporcional a el teorema 88. Si los segmentos de recta correspondientes obtenidos al cortar dos lados de un triángulo (o una extensión de dos lados) con una línea recta son proporcionales, entonces esta línea recta es paralela al tercer lado del triángulo89, paralela a un lado del triángulo, y con el otro se cruzan dos aristas. Los tres lados del triángulo cortado corresponden proporcionalmente a los tres lados del triángulo original. Teorema 90: Una línea recta paralela a un lado de un triángulo corta los otros dos lados (o las líneas de extensión de ambos lados), y el triángulo formado es similar al triángulo original. Teorema 1 Determinación de triángulos semejantes Teorema 1 Dos ángulos son iguales. Semejanza de dos triángulos (ASA) 92 Un triángulo rectángulo dividido por la altura de la hipotenusa se divide en dos triángulos rectángulos Semejanza con el triángulo original 93 Teorema de juicio 2. Dos lados son proporcionales y sus ángulos son iguales. Teorema del juicio 3. Los tres lados son proporcionales. Teorema 95 de dos triángulos son similares (SSS) Dos triángulos rectángulos son similares si la hipotenusa y un lado rectángulo de un triángulo rectángulo son directamente proporcionales a la hipotenusa y un lado rectángulo de otro triángulo rectángulo. Teorema 1 Los triángulos semejantes corresponden a razones de altura. La razón entre la línea media correspondiente y la bisectriz del ángulo correspondiente es igual a la razón de similitud 97 Teorema de propiedad 2 La razón de los perímetros de triángulos similares es igual a la razón de similitud 98 Teorema de propiedad 3 La razón de las áreas de triángulos similares es igual a el cuadrado de la razón de semejanza 99 El seno de cualquier ángulo agudo es igual al coseno de los ángulos restantes, El coseno de cualquier ángulo agudo es igual al seno de los ángulos restantes, 100. La tangente de cualquier ángulo agudo es igual a la cotangente de los ángulos restantes. La cotangente de cualquier ángulo agudo es igual a la tangente de los ángulos restantes 101. Un círculo es un conjunto de puntos cuya distancia a un punto fijo es igual a una longitud fija de 102. El interior de un círculo puede verse como un conjunto de puntos cuya distancia al centro del círculo es menor que el radio 103. El círculo exterior de un círculo puede verse como un conjunto de puntos cuya distancia al centro del círculo es mayor que el radio 104. El radio del mismo círculo o círculo es igual a 13.

