Problemas integrales de secciones cónicas:
1. Hay dos métodos comunes para el problema de rango de secciones cónicas:?
(1) Encontrar desigualdades razonables, común ¿El punto medio de una cuerda con △＞0 está dentro de la curva?
(2) La cantidad buscada se puede expresar en función de otra variable y se encuentra el rango de valores de la función. ?
2. Problemas difíciles como el valor mínimo, el valor fijo y el punto fijo de las secciones cónicas.
(1) Desde el punto de vista geométrico, existen tres relaciones posicionales entre rectas y tramos cónicos: separación, tangencia e intersección. El desprendimiento significa que no existe un punto común entre la recta y la cónica. sección, y tangencia significa que no hay un punto común entre la línea recta y la sección cónica. Una línea recta y una sección cónica tienen un punto común único. La intersección significa que la línea recta y la sección cónica tienen dos puntos comunes diferentes. Presta especial atención a que cuando una recta, una hipérbola y una parábola tienen un único punto común, no necesariamente es tangente. Por ejemplo, cuando la recta es paralela a la asíntota de la hipérbola, tiene un punto común. único punto común con la hipérbola, pero en este momento la recta corta a la hipérbola; cuando la recta es paralela (coincidente) al eje de simetría de la parábola, es tangente a la parábola; hay un único punto común, pero. en este momento la recta corta a la parábola Por lo tanto, cuando la recta y la hipérbola y la parábola tienen un único punto común, pueden ser tangentes o cruzarse. Una recta puede cruzarse con estas dos curvas. O puede haber un punto de intersección, por lo que no juzgue la relación posicional entre la línea recta y la curva en función del número de puntos comunes, pero el número de puntos comunes se puede determinar en función de la relación posicional.
(2) Desde un punto de vista algebraico, la relación posicional se puede determinar en función del número de soluciones del sistema de ecuaciones compuesto por ecuaciones lineales y ecuaciones cónicas. Supongamos que la ecuación de la recta l se combina con la ecuación de la sección cónica para obtener ax2 bx c=0.
①Si a=0, cuando la sección cónica es una hipérbola, la recta l es paralela o coincide con la asíntota de la hipérbola; cuando la sección cónica es una parábola, la recta l es paralela; coincide con el eje de simetría de la parábola.
②Si
Cuando Δgt;0, la recta y la sección cónica se cruzan en dos puntos diferentes, se cruzan.
Cuando Δ=0, la recta y la sección cónica son tangentes entre sí en un punto.
Cuando Δlt;0, la recta y la sección cónica no tienen punto común y están separadas entre sí.
La fórmula de longitud de cuerda para la intersección de una línea recta y una sección cónica:
Si la línea recta l y la sección cónica F(x, y)=0 se cruzan en dos puntos A y B, encuentre la cuerda AB Se pueden utilizar los dos métodos siguientes:
(1) Método de intersección: combine la ecuación de la línea recta con la ecuación de la sección cónica, resuelva las coordenadas de puntos A y B, y luego use la fórmula de distancia entre los dos puntos, entonces En términos generales, este método es más problemático para obtener la longitud de la cuerda AB.
(2) Método del teorema védico:
(1) Desde un punto de vista geométrico, las líneas rectas y las secciones cónicas tienen tres relaciones posicionales: separación, tangencia e intersección, separación Hay no hay punto común entre la recta y la sección cónica La tangencia significa que la recta y la sección cónica tienen el único punto común La intersección significa que la recta y la sección cónica tienen dos puntos comunes diferentes. la recta y el punto doble Cuando una curva o parábola tiene un único punto común, no necesariamente es tangente. Por ejemplo, cuando una recta es paralela a la asíntota de una hipérbola, tiene un único punto común con la hipérbola. , pero en este momento la recta corta a la hipérbola; cuando una recta es paralela (coincidente) al eje de simetría de una parábola, tiene un único punto común con la parábola. la parábola, por lo que la recta puede ser tangente a la hipérbola o parábola cuando tienen un único punto común, o puede ser una intersección cuando una recta corta estas dos curvas, puede haber dos puntos de intersección o un punto de intersección. Por lo tanto, la relación posicional entre la línea recta y la curva no debe juzgarse por el número de puntos comunes, sino por la relación posicional. Se puede determinar el número de puntos *** públicos.
(2) Desde un punto de vista algebraico, la relación de posición se puede determinar en función del número de soluciones del sistema de ecuaciones compuesto por ecuaciones lineales y ecuaciones cónicas. Supongamos que la ecuación de la recta l se combina con la ecuación de la sección cónica para obtener ax2 bx c=0.
①Si a=0, cuando la sección cónica es una hipérbola, la recta l es paralela o coincide con la asíntota de la hipérbola; cuando la sección cónica es una parábola, la recta l es paralela; coincide con el eje de simetría de la parábola.
②Si
Cuando Δgt;0, la recta y la sección cónica se cruzan en dos puntos diferentes, se cruzan.
Cuando Δ=0, la recta y la sección cónica son tangentes entre sí en un punto.
Cuando Δlt;0, la recta y la sección cónica no tienen punto común y están separadas entre sí.
La fórmula de longitud de cuerda para la intersección de una línea recta y una sección cónica:
Si la línea recta l y la sección cónica F(x, y)=0 se cruzan en dos puntos A y B, encuentre la cuerda AB. Se pueden utilizar los dos métodos siguientes:
(1) Método de intersección:
La ecuación de la línea recta se combina con la ecuación de la sección cónica. Resuelva para obtener las coordenadas de los puntos A y B. Luego use la fórmula de la distancia entre los dos puntos para obtener la longitud de la cuerda AB. En términos generales, este método es. más problemático.
(2) Método del teorema védico:
Sin encontrar las coordenadas de intersección, el teorema védico se puede utilizar para resolver el problema. Si la ecuación de la recta l se expresa por y=kx mo x=n.