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Ejemplo 1 La imagen de la función proporcional inversa pasa por el punto (2, 5). Si el punto (1, n) está en la imagen de la función proporcional inversa, entonces el valor de n lo es.
Los puntos de prueba requieren que esta pregunta utilice puntos en la imagen de la función proporcional inversa para determinar su fórmula analítica, y la fórmula analítica se utilizará para determinar las coordenadas de los puntos.
Pensamiento: Dado que la imagen de la función proporcional inversa pasa por el punto (2, 5), podemos sustituir las coordenadas del punto (2, 5), determinar la fórmula analítica encontrando k y luego sustituir punto (1, n) Analíticamente, encuentre el valor de n, o directamente de acuerdo con las propiedades de la función proporcional inversa, es decir, el producto de la abscisa y la ordenada del punto en la imagen es una constante k, y obtenga 2 × 5 del significado de la pregunta.
La respuesta es 10.
El método transforma la función de resolución proporcional inversa, y podemos obtener que como k es una constante, el producto de la abscisa y la ordenada del punto en la imagen de la función proporcional inversa es una constante. A partir de esta conclusión es fácil obtener los resultados de este tipo de problemas.
El ejemplo 2 se muestra en la Figura 3-1. Se sabe que las coordenadas del punto A son (1,0) y el punto B se mueve en línea recta. Cuando el segmento de línea AB es el más corto, las coordenadas del punto B son
A (0, 0) BC
Los puntos de prueba requieren que esta pregunta pruebe el conocimiento de funciones, segmentos de línea. , triángulos rectángulos, etc. La combinación de números y formas es uno de los métodos matemáticos importantes.
Cuando el segmento AB es el más corto, AB⊥BO, partiendo del punto b de la recta, podemos saber que ∠AOB = 45°, OA=1, la intersección b es la perpendicular a el eje x, según las "tres líneas" isósceles "Unidad" y "la línea media de la hipotenusa es igual a la mitad de la hipotenusa" de un triángulo rectángulo puede determinar fácilmente las coordenadas del punto b.
La respuesta es b.
Advertencia de malentendido: algunos estudiantes pueden descubrir dónde se mueve el punto B y dónde la línea AB es la más corta, pero no pueden encontrar las coordenadas específicas. Método de avance: conociendo la fórmula analítica de la línea recta BO, encuentre las coordenadas del punto según la intersección de las dos líneas rectas, luego encuentre la fórmula analítica de la línea recta AB y use la ecuación para encontrar las coordenadas de la intersección.
La clave para resolver el problema: En la fórmula analítica de dos rectas mutuamente perpendiculares, el coeficiente del primer término es el recíproco. En base a esto, combinado con las coordenadas del punto a, se obtiene la fórmula analítica. de la recta AB se puede obtener.
Ejemplo 3 Cierta editorial publicó un libro de divulgación científica adecuado para estudiantes de secundaria. Si la primera tirada del libro no es inferior a 5.000, el dato correspondiente entre el coste del insumo y la tirada es el siguiente:
Tirada x (cantidad) 5000 8000 10000 15000…
Nivel y (yuanes) 28500 36000 41000 53500…
(1) Después de explorar los datos de la tabla anterior, encontramos que el costo de inversión y (yuanes) de este tipo de material de lectura es una función lineal del número de copias x (copias). Encuentre la fórmula analítica de esta función lineal (no es necesario anotar el rango de valores de x);
(2) Si la editorial invierte 48.000 yuanes, ¿cuántos libros puede imprimir?
Los puntos de prueba requieren que esta pregunta pruebe la determinación y aplicación de la función de discriminación.
Explicación de ideas (1) Por primera vez, supongamos que la función analítica es, entonces, la solución es, entonces la relación de la función es.
(2) x=12800 porque.
Las respuestas se pueden imprimir y leer en 12800 libros.
La clave del método de marcación es seleccionar un par apropiado de valores de los datos de la tabla proporcionada en la pregunta, sustituirlos en la fórmula analítica establecida y obtener la fórmula analítica.
Ejemplo 4 Si los tres puntos M, N y P están todos en la imagen de la función (k < 0), entonces la relación de magnitud es ().
A, B, C, D, D
Los puntos de prueba requieren esta pregunta para probar las propiedades de la función proporcional inversa y comparar el valor de la función con la imagen de la función.
Cuando k < 0, la gráfica de la función proporcional inversa se encuentra en dos o cuatro cuadrantes. En cada cuadrante, y aumenta a medida que x aumenta, como se puede ver en la imagen.
La respuesta es b.