El lugar geométrico de los puntos cuya distancia es igual a una longitud fija es un círculo de longitud fija con un punto fijo como centro, un círculo de longitud fija con un radio de 106 y una distancia igual desde los dos puntos finales de un segmento de línea conocido, desde la perpendicular media 107 de un segmento de línea hasta un ángulo conocido El lugar geométrico del punto desde el cual ambos lados son equidistantes, desde la bisectriz 108 de este ángulo hasta el punto que está equidistante entre las dos líneas paralelas, y desde el lugar geométrico. del punto que equidista de las dos rectas paralelas. 110 Teorema del diámetro perpendicular Biseca la cuerda perpendicular al diámetro de la cuerda y biseca los dos arcos opuestos a la cuerda 111 Corolario 1 ① Biseca el diámetro (no el diámetro) de la cuerda perpendicular a la cuerda, y las perpendiculares de los dos arcos opuesto a la cuerda pasa por el centro del círculo, los dos arcos ③ que son opuestos a la cuerda bisecan la cuerda. Y el otro arco que divide la cuerda es 112. Se infiere que los arcos encerrados por dos cuerdas paralelas del círculo 2 son iguales. El círculo 113 es una figura centralmente simétrica con el centro del círculo como centro de simetría. Teorema 114: En un mismo círculo o dentro de un mismo círculo, los arcos subtendidos por ángulos centrales iguales son iguales y las cuerdas subtendidas también son iguales. Los pares de cuerdas tienen distancias iguales entre ellas. 115 Se infiere que en un mismo círculo o dentro de un mismo círculo, si la distancia entre dos ángulos centrales, dos arcos, dos cuerdas o dos cuerdas es igual, entonces los demás conjuntos de cantidades correspondientes son iguales. Teorema 116: El ángulo circunferencial de un arco es igual a la mitad de su ángulo central. Dentro de un mismo círculo o círculos iguales, los arcos opuestos a ángulos circunferenciales iguales también son iguales. 118 Corolario 2 Un semicírculo (o diámetro) es un ángulo recto; la cuerda subtendida por un ángulo circunferencial de 90° es 119 Corolario 3 Si la línea media de un lado de un triángulo es igual a la mitad de este lado, entonces el triángulo es un triángulo rectángulo 120 Teorema Lo opuesto a un cuadrilátero inscrito de un círculo Relleno de esquina. Y cualquier ángulo exterior es igual a su diagonal interior 121 ① La intersección de la recta L y ⊙O D < R2 La recta L y ⊙O D = R3 El teorema de determinación de la recta tangente de la recta L y ⊙O D > R122 Una recta que pasa por el extremo exterior del radio y perpendicular a este radio es la recta tangente del círculo 65438. 438+024 Corolario 1 Una recta que pasa por el centro del círculo y perpendicular a la recta tangente debe pasar por el punto tangente 125 Corolario 2 Una recta que pasa por el punto tangente y es perpendicular a la recta tangente debe pasar por el centro del círculo. 126 Teorema de la longitud de las rectas tangentes conduce a dos rectas desde un punto exterior al círculo. Rectas tangentes, sus longitudes tangentes son iguales. La línea entre el centro del círculo y este punto biseca el ángulo entre las dos tangentes. La suma de los dos lados opuestos de un cuadrilátero que circunscribe un círculo es igual. El teorema del ángulo tangente es igual al ángulo circunferencial del par de arcos que encierra. Se deduce que si los arcos encerrados por dos ángulos tangentes de cuerda son iguales, entonces los dos ángulos tangentes de cuerda son iguales a las dos cuerdas que se cruzan en el círculo del Teorema de la línea de cuerda. El producto de las longitudes de las dos líneas dividido por el punto de intersección es igual a 131. Se deduce que si la cuerda corta perpendicularmente el diámetro, entonces la mitad de la cuerda es la tangente y secante de la circunferencia, la cual está trazada por el término medio 132 en la relación de dos segmentos lineales formados por su diámetro desde un punto exterior a la circunferencia. círculo. La longitud de una tangente es la relación entre las longitudes de las dos rectas desde ese punto hasta la intersección de la secante y la circunferencia. 133 Este término infiere que dos secantes se trazan desde un punto fuera del círculo, y el producto de las longitudes de las dos rectas desde este punto hasta el punto de intersección de cada secante con el círculo es igual a 134. Si dos círculos son tangentes, entonces el punto tangente debe estar en la línea que los conecta 135 ① Los dos círculos están circunscritos en D > R+R ② Los dos círculos están circunscritos en d=R+r ③ Los dos círculos se cortan R-R < D+ R (R > R) ④Los dos círculos están inscritos en D = R-R (R > R) ⑤Los dos círculos incluyen D < R-R (R > R). El teorema de la cuerda 137 divide el círculo en n (n ≥ 3): ⑴ El polígono obtenido al conectar los puntos en secuencia es un polígono N regular inscrito en el círculo ⑴ La recta tangente del círculo que pasa por cada punto y el polígono cuyo vértice es la intersección de líneas tangentes adyacentes es la parte exterior del círculo Corta N polígonos regulares. Estos dos círculos son círculos concéntricos139. Cada ángulo interior del polígono regular de N lados es igual al radio del polígono regular de N lados en el teorema (n-2) × 180/N140, y el área sn = pnrn/2p donde el apoma divide el polígono regular de N lados. polígono en 2n triángulos rectángulos congruentes141. A/4A significa longitud lateral 143. Si hay K N ángulos positivos alrededor de un vértice, dado que la suma de estos ángulos debe ser 360, k × (n-2) 180/n = 360 se transforma en (n-2)(k-2)=4 144. Fórmula de cálculo de la longitud del arco: L=n R/180 145. Fórmula del área del sector: s.

1. Como se muestra en la figura, se sabe que EB⊥AD está en b, FC⊥AD está en c, EB=FC, AB=CD. Demuestre: AF=DE.

Análisis: Para encontrar el triángulo donde se encuentran AF y DE, primero se demuestra que δAFC≏δDEB. Luego demuestre AF=DE.

Prueba: ∵EB⊥AD (conocido)

∴∠ EBD = 90 (definición vertical) fca = 90,

∴∠EBD=∠FCA ,

AB = CD, BC=BC,

∴ AC=AB+BC=BC+CD=BD

En δδACF y δδDBE,

p>

∴δacf≌δdbe(sas),

∴AF=DE (los lados correspondientes de triángulos congruentes son iguales).

