Cuatro teoremas importantes:
Teorema de Menelao (línea de Meinelao)
△Si △ABC o su línea de extensión BC, CA y AB tienen puntos P, Q y R, entonces las condiciones necesarias y suficientes para las rectas P, Q y R*** son las siguientes.
Teorema de Ceva (punto Ceva)
Si hay puntos P, Q y R en los lados BC, CA y AB de △ABC, entonces AP, BQ y CR *** puntos Las condiciones necesarias y suficientes son las siguientes.
Teorema Ptolemaico
La condición necesaria y suficiente para que la suma de los productos de dos pares de lados de un cuadrilátero sea igual al producto de sus diagonales es que el cuadrilátero esté inscrito en un círculo.
Teorema de Simson (Recta de Simson)
La condición necesaria y suficiente para trazar una recta perpendicular desde un punto a tres lados de un triángulo es que el punto caiga sobre la circunferencia circunscrita del triángulo. .
Ejemplo:
1. Sea AD la línea central de △ABC lado BC, y la línea recta CF corta a AD en f.
Análisis de la sección transversal CEF △ABD→ (teorema de Meyer)
El comentario también puede agregar líneas auxiliares para demostrar que una de A, B y D es una línea paralela de CF.
2. La línea recta que pasa por el centro de gravedad G de △ABC corta a AB, AC, F en E y CB en D respectivamente.
Prueba:.
Analiza el vínculo y extiende la intersección de AG y BC hasta m, entonces m es el punto medio de BC.
Sección transversal DEG △ABM→(teorema de Meyer)
Sección transversal DGF △ACM→(teorema de Meyer)
∴===1
Comentario sobre el teorema de Meyer
3.d, E y F están en los lados BC, CA y AB de △ABC respectivamente.
, AD, BE y CF se cruzan para formar △LMN.
Encontrar LMN.
Análisis
Comentario sobre el teorema de Meyer
4 Tomando cada lado de △ABC como base, dibuja isósceles similares △BCE, △CAF y △ABG. Demuestre: AE, BF, CG se cruzan en un punto.
Análisis
Comentarios al teorema de Ceva
5 Se sabe que ∠B=2∠C en △ABC. Verificación: AC2 = AB2 BC AB.
Se analiza que las rectas paralelas con A como BC intersecan a △ABC, el círculo circunscrito es D, y conecta BD. Entonces CD=DA=AB, AC=BD.
Según el teorema de Ptolomeo, AC BD = AD BC CD AB.
Comentarios al Teorema de Ptolomeo
6 Se conoce el heptágono regular A1A2A3A4A5A6A7.
Prueba:. (21º Concurso de Matemáticas de toda la Unión Soviética)
Análisis
Comentarios sobre el teorema de Ptolomeo
7. La línea circunscrita de la línea de extensión del lado BC de. ABC alto AD p, PE⊥AB está en e, y la línea de extensión de ED está en f..
Verificación: BC ef = BF ce be cf.
Análisis
Comentarios al teorema de Simson (recta de Simson)
8 Las diagonales AC y CE del hexágono regular ABCDEF están dadas por Los puntos interiores M y. N, y la recta B, M y N*** se dividen en AM: AC = CN: Ce = K. Encuentra K. (23-IMO-5)
Análisis
Método del área de comentarios
9.O es un punto en △ABC, de O a BC y CA, la distancia a AB está representada por da, db y dc respectivamente, y la distancia de O a A, B y C está representada por Ra, Rb y Rc.
Verificación: (1)A Ra≥B d b C DC;
(2)a Ra≥c d b b DC;
(3) Ra Rb Rc≥ 2(da db dc).
Análisis
Método del área de comentarios
En 10. △ ABC, H, G y O son el centro vertical, el centro de gravedad y el centro exterior respectivamente.
Verificación: H, G, O línea * * * de tres puntos, HG=2GO. (Líneas eulerianas)
Análisis
Comentarios sobre la misma ley
En 11. △ ABC, AB=AC, AD⊥BC es igual a d, BM, BN ∠ABC, corta a AD en m y n, extiende CM y corta a AB en e
Verificación: MB//NE.
Análisis
Comentario sobre la transformación de simetría
12.g es el centro de gravedad de △ABC. Tomando AG como cuerda, BG es tangente a G y el punto de intersección de CG se extiende hasta D. Verificación: AG2 = GC GD.
Análisis
Conversión de traducción de comentarios
13.c es un punto por encima de ⊙O con diámetro AB=2 y P está dentro de △ABC. Si el valor mínimo de PA PB PC es, encuentre el área s de △ABC en este momento.
Análisis
Transformación de rotación de anotaciones
Punto de Fermat: O es un punto dentro de △ABC, ∠AOB =∠BOC =∠COA = 120; Cualquier punto del ABC. Prueba: PA PB PC≥OA OB OC. (O es el punto Fermat)
El análisis cc ', OO ', PP ', enlace OO ', PP '. Entonces △B OO’ y △B PP’ son triángulos equiláteros.
