La expectativa matemática es una de las características numéricas importantes de las variables aleatorias y una de las características más básicas de las variables aleatorias. A través de varios ejemplos, se explica la aplicación de las expectativas de enseñanza en teoría de la probabilidad y estadística matemática en la vida. El artículo enumera algunos ejemplos de la vida real e ilustra las importantes aplicaciones de las expectativas matemáticas en problemas económicos y prácticos.
Palabras clave: variables aleatorias, expectativa matemática, probabilidad, estadística
La expectativa matemática, denominada media, es una característica numérica importante en la teoría de la probabilidad y tiene importantes aplicaciones en la gestión económica. Este artículo analiza algunas aplicaciones simples de las expectativas matemáticas en problemas económicos y prácticos, con el objetivo de ayudar a los estudiantes a comprender y experimentar el rico trasfondo de la estrecha relación entre el conocimiento y la práctica humana. ¿Las matemáticas realmente funcionan? .
1. Problema de solución de toma de decisiones
La solución de toma de decisiones se refiere a tomar decisiones sobre la solución con la mayor expectativa matemática como la mejor solución. Ayuda a las personas a tomar decisiones y elegir entre posibles opciones en situaciones complejas. Específicamente, si sabemos que cualquier escenario AI (I = 1, 2, ?m) tiene un impacto en cada factor SJ (j = 1, 2, ?, n) cuando ocurre, podemos comparar las expectativas de varios escenarios. , elija el plan con la mayor ganancia esperada como el mejor plan.
1.1 Plan de inversión
Supongamos que alguien invierte 654,38 millones de yuanes al año. Hay dos planes de inversión: uno es comprar acciones y el otro es depositarlos en un banco para obtener intereses. . El rendimiento de la compra de acciones depende de la situación económica. Si la situación económica es buena, puedes obtener una ganancia de 40.000, si la situación es moderada, puedes obtener una ganancia de 10.000, y si la situación es mala, puedes perder 20.000. Si lo deposita en un banco, suponiendo que la tasa de interés sea 8, puede obtener 8.000 yuanes en intereses. Supongamos que las probabilidades de que las condiciones económicas sean buenas, medias y malas son 30, 50 y 20 respectivamente. ¿Qué opción se debe elegir para hacer más efectiva la inversión?
Aplicación de la expectativa matemática [Resumen] La expectativa matemática de variables aleatorias discretas es uno de los conceptos importantes en la teoría de la probabilidad y la estadística matemática. Se utiliza para reflejar el número característico de la distribución de valores de variables aleatorias. Al discutir algunas aplicaciones simples de las expectativas matemáticas en problemas económicos y prácticos, esperamos que los estudiantes comprendan que el conocimiento teórico de las expectativas matemáticas está estrechamente relacionado con la práctica humana, y que los dos son inseparables y están estrechamente relacionados.
[Palabras clave] expectativa matemática; variable aleatoria discreta
1. La connotación de expectativa matemática de variable aleatoria discreta
En teoría de probabilidad y estadística, variable aleatoria discreta. La suma de los productos de todos los valores posibles xi y la probabilidad correspondiente P (= xi) se denomina expectativa matemática (suponiendo que la serie sea absolutamente convergente), denotada como E(x). La expectativa matemática, también conocida como expectativa o media, es en realidad el valor promedio de una variable aleatoria y es una de las características matemáticas más básicas de las variables aleatorias. Pero ¿cuál es la definición estricta de expectativa? Xi*pi es absolutamente convergente y la atención es absoluta, es decir, es diferente del promedio comúnmente entendido. Una variable aleatoria puede tener una media o una mediana, pero su valor esperado no necesariamente existe.
2. El efecto de la expectativa matemática sobre variables aleatorias discretas
La expectativa representa el valor promedio de las variables aleatorias en el experimento aleatorio. Es el valor promedio en el sentido de probabilidad. que es diferente de la media aritmética del valor correspondiente. Es una generalización de la media aritmética simple y es similar a la media ponderada. Al resolver problemas prácticos, como parámetro importante, desempeña un papel rector importante en los campos de la previsión de mercado, las estadísticas económicas, el riesgo y la toma de decisiones, las competiciones deportivas, etc. Tiene un profundo impacto en el estudio futuro de las matemáticas avanzadas, las matemáticas. análisis y disciplinas afines, y sienta una buena base. Como característica numérica estadística en la teoría matemática básica, se utiliza ampliamente en la tecnología de ingeniería, la economía y los campos sociales. Su importancia radica en resolver el método de análisis de modelos matemáticos abstraídos de la práctica, a fin de lograr el propósito de comprender las leyes del mundo objetivo y proporcionar una base teórica precisa para futuros análisis de toma de decisiones.