Ejemplo 2, como se muestra en la figura, se sabe que AB y CD cortan a O, y las líneas rectas que pasan por O cortan a AD y BC en E y F respectivamente, lo que demuestra que AE=BF.

Análisis: Podemos analizar el concepto de prueba desde dos direcciones:

(1) "La ley de causa y efecto conduce a resultados": A partir de las condiciones conocidas, se puede ¿Se demostró qué pares de triángulos están todos esperando? ¿Qué segmentos de recta o ángulos son iguales? ¿Puedes sacar alguna conclusión válida de esto?

En este ejemplo, a partir de las condiciones conocidas AO=BO, ∠AOD=∠BOC, DO=CO, podemos probar rápidamente △AOD≔△BOC a través de SAS, y luego de acuerdo con las propiedades de triángulos congruentes Obtener AD=BC, ∠A=∠B, ∠. Seleccione la condición más efectiva para transformar en una nueva congruencia de triángulo a partir de estos tres resultados intermedios: AE y BF están en △AOE y △BOF respectivamente, por lo que se selecciona ∠A=∠B como la nueva condición, se demuestra △AOE≔△ BOF por (ASA), y AE=BF se obtiene a partir de las propiedades de triángulos congruentes.

(11) "Causación": según el objetivo de la verificación, ¿qué par de triángulos deben demostrarse como congruentes? Si las condiciones no son suficientes, ¿se pueden proporcionar las condiciones demostrando la congruencia de otro? par de triangulos?

En este ejemplo, para demostrar AE=BF, dado que AE y BF están en △AOE y △BOF respectivamente, primero podemos considerar demostrar que △AOE≔△BOF tiene OA=OB, ∠AOE =∠BOF, la condición que falta es ∠A=∠B u OE.

De estos dos métodos, el primero representa la idea de "empujar hacia adelante" y el segundo representa la idea de "empujar hacia atrás". Sin embargo, no importa qué método, la prueba debe utilizar. Empuje hacia adelante.

Demuestra que ∵AB y CD dividen por igual a O (conocido)

∴AO=BO, OC=OD (la definición del punto medio del segmento de recta)

En △ AOD y △ fila del medio,

∵

∴△AOD≌△BOC (SAS)

∴∠A=∠B (el correspondiente los ángulos de triángulos congruentes son iguales)

En △AOE y △BOF

∵

∴△AOE≌△BOF (Asociación Americana de Soja)

∴AE= BF (los lados correspondientes de triángulos congruentes son iguales)

Ejemplo 3, como se muestra en la figura, AC y BD se cruzan en E, AC=BD, AB=DC, verificación: BE =CE.

Análisis: Para demostrar BE=CE, sólo necesitamos demostrar △ABE≔△DCE. En estos dos triángulos, AB=DC y ∠AEB=∠DEC, un ángulo y el lado opuesto son iguales respectivamente. Todavía falta una condición y solo podemos buscar otra condición de igualdad diagonal. Esto naturalmente nos hace centrar nuestra atención en demostrar ∠a.△ACD≔△DBA y encontrar una idea de prueba completa a partir de ella.

La ruta probada es la siguiente:

Prueba: anuncios de enlace.

En △△ACD y △△DBA.

∵

∴△ACD≌△DBA(SSS)

∴∠B=∠C (los ángulos correspondientes de triángulos congruentes son iguales)

En △ABE y △DCE.

∵

∴△ABE≌△DCE(AAS)

∴BE=CE (los lados correspondientes de triángulos congruentes son iguales)

Ejemplo 4, demuestra: las bisectrices de los ángulos correspondientes de triángulos congruentes son iguales.

Análisis: En primer lugar hay que distinguir la parte del título y la conclusión de la proposición. Desde un punto de vista formal, parece que en el título sólo hay una parte de conclusión. No sé qué escribir en el título. De hecho, cualquier proposición matemática es un enunciado completo, una oración que juzga algo.

Entonces debe haber un objeto de juicio y un resultado obtenido después del juicio en esta oración. Entonces el objeto de juicio es la condición de la proposición (establecimiento del tema), y el resultado es la conclusión de la proposición. proposición.

Según este estándar, el problema del ejemplo debería ser: las bisectrices de dos triángulos congruentes y sus ángulos correspondientes. La conclusión es que las bisectrices de los ángulos correspondientes son iguales.

