Ejemplo 1 lim[x-->;√3](x^2-3)/(x^4 x^2 1)
lim[x->;√ 3](x^2-3)/(x^4 x^2 1)
=(3-3)/(9 3 1)=0
Ejemplo 2 Li m[x-> 0](lg(1 x) e^x)/arccosx
lim[x->; 0](lg(1 x) e^x)/arccosx
=(lg1 e^0)/arccos0
=(0 1)/1
=1
2 Cuando el límite del denominador es cero. y Cuando el límite molecular es una constante distinta de cero, se utiliza el método recíproco.
Ejemplo 3 lim[x->;1]x/(1-x)
∫lim[x- gt;1](1-x)/x = 0 ∴ lim[x->;1] x/(1-x)=∞
En el futuro, cuando el límite del denominador sea cero y el límite del numerador sea una constante distinta de cero, el límite puede ser escrito directamente como ∞.
3. Cuando el límite del denominador es cero y el límite del numerador es cero, utilice el método de eliminación del factor cero (factorización) y la factorización es posible.
Ejemplo 4 lim[x->;1](x^2-2x 1)/(x^3-x)
lim[x->;1](x ^2-2x 1)/(x^3-x)
= lim[x->;1](x-1)^2/[x(x^2-1)
= lim[x->;1](x-1)/x
=0
Ejemplo 5l im[x-> -2](x^3 3x^2 2x)/(x^2-x-6]
lim[x->;-2] (x^3 3x^2 2x)/(x^2-x-6)
= lim[x->;-2]x(x 1)(x 2)/[(x 2)(x-3)]
= lim[x- >-2]x(x 1) / (x-3)
=-2/5
Ejemplo 6 lim[x->1](x^2- 6x 8 )/(x^2-5x 4)
lim[x->;1](x^2-6x 8)/(x^2-5x 4)
= lím[x->1](x-2)(x-4)/[(x-1)(x-4)]
= lím[x->1]( x-2) /[(x-1)
=∞
Ejemplo 7 lim[h->;0][(x k)^3-x^3]/h
lim[h- gt;0][(x h)^3-x^3]/h
= lim[h->;0][(x h)–x ][(x h )^2 x(x h) h^2]/h
= lim[h->;0] [(x h)^2 x(x h) h^2]
=2x^2
Esto en realidad es una preparación para la derivación futura
4. Método de eliminación del factor cero (fisicalización), el límite del denominador es cero y el límite del numerador es cero, no puede ser. descompuesto, pero se puede usar en la fisicalización. La diferencia de cuadrados, la diferencia de cubos y la suma de cubos se pueden usar en la fisicalización.
Ejemplo 8 lim[x->;0][√1 x^2]-1]/x
lim[x->;0][√1 x^2 ]-1]/x
= lim[x->;0][√1 x^2]-1][√1 x^2] 1]/{x[√1 x^2 ] 1]}
= lim[x->;0][1 x^2-1]/{x[√1 x^2] 1]}
= lim [x->0] x / [√1 x^2] 1]
=0
Ejemplo 9 lim[x->-8][√(1- x) -3]/(2 x^(1/3))
lim[x->;-8][√(1-x)-3]/(2 x^(1/ 3) )
= lim[x->;-8][√(1-x)-3][√(1-x) 3][4-2x^(1/3) x ^( 2/3]
÷{(2 x^(1/3))[4-2x^(1/3) x^(2/3)][√(1-x) 3] }
= lim[x->;4-2x^(1/3) x^(2/3)]/{(x 8)[√(1-x) 3]}
= lim[x->;[4-2x^(1/3) x^(2/3)]/[√(1-x) 3]
= -2
5. Método de sustitución de factor cero. Utilice el primer límite importante: lim [x-> 0]sinx/x=1, el límite del denominador es cero, el límite del numerador es cero, no se puede descomponer. y no puede Materializarse, pero se usa cuando aparece o se puede convertir en sinx/x, las fórmulas trigonométricas a menudo se usan juntas
Ejemplo 10 lim[x-->;0]sinax/sinbx
lim [x->;0]sinax/sinbx
= lim[x->;0]sinax/(ax)* lim[x- gt;0]bx/sinbx * lim. [x- gt; 0]ax/(bx)
=1*1*a/b=a/b
Ejemplo 11 lim[x-->；0]sinax /tanbx
lim[x->;0]sinax/tanbx
= lim[x->;0]sinax/sinbx * lim[x- gt;0]cosbx
=a/b
6. El método de transformación infinita se utiliza cuando el denominador y el numerador son infinitos y, a menudo, toma prestadas las propiedades de los infinitesimales y los infinitesimales. >Ejemplo 12 lim[x. -->;∞]sinx/x
∵x- gt;∞ ∴1/x es una cantidad infinitesimal.
∫| sinx |∞]sinx/x = 0
Ejemplo 13 lim[x-->;∞](x^2-1)/(2x^2-x -1)
lim[x->∞](x^2-1)/(2x^2-x-1)
= lim[x->∞] ] (1 -1/x^2)/(2-1/x-1/ x^2)
=1/2
Ejemplo 14 lim[n--> ； ∞](1 2 …… n)/(2n^2-n-1)
lim[n->；∞](1 2 …… n)/(2n^2-n- 1 )
= lim[n->;∞][n(n 1)/2]/(2n^2-n-1)
= lim[n-> ; ∞][(1 1/n)/2]/(2-1/n-1/n^2)
=1/4
Ejemplo 15 lim[x - ->∞](2x-3)^20(3x 2)^30/(5x 1)^50
lim[x->∞](2x-3)^20(3x 2)^ 30/(5x 1)^50
= lim[x->;∞][(2x-3)/(5x 1)]^20[(3x 2)/(5x 1 )]^ 30
= lim[x->；∞][(2-3/x)/(5 1/x)]^20[(3 2/ x)/(5 1/ x)] ^30
=(2/5)^20(3/5)^30=2^20*3^30/5^50