3. Resolver la expectativa matemática de variables aleatorias discretas
La solución de la expectativa matemática de variables aleatorias discretas generalmente se divide en cuatro pasos:
1. Determinar la variable aleatoria discreta Valores posibles de la variable;
2. Calcular la probabilidad correspondiente a cada valor posible de la variable aleatoria discreta;
3. compruebe si la lista de distribución es correcta;
4. Encuentre expectativas.
IV. Aplicación de las expectativas matemáticas
(1) Aplicación de las expectativas matemáticas en economía
Ejemplo 1: Supongamos que Xiao Liu invierte 200.000 y hay dos inversiones. plan. Opción 1: Úselo para invertir en la compra de una casa; Opción 2: Deposítelo en el banco para ganar intereses. Los ingresos necesarios para comprar una casa dependen de la situación económica. Si la situación económica es buena, puedes obtener una ganancia de 40.000, si la situación es moderada, puedes obtener una ganancia de 10.000, y si la situación es mala, puedes perder 20.000. Si se deposita en un banco, suponiendo que la tasa de interés sea 5,1, el interés puede ser de 11.000 yuanes. Supongamos que las probabilidades de condiciones económicas buenas, medias y malas son 40, 40 y 20 respectivamente. ¿Qué opción se debe elegir para hacer más efectiva la inversión?
El primer plan de inversión:
La ganancia esperada al comprar una casa es: E(X)=4?0.4 1?0.4 (-2)?0.2=1.6 (diez mil yuanes)
El segundo plan de inversión:
La expectativa de ganancias del banco es E(X)=1,1 (mil yuanes),
Porque: E(X) gt; E(X),
Se puede concluir de los dos planes de inversión anteriores que el rendimiento esperado de la compra de una casa es mayor que el rendimiento esperado del banco de depósito, por lo que el plan de compra de la casa debe ser adoptado. Aquí hay dos opciones de inversión, pero la situación económica es un comodín y la elección se basa en expectativas matemáticas.
(2) Aplicación de las expectativas matemáticas en la demanda de la empresa
Ejemplo 2: Una pequeña empresa predice que la demanda del mercado aumentará. Los empleados de la empresa se encuentran actualmente trabajando a pleno rendimiento. Para satisfacer la demanda del mercado y aumentar la producción, la empresa consideró dos opciones: la primera opción: dejar que los empleados trabajaran horas extras; la segunda opción: agregar equipo;
Supongamos que la empresa predice que la probabilidad de que la demanda del mercado aumente es p y, por supuesto, la probabilidad de que la demanda del mercado disminuya es 1-p si los datos relevantes conocidos se enumeran en la siguiente tabla:
La demanda del mercado disminuye Ir (1-p) La demanda del mercado aumenta (P)
Mantener el status quo (x)
200.000 a 240.000
Los empleados trabajan horas extras (x)
19032000
Yao Jia Equipment (x)
150.000 340.000
Según las condiciones, en el En caso de una mayor demanda del mercado, vale la pena que los empleados trabajen horas extras o agreguen equipos. Pero la realidad es que no sabemos qué sucederá, por lo que debemos comparar los beneficios esperados de varias opciones. Juicio basado en expectativas:
E(X)=20(1-p) 24p, E(X)=19(1-p) 32p, E(X)=15(1-p) 34p
Hay dos situaciones que deben comprobarse:
(1) Cuando p=0,8, entonces E(X)=23,2(diez mil), E(X)=29,4 (diez mil), E(X)=302.000, por lo que la empresa puede decidir actualizar el equipo y ampliar la producción;
(2) Cuando p = 0,5, E(X)=22.000, E(X) = 255 000, E(X) = 245 000, en este momento la empresa puede decidir tomar medidas de emergencia para expandir la producción exigiendo a los empleados que trabajen horas extras.
Así, de las dos situaciones anteriores se puede concluir que si p=0,8, la empresa puede decidir actualizar el equipo y ampliar la producción. Si p = 0,5, la empresa puede decidir tomar medidas de emergencia contra los empleados que trabajan horas extras. Por lo tanto, siempre que la probabilidad de crecimiento de la demanda del mercado sea superior a 50, la empresa debería tomar ciertas medidas para aumentar las ganancias.
(3) Aplicación de las expectativas matemáticas en las competiciones deportivas
El tenis de mesa es nuestro deporte nacional y es particularmente amado por la gente de todo el país. Tenemos una ventaja absoluta en este deporte. Hay dos planes para organizar la competición de tenis de mesa:
El primer plan es que cada lado tenga tres jugadores y gane tres juegos. La segunda opción es tener cinco jugadores en cada lado y ganar dos de cinco partidos.
¿Cuál de estas dos opciones es más beneficiosa para China? Veamos un ejemplo:
Supongamos que cada miembro del equipo chino tiene un porcentaje de victorias del 55 contra cada miembro del equipo americano. Con base en el análisis anterior, solo nos falta comparar las expectativas matemáticas de los dos equipos.
En un sistema de juego al mejor de cinco, si el equipo chino quiere ganar, hay tres resultados: 3, 4, 5. Usamos la ley binomial y el conocimiento de la teoría de la probabilidad para calcular las probabilidades correspondientes a los tres resultados, y obtenemos la probabilidad correspondiente a los tres campos: 0,33465; la probabilidad de los cuatro campos correspondientes: 0,2512; : 0,07576.