Al distinguir el título y la conclusión de la proposición, el contenido de la proposición se puede dibujar en figuras geométricas correspondientes, de modo que se pueden usar símbolos simples en lugar de narrativas de texto. El ejemplo se puede dibujar así. Dibuja dos triángulos congruentes △ABC y △A'B'C, y luego haz un par de bisectrices AD y A'D ' correspondientes al ángulo ∠A∠A '

Asegúrate de dibujar Presta atención a dos puntos: (1) No dibuje condiciones innecesarias que no estén en la pregunta. De acuerdo con los requisitos de esta pregunta, los triángulos solo se pueden dibujar como triángulos arbitrarios, no como triángulos isósceles o triángulos equiláteros, para no interferir con el pensamiento. (2) No ignorar las propiedades inherentes de la figura a que se refiere la pregunta. Si dos triángulos son iguales, no dibujes uno más grande y otro más pequeño, ni dos triángulos con formas diferentes.

Luego combina los gráficos para escribir lo que se sabe y verificarlo en base a la descripción exacta de cada concepto.

Se sabe que △ABC≔△A 'B' c', AD y A'D' son las bisectrices de ∠BAC y ∠B'A'C respectivamente. Demuestre: AD=A'D '.

La ruta verificada es la siguiente:

Prueba: ∫△ABC≔△A 'b' c' (conocida)

∴∠B=∠B ', ∠BAC=∠B'A'C ' (los ángulos correspondientes de triángulos congruentes son iguales).

AB=A'B ' (los lados correspondientes de triángulos congruentes son iguales)

Y ∵AD y A'D ' son ∠BAC y ∠B'A'C ' respectivamente Bisectriz (conocido).

∴∠1=∠BAC, ∠2=∠B'A'C ' (definición de bisectriz del ángulo)

∴∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠ ∠ ∠1 =∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠8736

En △ABD y △A'B'D'

∵

∴△ABD≌△A'B'D'(ASA)

∴AD=A'D' (los lados correspondientes de triángulos congruentes son iguales)

Ejemplo 5, verificación: El dos lados de dos triángulos son iguales a la línea media del tercer lado, y los terceros lados de dos triángulos son iguales.

Análisis: La cuestión es que los dos lados de dos triángulos y la línea media del tercer lado son iguales. La conclusión es que los terceros lados de los dos triángulos son iguales.

δ△ABC y δA'B'C, AB=A'B', AC=A'C', D es el punto medio de BC, D' es el punto medio de B'c', AD =A'D'. Verificación: BC=B'C '

Análisis: Según la pregunta, las condiciones conocidas dadas no están dentro del mismo triángulo. Si queremos aprovecharlos al máximo.

Dadas estas condiciones, debemos encontrar una manera de reunir estas condiciones dispersas en un triángulo. Debido a que hay una línea media en la pregunta, a menudo se usan líneas auxiliares con el doble de longitud de la línea media para crear triángulos congruentes, y luego se usan las propiedades de los triángulos congruentes. De esta manera, las condiciones dispersas se concentran en un triángulo y el problema se transforma en una dirección solucionable.

Prueba: Extienda AD a e, haga DE=AD, conecte BE,

Extienda A'D 'a e' para que D'E'=A'D 'y conecte B'E '

ad = a 'd ' (conocido) ∴DE = D'E' (sustitución equivalente)

∫D es el punto medio de BC, D' es el punto medio de B'C' (conocido).

∴BD=DC, B'D'=D'C' (definido como el punto medio del segmento de recta)

En △ACD y △EBD, en △A'C ' D ' y △E'B'D '

∵ ∵

∴△acd≌△ebd(sas)∴△a'c'd'≌△e'b' d'(sas)

∴AC=BE (los lados correspondientes de triángulos congruentes son iguales)

∴A'C'=B'E' (los lados correspondientes de triángulos congruentes son iguales) ) )

∴∠E=∠5 (Igualdades de ángulos correspondientes a triángulos congruentes.)

∴∠E'=∠6 (Igualdades de ángulos correspondientes a triángulos congruentes.)

)

AC = A 'C ' (conocido)

∴BE=B'E' (sustitución equivalente)

∴2AD=AE, 2A 'D '=A'E' (propiedad igual)

∴AE=A'E' (sustitución equivalente)

En △ABE y △A'B'E

∵

∴△ABE≌△A'B'E'(SSS)

∴∠7=∠8

∴∠ E=∠E ' (los ángulos correspondientes de triángulos congruentes son iguales).

