Las funciones complejas también estudian funciones multivaluadas, y la teoría de la superficie L es la principal herramienta para estudiar funciones multivaluadas. Una superficie compuesta de muchas capas juntas se llama superficie L. Utilizando tales superficies, los conceptos de ramas univaluadas y puntos de apoyo de funciones multivaluadas se pueden expresar y explicar de forma geométrica e intuitiva. Para una función de varios valores, si se puede construir su superficie L, entonces esta función se convierte en una función de un solo valor en la superficie L.
La teoría de la superficie L es un puente entre el dominio de las funciones variables complejas y la geometría. Nos permite conectar las propiedades analíticas de funciones relativamente abstrusas con la geometría. El estudio de las superficies L también ha tenido un gran impacto en otra rama de las matemáticas, la topología, y gradualmente ha tendido a discutir sus propiedades topológicas.
En la teoría de funciones variables complejas, el uso de métodos geométricos para explicar y resolver problemas generalmente se denomina teoría de funciones geométricas. Las funciones variables complejas pueden proporcionar explicaciones geométricas para sus propiedades a través de la * * * teoría del mapeo de formas. Las imágenes realizadas por funciones analíticas cuyas derivadas no son cero en todas partes son * * imágenes, también llamadas transformaciones conformes.
La teoría de residuos es una teoría importante en la teoría de funciones variables complejas. El resto también se llama residual y la definición es más complicada. Es más conveniente utilizar la teoría de residuos para calcular la integral de una función compleja que utilizar integrales de línea. El cálculo de la integral definida de una función variable real se puede transformar en la integral de la función variable compleja a lo largo de la curva de bucle cerrado, y luego transformarse en el cálculo del residuo del integrando en un punto singular aislado dentro de la curva cerrada. curva de bucle utilizando el teorema fundamental de los residuos. Cuando el punto singular es un polo, el cálculo es más sencillo.