Supongamos que la variable aleatoria X es el número de partidos ganados por el equipo chino en este sistema de competición, entonces se puede establecer la ley de distribución de X:
P 0.33465 0.2512 0.07576
Calcular la expectativa matemática de la variable aleatoria x;
E(X)=3?0.33465 4?0.2512 5?0.07576=2.04651
En un sistema de juego al mejor de tres, el equipo chino ganó y los juegos ganadores tuvieron dos o tres resultados. La probabilidad correspondiente = 0,412; la probabilidad de ganar los tres juegos = 0,206.
Supongamos que la variable aleatoria Y es el número de victorias del equipo chino en este sistema de competición, entonces se puede establecer la ley de distribución de Y:
X 2 3
Y 0.412 0.206
Calcular la expectativa matemática de la variable aleatoria y;
E(Y)=2?0.412 3?0.206=1.2
Compare los dos valores esperados, es decir, e (x)>; por lo tanto, podemos concluir que el sistema de juego al mejor de cinco es más beneficioso para China.
Así que en este tipo de juego, el sistema de juego al mejor de cinco es más beneficioso para China. En las competiciones deportivas debemos fijarnos en los detalles y situaciones específicas, comprender el sistema de competición, utilizar los conocimientos adquiridos, maximizar nuestras expectativas, conocernos a nosotros mismos y al enemigo y ser invencibles en cada batalla.
(4) Expectativas matemáticas de la evaluación de los beneficios empresariales
En las actividades económicas de mercado, la producción de los fabricantes o las ventas de los comerciantes siempre persiguen la maximización de los beneficios. En el proceso de producción, la oferta excede la demanda o el exceso de oferta no conduce a maximizar las ganancias y expandir la reproducción. Pero en una economía de mercado todo cambia siempre rápidamente y la oferta y la demanda suelen ser inciertas. En circunstancias normales, los fabricantes o comerciantes suelen utilizar el método de las expectativas matemáticas combinado con conocimientos relevantes de cálculo para formular las mejores actividades de producción o estrategias de ventas basadas en datos pasados, combinados con la situación específica actual y objetos específicos.
Supongamos que una empresa planea desarrollar un mercado para un nuevo producto y está tratando de determinar su producción. Se estima que si se vende un producto, la empresa puede obtener una ganancia de A yuanes, mientras que si un producto tiene un exceso de existencias, puede resultar en una pérdida de B yuanes. Además, el volumen de ventas previsto de la empresa del producto X es una variable aleatoria con una distribución de P(x). Entonces, ¿cómo aumentar la producción para maximizar las ganancias?
Supongamos que la empresa produce X unidades de este producto cada año, aunque X es seguro. Sin embargo, debido a que la demanda (ventas) es una variable aleatoria, el ingreso Y es una variable aleatoria, que es función de X:
Cuando xy, y=Ax;
Cuando xy, cuando y = ay-b (x-y).
Entonces el ingreso esperado se transforma en una pregunta:
Cuando x es qué valor, el ingreso esperado puede alcanzar el máximo. No es difícil obtenerlo utilizando los conocimientos de cálculo.
La solución a este problema es encontrar los valores máximo y mínimo esperados de la función objetivo.
(5) Cuestiones de expectativas matemáticas en los seguros
La probabilidad de que los objetos de valor de una familia por valor de más de 50.000 yuanes sean robados en un año es de 0,005. Si la compañía de seguros ofrece un seguro de propiedad de la vivienda de 50.000 yuanes o más al año, los participantes deben pagar una prima de seguro de 200 yuanes.
Si se roba una propiedad por valor de más de 50.000 yuanes en el plazo de un año, la compañía de seguros compensará con un yuan (200 gt). ¿Cómo determinar A para que la compañía de seguros pueda esperar obtener ganancias?
Supongamos que x representa el ingreso de cualquier familia asegurada dado por la compañía de seguros, entonces ¿el valor de x es 200 o 200? a, su lista de distribución es:
X 200 200-a
p 0.995 0.005
E(x)=200? 0,005 = 200-0,005 a gt; 0, a
De la vida diaria anterior, podemos encontrar fácilmente que utilizar el conocimiento de las expectativas matemáticas de variables aleatorias discretas es útil para resolver algunos problemas prácticos de la vida. ayuda.
Por lo tanto, en la vida real, deberíamos utilizar el conocimiento de las expectativas matemáticas de variables aleatorias discretas para afrontar los requisitos de la era de la información actual. Deberíamos ser activos en el pensamiento y atrevernos a innovar. Es necesario no sólo aprender el conocimiento del razonamiento matemático, sino también prestar atención a la aplicación práctica del conocimiento aprendido, para combinar el razonamiento con la práctica y aplicar lo aprendido. Por supuesto, es sólo una parte de las aplicaciones esperadas de las matemáticas en la vida real. Hay más aplicaciones esperando que pensemos, descubramos y exploremos para crear cosas y riquezas más valiosas para nuestra gran era.