∠∠E =∠E '(certificación)∠E=∠5, ∠E'=∠6(certificación)

∴∠5=∠6 (sustitución equivalente)

∠∠7 =∠8 (certificación)

∴∠7+∠5 =∠8+∠6 (igualdad)

Es decir, ∠BAC= ∠B'A'C '

En △BAC y △B'A'C

∵

∴△BAC≌△B'A'C '

∴BC=B'C'

3. Práctica de rectas auxiliares: En esta parte de la prueba de triángulos congruentes, necesitas agregar rectas auxiliares. La idea básica de agregar líneas auxiliares es agregar líneas auxiliares para construir triángulos congruentes. Ahora presentamos algunos métodos para agregar líneas auxiliares para que todos los aprendan.

1. Según el principio de "simetría central", construye triángulos congruentes y añade líneas auxiliares.

Gira un triángulo 180 grados alrededor de uno de sus vértices para obtener otro triángulo. Tal par de triángulos se llama triángulo congruente con simetría central (o, si un triángulo se gira 180 grados alrededor de un cierto punto para obtener otro triángulo, ese par de triángulos se llama triángulo congruente con simetría central), como se muestra en la figura básica. diagrama a continuación.

Nota: En problemas de geometría, cuando hay dos segmentos de recta iguales a ambos lados de un par de ángulos de vértice y están en línea recta, puedes agregar un triángulo congruente con simetría central para demostrarlo. La suma consiste en dibujar líneas paralelas a través de los puntos finales o interceptar segmentos de línea iguales como en el ejemplo 5 anterior.

Análisis de ejemplo: Como se muestra en la figura, se sabe que δδAB = AC, AB = AC, BD = CF. Verificación: DE = EF.

La conclusión a demostrar analizando esta cuestión es de = ef. Como se muestra en la figura, hay dos segmentos de línea iguales a ambos lados de un conjunto de ángulos de vértice y están en una línea recta. En este caso, se puede demostrar sumando un par de triángulos congruentes con simetría central. El método de suma es cruzar D con DG//AC y cruzar BC con G, como se muestra en la figura, entonces δDGE y δFCE deben ser un par de triángulos congruentes con simetría central. Para demostrar que estos dos triángulos son congruentes, debes comprender las condiciones para que un conjunto de lados sea igual. Sin embargo, DE=EF es una conclusión inutilizable y debes demostrar otro conjunto de lados.

Las condiciones conocidas nos dicen que CF=BD, por lo que necesitamos demostrar que CF es igual a su lado correspondiente DG, como se muestra en la figura, es decir, demostrar que DB=DG y DG// AC, entonces ∠1=∠2, AB=AC Se sabe, entonces ∠2=∠B, entonces ∠.

Prueba 1: D es DG//AC, BC es g

∫DG//AC

∴∠1=∠2;∠3=∠ 4

AB = AC (El triángulo ABC es un triángulo isósceles)

∴∠B=∠2

∴∠1=∠B,∴DG=DB =CF

En △DGE y △FCE.

∴△DGE≌△FCE

∴DE=EF

Análisis 2: Como se muestra a continuación, este problema también se puede extender desde el punto final F a FH/ /AB Para BC en H, complemente un par de δδBDE y δδHFE congruentes centrosimétricos.

Prueba 2: Básicamente igual que la prueba anterior. Demuestre DE=EF demostrando que △EFH≔△EDB. Preste atención a la relación entre BD//FH y el ángulo. Se omite la prueba.

Nota: Los dos ángulos de un triángulo isósceles son iguales. Lo que aprendí en la escuela primaria lo aprenderé en el futuro.

2. Según el principio de "simetría axial", construye triángulos congruentes y añade líneas auxiliares.

Si un triángulo se gira a lo largo de una línea recta y luego se superpone a otro triángulo, el par de triángulos se llama triángulo congruente axialmente simétrico.

Gráficos básicos:

Cuando dos segmentos de recta iguales o dos ángulos iguales son simétricos respecto de un segmento de recta o una recta en un problema geométrico, se puede construir un triángulo congruente con simetría de eje para demostrarlo.

Análisis de ejemplo: como se muestra en la figura, AE=AB se intercepta en la diagonal AC del cuadrado ABCD y EF⊥AC pasa por BC hasta f.

Análisis: La conclusión a demostrar en esta pregunta es EF=FB. Se sabe que AE = AB y ∠ AEF = ∠ B = 90 en esta pregunta, por lo que las estructuras AF conectadas △AEF y △ABF son congruentes y fáciles de probar.

Demostrar la conexión AF, en el cuadrado ABCD ∠ b = 90,

* ef⊥ac

∴∠AEF = 90°

En RT△AEF y RT△ABF,

AE=AB

AF=AF

∴ RT△AEF≌RT△ABF (HL)

∴EF=BF.

Te deseo éxito.