[ f(x)-f(0) ] / (x-0) = f(x)/x,
Esto la relación es igual a 1/q, si x es un número racional; igual a 0 si x es un número irracional; Cuando X se acerca a 0 infinitamente, si X es un número racional, debido a que cada número racional se expresa en la forma p/q, para acercarse a 0, Q debe acercarse al infinito. En este momento, f (x)/x = 1/q tiende a cero, es decir, la derivada mencionada anteriormente es cero. Si todos los x se aproximan mediante números irracionales, dado que f(x) es siempre cero, entonces el límite de la relación anterior es naturalmente cero. Entonces, no importa cómo se acerque a cero, la relación anterior siempre se aproximará a cero, por lo que la función se puede diferenciar en 0 y la derivada es cero.
Al mismo tiempo, esta función es discontinua en todos los puntos racionales distintos de cero. Cualquier dominio de 0 debe contener puntos racionales distintos de cero, por lo que no se puede decir que esta función esté en cualquier vecindad de 0. es la derivada. Entonces, la diferenciabilidad de puntos y la diferenciabilidad de vecindad no son equivalentes a esta función: es diferenciable en el punto 0, pero no en la vecindad de 0. Esto no viola el sentido común de que la diferenciabilidad debe ser continua, porque este sentido común significa que si es diferenciable en un punto determinado, es continua en un punto determinado; si la vecindad es diferenciable, entonces la vecindad es continua; De hecho, esta función es continua en x=0. Puedes verificarlo tú mismo.
Se puede derivar una función dentro de una vecindad, lo que por supuesto significa que la función debe definirse en todos los puntos de esta vecindad.
2. Esto también se resuelve con el ejemplo anterior. El significado es diferente. f(x) es continua en x=0, pero no es continua en ninguna vecindad de 0, ya sea grande o pequeña, porque siempre se encontrará un punto de discontinuidad en esta vecindad.
3. Éste también es diferente. Si la función derivada es continua, entonces estos dos son obviamente iguales. El problema es que la función derivada es discontinua. Para distinguir esto, debemos recordar la definición. Si la definición no es clara, no se hará nada en el futuro. Establezca
F(x) = 1 si x
Esta es una función por partes con una clara discontinuidad en 0. Pero aún podemos encontrar la derivada del punto cero, el límite derecho y la derivada derecha según la definición:
1) Restricciones de derechos de derivada:
x gt0, la derivada la función es f'(x) = 3, así que toma el límite:
Lim (x tiende de mayor que 0 a 0)f '(x)= 3;
2) Derivada derecha:
Estricta Según la definición de derivada, la derivada correcta es:
Lim (x tiende de mayor que 0 a 0) [f(x)-f(0) )]/(x-0)
= lim (x tiende de mayor que 0 a 0) [3x-1]/(x-0) (tenga en cuenta que cuando es mayor que 0, f(x) = 3x, pero f(0) debe sustituirse en el primer párrafo.
=infinito
Entonces el límite derecho de la derivada no es igual a la derivada derecha Aunque el 99. Las preguntas del examen de ingreso de posgrado no implicarán una diferencia tan sutil. A muchas personas también les gusta encontrar la derivada primero y luego tomar el número, pero aún así es necesario saber que esto es condicional, como aquí, si primero deduces f '. (x) = 3, luego sustituye x=0 y luego dice que la derivada correcta en 0 es 3, obviamente es incorrecta.
4. Habla de las condiciones y las condiciones vienen. ¿Te imaginas lo fácil que es encontrar la derivada de un punto? Una condición es que la función debe ser continua en este punto. De hecho, esta intuición es muy simple.
¿En qué se diferencian los derivados y los límites de los derivados? Por definición, esto sólo ocurre cuando la pendiente de la línea que conecta (x, f(x)) y (x0, f(x0)) cambia repentinamente de manera significativa cuando x se aproxima a x0. Y si la función es continua en este punto, entonces no importa cómo dibujes la línea, el límite de su pendiente se acercará gradualmente a la derivada de este punto. Por otro lado, como en el ejemplo anterior, la función es discontinua en 0, por lo que puedes trazar una línea entre el punto a la derecha de 0 y (0, f(0)). Como constante. Si f (0) = 0, el valor de la función no salta, entonces la pendiente naturalmente no saltará y la derivada = 3 es exactamente igual al límite de la derivada.
5. Por supuesto, la continuidad del punto final es significativa, ¿cómo podría no serlo? Los puntos finales continuos se refieren a la existencia de límites unilaterales. Esta es la definición y el juicio: los puntos finales continuos izquierdos son equivalentes a que el valor de la función del punto final izquierdo sea igual al límite derecho de la función, y los puntos finales continuos derechos son equivalentes al valor de la función. de que el punto final derecho sea igual al límite izquierdo de la función.
En cuanto a la definición de diferenciabilidad de endpoints, es la misma. Es sólo que estamos acostumbrados a decir que es diferenciable dentro de una vecindad, no en un intervalo cerrado. Si la función es derivable en un intervalo cerrado, mucho menos en un intervalo abierto. En términos generales, como teoremas matemáticos, todos queremos sacar tantas conclusiones como sea posible con la menor cantidad de condiciones posible. Dado que la diferenciabilidad en intervalos abiertos es suficiente para obtener los resultados que necesitamos, ¿por qué deberíamos establecer las condiciones para que la diferenciabilidad en intervalos cerrados sea más fuerte?
Recuerde, cuando discuta la diferenciabilidad de un punto, siempre que el punto esté dentro del dominio de la función, no un punto final, o la discusión sea diferenciable dentro de la vecindad completa si el punto es el punto final; , la discusión es sobre la diferenciabilidad de un lado de la vecindad, es decir, derivada izquierda o derivada derecha.