∴OO'=OB, PP' =PB Obviamente △bo ' c '≔△BOC, △BP ' c '≔△BPC.
Porque ∠bo ' c ' = ∠BOC = 120 = 180-∠bo ' o, ∴A, o, o ', c ' recta de cuatro puntos*.
∴ AP PP' p' c' ≥ AC' = ao oo' o' c', es decir, PA PB PC ≥ OA OB OC.
14. (Concurso Nacional '95) El círculo inscrito O del rombo ABCD corta cada lado en E, F, G y H respectivamente. Las tangentes de ⊙O en el arco EF y el arco GH están en M. respectivamente, N, P y Q se cruzan con AB, BC, CD y DA.
Verificación: MQ//NP.
Análisis de AB‖CD: Para probar MQ‖NP, solo necesitas probar que ∠AMQ=∠CPN
Combinado con ∠A=∠C, solo necesitas probar .
△AMQ∽△CPN
←, AM CN=AQ CP .
Conecta AC y BD, el punto de intersección es el centro O del círculo inscrito , dejemos que MN y ⊙O corten en k y conecten OE, OM, OK, on y OF. Recuerde ∠ABO=φ, ∠MOK=α, ∠KON=β, entonces
∠EOM=α, ∠FON=β, ∠EOF=2α 2β=180 -2φ.
∴∠BON=90 -∠NOF-∠COF=90 -β-φ=α
∴∠cno=∠nbo ∠nob=φ α=∠aoe ∠moe=∠aom
Y ∠ocn = ∠Mao,, entonces,
∴AM CN=AO empresa
Del mismo modo, AQ CP = ao empresa
Dar…make anotaciones
15. (Concurso Nacional '96) ⊙O1 y ⊙O2 son tangentes a las líneas rectas en los tres lados de δABC, con e, f, g, h como puntos tangentes, EG, FH. La línea de extensión se cruza con p. Prueba: PA⊥BC.
Análisis
Anotar...
16. , el cuadrilátero En ABCD, la diagonal AC biseca a ∠BAD. Tome un punto e en CD, BE y AC se cruzan en f, extienda DF a BC en g y verifique: ≈GAC =≈EAC.
Prueba: Relacionando BD con AC y h, usando el teorema de Seva para △BCD, podemos obtener
Debido a que AH es la bisectriz de ∠BAD, entonces desde la bisectriz del ángulo La línea teorema,
Por lo tanto, está disponible.
La recta paralela AB que pasa por C corta a la recta extendida AG en I, y la recta paralela AD que pasa por C corta a la recta extendida AE en j.
Entonces,
Por lo tanto, CI=CJ.
Y porque CI//AB, CJ//AD, ∠ACI=π-∠BAC=π-∠DAC=∠ACJ.
Por lo tanto, △ACI≔△ACJ, por lo tanto ∠IAC=∠JAC, es decir, ∠GAC=∠EAC.
Se sabe que AB=AD, BC=DC, AC y BD se cortan en O, dos rectas cualesquiera EF y GH que pasan por O cortan los cuatro lados del cuadrilátero ABCD en E, F, G y H. Únase a GF y EH y pague BD a myn respectivamente. Verificación: OM = activado. (El 5to CMO)
Prueba: Si △ E'H' △ E' OH', sólo hace falta probar E', M, H' * * *, es decir, E'H, BO, Punto GF.
Recuerda ∠BOG=α, ∠GOE'=β. Conecte e' f con BO y k, simplemente demuestre =1 (teorema inverso de Ceva).
===1
Nota: Forma de Zheng: un cuadrilátero en el que una diagonal biseca a la otra diagonal perpendicularmente.
Correspondiente a 2 en la liga 99: ∠ e 'ob = ∠ FOB, e 'h, GF, BO tres líneas son * * *. Prueba: ∠ gob = ∠ h 'ob.
De hecho, las condiciones anteriores son necesarias y suficientes, y la conclusión sigue siendo válida cuando m está en la línea de extensión OB.
Método de prueba: el mismo método.
Teorema de la mariposa: P es el punto medio de la cuerda AB de ⊙O Las dos cuerdas CD y EF de ⊙O se introducen por el punto P, conectando DE y AB en M, y CF y AB en n. Demuestre: MP=NP.
Supongamos que GH es el diámetro de p, FF'F, obviamente '∑⊙o. PF =PF'.
Y FF'⊥GH, AN⊥GH, ∴ff' ab. ∴∠F'PM ∠MDF'=∠FPN ∠EDF'
= ∠ eff' ∠ EDF' = 180, ∴P, m, d, f 'cuatro puntos * * * círculo. ∴∠PF'M=∠PDE=∠PFN.
∴△PFN≌△PF'M, PN=PM.
La conclusión general del comentario es: dado un punto P sobre la cuerda AB en a⊙O con radio R, dos cuerdas CD y EF que se cruzan pasan por P, e incluso CF y ED están en M y N corta a AB, dado OP=r, la distancia de P al punto medio de AB es a, entonces. (Prueba analítica: utilizando el conocimiento de los sistemas cónicos)