Advertencia sobre malentendidos: algunos estudiantes no pueden comprender correctamente la naturaleza de la imagen de la función proporcional inversa y se malinterpreta fácilmente como "cuando k < 0, la imagen se ubica en el segundo y cuarto cuadrante, y y aumenta a medida que x aumenta." Método innovador: en lugar de simplemente juzgar según las propiedades, dibuje una imagen y use un boceto para juzgar.
Clave para resolver el problema: Al describir la imagen y propiedades de la función proporcional inversa, por ser una hipérbola se debe enunciar la premisa de "en cada cuadrante".
Ejemplo 6 La Figura 3-2 muestra una imagen parcial de una parábola conocida. Si y < 0, el rango de valores de Entonces puede obtenerlo sustituyendo (1, 2) en la fórmula analítica. Se puede ver en la imagen que cuando X = -1, la Y correspondiente está debajo del eje X; < 0; la parábola tiene dos intersecciones con el eje X, entonces > 0).
Tercero, responde la pregunta
21 Solución: (1) Observa que todos los puntos están distribuidos en línea recta, ∴ supongamos (k≠0).
Obtenido mediante el método del coeficiente indeterminado
(2) Si el beneficio de ventas diario es Z, entonces =
Cuando x=25, z es tan alto como 225,
Por lo tanto, cuando el precio de venta de cada producto se fija en 25 yuanes, el beneficio máximo de ventas diario es de 225 yuanes.
22. Solución: (1) ∫s△FAE∶s cuadrilátero AOCE = 1 ∶ 3, ∴ s △ FAE ∶ s △ FOC = 1 ∶ 4
∫ El cuadrilátero AOCB es Cuadrado, ∴AB‖OC, ∴△FAE∽△FOC, ∴ AE: OC = 1: 2
∵ OA = OC = 6, ∴ AE = 3, las coordenadas del punto e son (3, 6).
(2) Supongamos que la fórmula analítica de la recta EC es y = kx+b,
La recta y = kx+b pasa por E (3, 6) y c (6, 0)
∴, solución:
∴La fórmula analítica de EC lineal es y =-2x+12.
23. Solución: (1) Supongamos que es una función lineal y la fórmula analítica es
Cuando, cuando = 3, 6.
Solución, una función analítica de ∴
Cuando, representa esta función analítica, izquierda ≠ derecha. ∴: No es una función lineal.
Del mismo modo, no es una función cuadrática.
Supongamos que es una función proporcional inversa. La fórmula analítica es. En ese momento,
La función proporcional inversa de la solución disponible es.
Verificación: Cuando =3, se ajusta a la función proporcional inversa.
De manera similar, puedes verificar que 4 puntos, 0 puntos y 0 puntos son verdaderos.
Se puede representar mediante una función proporcional inversa.
(2) Solución: ① Cuando 50.000 yuanes, (10.000 yuanes),
∴: El costo de producción es 4.000 yuanes menor que en 2004.
②En ese momento. Ⅷ
∴(10.000 yuanes)
∴ invertirá alrededor de 6.300 yuanes.
24. Solución: (1) ∵,
Cuando x=2.
(2) Como se muestra en la figura, la imagen es una parábola con una apertura hacia arriba.
El eje de simetría es x=2 y el vértice es (2, -3).
(3) Según el significado de la pregunta, x1 y x2 son dos de las ecuaciones x2-4x+1=0.
∴x1+x2=4,x1x2=1.
∴
25. Solución: (1) De lo conocido: OC=0.6, AC=. 0,6, las coordenadas del punto A son (0,6, 0,6).
Sustituyendo y=ax2, obtenemos a=, la fórmula analítica de la parábola ∴ es y=x2.
(2) Las abscisas de los puntos D1 y D2 son 0,2 y 0,4 respectivamente.
Sustituyendo y=x2, obtenemos el punto D1 La ordenada de D2 es: y1=×0.22≈0.07, y2=×0.42≈0.27
∴ Columna c1d1 = 0.6-0.07. = 0,53, c2d2 = 0,6-0,27 = 0,33,
Debido a que la parábola es simétrica con respecto al eje Y, la longitud total de las columnas requeridas para la cerca es:
2(c 1d 1+C2 D2)+oc = 2(0.53+0.33)+0.6≈2.3m .
26.
Entonces = =, ya que el rango de valores de la variable es 0 < < 18.
(2)∵ ==
∴Cuando =9 (0 < 9 < 18), el vivero tiene el área más grande y el área máxima es 81.
Otra solución: ∫=-1 < 0, toma el valor máximo,
Cuando ∴ = (0 < 9 < 18), ()