Icosaedro en perspectiva
Al conectar un par de lados opuestos del icosaedro se formará un rectángulo, la relación entre su largo y ancho es la proporción áurea (aproximadamente 1,618). Si se cortan tres rectángulos iguales de este tipo de cartulina y se pegan simétricamente como se muestra en la Figura 1, sus 12 vértices caerán sobre los vértices de un icosaedro regular.
Para hacer un icosaedro regular de esta manera, puedes usar cartulina para hacer varios rectángulos de 13 cm × 8 cm (la proporción de dos números adyacentes en la secuencia de Fibonacci es una buena proporción áurea) Para valores aproximados, consulta "Paraíso matemático: una iluminación repentina"). Corta tiras largas de hendiduras en una cartulina rectangular y únelas, luego usa lana de colores o bandas elásticas para hacer los bordes. Haz pequeños cortes en forma de V en cada esquina para que sea más fácil fijar cada lado.
Buckminster Fuller, el genio de la arquitectura estadounidense famoso por diseñar cúpulas geodésicas, realizó estudios especiales sobre estructuras de acero que contenían pilares y alambres de acero tensados, muchos de los cuales giraban en torno al estudio de la "estructura mínima", es decir, encontrar la estructura más simple que puede mantener un número determinado de puntos en una determinada posición en el espacio. La Figura 2 es la solución de 12 vértices en la estructura del icosaedro regular, propuesta por Fuller. Las posiciones de los seis pilares en la imagen son donde se ubican los lados largos de los tres cartones rectangulares en el modelo mencionado anteriormente, y luego use alambre de acero o alambre de nailon para conectar los puntos finales.
Algunas líneas (bordes) no están dibujadas en la Figura 2. Fuller descubrió que en la estructura que diseñó, no era necesario conectar todos los bordes del icosaedro con cables de acero para mantener el pilar fijo. Si miras con atención, encontrarás que los puntos finales de cada pilar están conectados a 4 alambres de acero. Este modelo es más fascinante que la situación en la que cada vértice de un icosaedro regular completo está conectado a 5 aristas.
Realizar este modelo no es demasiado difícil. Prepare unas varillas de clavos tipo sándwich con un diámetro de 6 mm, corte una sección cada 30 cm y finalmente corte 6 secciones pequeñas (pilares). Luego corte una hendidura de 5 mm de profundidad al final de cada pilar, envuelva 6 bucles con una cuerda y conecte los pilares. La longitud de la cuerda es clave en cada bucle. Los bucles ABCD y RQPS que se muestran en la Figura 3 deben tener 72 cm de largo cuando la cuerda está tensa. Puedes enrollar la cuerda firmemente alrededor de un trozo de cartón o cartulina de 36 cm de ancho para obtener una longitud de 72 cm.
Es importante que la estructura del modelo sea fácil de ajustar. Las cuerdas quedan bien pegadas en las finas hendiduras de los extremos de los pilares para mantener la forma del modelo incluso cuando no están apretados.
Primero conecte los 4 pilares con 2 bucles, como se muestra en la Figura 3, y luego conecte los 2 pilares restantes con otros 4 bucles.
Desde el proceso de producción hasta la presentación del producto terminado, este modelo es bastante satisfactorio.
Entendiendo el octaedro regular
Hora de lanzamiento: 2006-11-24
Lo que vamos a discutir aquí es el octaedro regular compuesto por 8 triángulos equiláteros. Cada vértice tiene 4 triángulos que lo cruzan (Figura 1), y lo mismo ocurre con los demás vértices. Amplia la Figura 2 y haz un octaedro regular. El modelo hecho a partir de un triángulo con una longitud de lado de 8 cm es de tamaño moderado y un trozo de papel A4 o cartulina es perfecto. Si usa cartulina, recuerde marcar cada línea para crear bordes prolijos.
Podemos observar el octaedro regular desde muchos ángulos, y cada ángulo puede ayudarnos a comprenderlo mejor. La construcción de un modelo a partir de un gráfico desplegado centra nuestra atención en la forma de las caras y el número de caras que se encuentran en un vértice. Pero cuando se hace el modelo, otras propiedades del octaedro regular se vuelven obvias. Imagine cortar el octaedro regular por la mitad horizontalmente, con el plano de corte pasando por cuatro vértices A, B, C y D, como se muestra en la Figura 3. El octaedro regular se corta en dos pirámides iguales con bases cuadradas. Si se gira el octaedro de modo que cualquier otro vértice, como A o B, quede arriba, el resultado será el mismo. De hecho, si no hubiera marcas en el octaedro, sería imposible distinguir un vértice de los demás; lo mismo ocurre con las caras.
Debido a esta simetría, cualquier bisección a través de un par de vértices opuestos dará como resultado una sección cuadrada como se muestra en la Figura 4.
Esto nos da un nuevo ángulo para observar el octaedro regular y también brinda oportunidades para hacer
Diferentes métodos de modelado.
Utiliza cartulina para recortar dos cuadrados que representen las secciones ABCD y EBFD. Corte una hendidura fina en estos dos cuadrados, como se muestra en la Figura 5, y combine los dos trozos de papel a lo largo del DBO.
Cuando estas dos cartas son perpendiculares entre sí, los puntos A, B, C, D, E y F6 son los vértices del octaedro regular.
Continúa completando este modelo. Recorte el tercer cuadrado para representar la superficie de corte AECF; divida el cuadrado en dos mitades a lo largo de la diagonal EF y luego corte una hendidura delgada a lo largo de OA y OC, como se muestra en la Figura 6. Ahora coloque los dos mitades de cuadrados para completar este modelo; Y luego use pegamento o cinta adhesiva para arreglarlo.
Otra forma de hacer un modelo es utilizar 3 marcos cuadrados, enfocándonos en enfatizar la sección cuadrada del octaedro (puedes usar perchas de alambre viejas, y los alambres están pintados de diferentes colores). Con líneas que unen las esquinas, este modelo enfatiza los bordes del octaedro.
Al pasar un hilo o una banda elástica a través de una pajita, también puedes crear un modelo que enfatice los bordes octaédricos (Figura 7). Sin embargo, cuando se usan pajitas, generalmente se hace primero un triángulo y luego se construyen otros triángulos encima hasta completar el modelo. También puedes usar 4 pajitas para hacer 3 anillos separados, que representen las secciones ABCD, AECF y BEDF, y luego conectarlos. El modelo no es inherentemente rígido hasta que finalmente se une. Este método es bastante esclarecedor.
Partiendo de un vértice del octaedro, como A, puedes encontrar un camino que recorra todas las aristas sin repetir ninguna arista antes de regresar al punto inicial, por ejemplo:
A →B→E→D→F→B→C→D→A→E→C→F→A
H.E Dudney una vez diseñó un rompecabezas basado en esta pregunta, desafía a los lectores a descubrirlo. ¿Cuántos caminos de este tipo hay a partir de un vértice? La cantidad de caminos es asombrosa, intenta encontrarlos también.
Dado que existe tal camino, significa que puedes usar un anillo cerrado conectado por 12 pajitas para hacer un octaedro de pajitas. Por favor pruébalo.
Si colocas el octaedro de paja frente a la cortina y luego lo iluminas con luz, aparecerán varias formas de proyecciones, pero la más sorprendente es el hexágono y su diagonal (foto 8)． ¿Cómo se hace esto?
Siempre que agregues 3 pajitas a un lado del modelo de pajita, podrás hacer fácilmente un tetraedro. Si tales tetraedros se hacen a intervalos en cada cara de un octaedro, el resultado es un tetraedro más grande.
Otra forma de observar la relación entre el octaedro regular y el tetraedro regular es truncar simétricamente las esquinas del tetraedro regular, ver Figura 9.
Si partimos de un octaedro regular y le sumamos un tetraedro a sus 8 caras, el resultado será una estrella de ocho puntas o dos tetraedros regulares compenetrados entre sí, y el ** del medio será * La misma parte es el octaedro regular original, ver Figura 10.
Ahora observe atentamente la estrella de ocho puntas, podrá encontrar que cada esquina es también el vértice del cubo, vea la Figura 11, al mismo tiempo, los vértices del octaedro regular original también están ubicados exactamente; en el centro de cada cara del cubo, ver Figura 12.
De hecho, la estrecha relación entre el cubo y el octaedro regular es mucho más que eso. Si tomamos el octaedro regular como punto de partida y dibujamos líneas para conectar los puntos medios de caras adyacentes, podemos formar un cubo, ver Figura 13. Por lo tanto, llamamos sólidos "duales" al cubo y al octaedro regular y tienen la misma simetría. Cualquier plano de simetría del cubo es también el plano de simetría del octaedro regular. De la misma manera, lo mismo ocurre con el eje de simetría rotacional. Al mismo tiempo, ya sea un cubo o un octaedro, la forma final después del truncamiento es un "cuboctaedro" (cuboctaedro), ver Figura 14.
Los cristales naturales suelen tener varias formas. Por ejemplo, el cristal de cloruro de sodio general es un cubo, el cristal de alumbre es un octaedro regular y el cristal de mineral de argentita es un octaedro cuadrado. Una vez que entendemos que las esferas se pueden apilar de varias maneras para llenar el espacio, no sorprende que los cristales tengan diferentes formas. Los siguientes gráficos muestran algunos de los arreglos más comunes y sus relaciones con varias formas. Sin embargo, para entender realmente la relación entre ambas, lo mejor es hacer un modelo con una bola pequeña.
En las figuras 15 y 16, las bolas están dispuestas en forma cuadrada en cada nivel, y lo mismo ocurre en el nuevo nivel. Esto se llama pac cúbico
rey), como se muestra en la Figura 15. Si consideramos que 6 bolas quieren tocar una bola específica, ver Figura 16, entonces los centros de esas 6 bolas se ubican en los vértices del octaedro regular. Si se dispone una capa de bolas en un cuadrado, y las bolas de una nueva capa se ubican en los huecos formados por las bolas de la capa anterior, también puede aparecer la forma de un octaedro, ver Figura 17. El octaedro cuadrado se puede ver como una capa de bolas dispuestas en forma hexagonal, y la nueva capa de bolas se ubica en los distintos agujeros formados por la capa de bolas anterior, ver Figura 18. En este caso cabe señalar que entre las capas espaciadas, las bolas no están conectadas directamente arriba y abajo, sino que corresponden a los huecos formados por las bolas en la capa intermedia.
Dodecaedro regular
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Imagen:Dodekaeder-Animation.gif El dodecaedro es un Poliedro regular compuesto por 12 pentágonos regulares.
Si el centro del dodecaedro regular es (0,0,0), las coordenadas de sus vértices son {(0,±1/φ,±φ), (±1/φ,± φ ,0), (±φ,0,±1/φ), (±1,±1,±1)}, donde φ = (1+√5)/2, el número de la sección áurea.
Imagen:Dodecaedro plano.png
La teoría de los diagramas hamiltonianos surge de un problema relacionado con el dodecaedro regular: intentar encontrar un camino que lo atraviese por los bordes del dodecaedro regular. dodecaedro Todos los vértices.