Introducción: Cada número de la secuencia se denomina elemento de la secuencia. Una sucesión de números es una función cuyo dominio es el conjunto de los números enteros positivos (o su subconjunto finito), y es una sucesión de números ordenados. En términos generales, si la diferencia entre cada elemento de una secuencia que comienza desde el segundo elemento y el anterior es igual a la misma constante, la secuencia se llama secuencia aritmética (secuencia aritmética), y esta constante se llama diferencia común de los secuencia aritmética), la tolerancia generalmente se representa con la letra d, y la suma de los primeros n términos se representa con Sn. La progresión aritmética se puede abreviar como A.P. (Progresión aritmética). Fórmulas básicas para secuencia de secundaria:
1. La relación entre el término general an de una secuencia general y los primeros n términos y Sn: an=
2. La fórmula general de una secuencia aritmética: an= a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (donde a1 es el primer término y ak es el k-ésimo término conocido) Cuando d?0, an es una expresión lineal sobre n; cuando d=0, an es una constante.
3. Los primeros n términos y fórmula de la secuencia aritmética: Sn=
Sn=
Sn=
¿Cuándo d? 0 Cuando , Sn es una expresión cuadrática sobre n y el término constante es 0 cuando d=0 (a1?0), Sn=na1 es una expresión proporcional directa sobre n;
4. La fórmula general del término de la sucesión geométrica: an= a1 qn-1 an= ak qn-k
(donde a1 es el primer término y ak es el k conocido -ésimo término, an?0)
5. Los primeros n términos y fórmula de la secuencia geométrica: cuando q=1, Sn=n a1 (una fórmula proporcional directa sobre n
);Cuando q?1, Sn=
Sn=
Resumen de los puntos de conocimiento 2 de secuencias matemáticas de la escuela secundaria: Conclusiones sobre secuencias aritméticas y geométricas en matemáticas de la escuela secundaria
1. La secuencia Sm, S2m-Sm, S3m-S2m, S4m - S3m formada por la suma de m términos consecutivos de la secuencia aritmética {an} sigue siendo una secuencia aritmética.
2. En la secuencia aritmética {an}, si m+n=p+q, entonces
3. En la secuencia aritmética {an}, si m+n=p +q, entonces
4. La secuencia Sm, S2m-Sm, S3m-S2m, S4m - S3m formada por la suma de m términos consecutivos de la secuencia geométrica {an} sigue siendo una secuencia geométrica.
5. La sucesión {an+bn} y {an-bn}, que son la suma y la diferencia de dos sucesiones aritméticas {an} y {bn}, siguen siendo sucesiones aritméticas.
6. Una secuencia que consta del producto, cociente y recíproco de dos secuencias geométricas {an} y {bn}
{an
bn}, <. /p>
,
siguen siendo secuencias geométricas.
7. La secuencia compuesta por cualesquiera términos equidistantes de la secuencia aritmética {an} sigue siendo una secuencia aritmética.
8. La secuencia compuesta por cualesquiera términos equidistantes de la secuencia geométrica {an} sigue siendo una secuencia geométrica.
9. La idea de tres números formando una secuencia aritmética: a-d, a, a+d la idea de cuatro números formando una secuencia aritmética: a-3d, a-d,, a+; d, a+3d
10. La forma incorrecta de convertir tres números en una secuencia proporcional: a/q, a, aq
La forma incorrecta de convertir cuatro números en una; secuencia proporcional: a/q3, a/ q,aq,aq3 (¿Por qué?)
11. {an} es una secuencia aritmética, entonces
(c>0) es una secuencia geométrica.
12. {bn}(bn>0) es una secuencia geométrica, entonces {logcbn} (c>0 y c
1) es una secuencia aritmética. 13. En la secuencia aritmética
: (1) Si el número de términos es
, entonces
(2) Si el número es
Entonces,
,
14. En la secuencia geométrica
: (1) Si el número de términos es
, entonces
(2) Si el número es
entonces, los métodos y técnicas básicos para sumar una secuencia en matemáticas de secundaria
1. usando el método de fórmula:
①Fórmula de suma de secuencias aritméticas
②Fórmula de suma de secuencias geométricas, declaración especial: cuando utilice la fórmula de suma de secuencias geométricas, asegúrese de verificar la relación entre sus proporciones comunes y 1, si es necesario Discusión de clasificación.
③Fórmulas de uso común:
,
,
Como (1) geométrica. secuencia
El primer término de
y Sn=2n-1, entonces
=_____ (Respuesta:
); ) Las computadoras convierten la información procesada en números binarios.
Binario significa que cada 2 se convierte en 1. Por ejemplo,
representa un número binario y convertirlo a decimal es
Luego convierte binario
. en un número decimal Sí_______ (Respuesta:
) 2. Método de suma de secuencia agrupada: cuando es difícil usar directamente el método de fórmula para sumar, a menudo fusionamos primero los términos similares en la fórmula de suma. y luego Use el método de fórmula para encontrar la suma. Por ejemplo:
(Respuesta:
) 3. Encuentre la suma de una secuencia usando el método de suma en orden inverso: Si la suma. de los dos términos en la fórmula de suma son iguales en distancia desde el principio hasta el final, tenemos Si su carácter absoluto o el término general de la secuencia está asociado con la combinación de números, a menudo puede considerar usar el método de suma en orden inverso para aproveche su carácter absoluto para la suma (este también es el caso antes de la secuencia aritmética
y el método de derivación de fórmulas. Por ejemplo, ① demuestre:
; p>
, entonces
=______ (Respuesta:
) 4. Encuentra la suma de una secuencia usando el método de resta desplazada: Si el término general de una secuencia está compuesto del término general de una secuencia aritmética multiplicado por el término general de una secuencia geométrica, entonces se usa a menudo el método de resta desplazada (este también es el caso antes de la secuencia geométrica
Y el método de derivación de fórmulas). ejemplo (1) Sea
una secuencia geométrica,
, conocida
,
p>
, ① Encuentre el término principal y razón común de la secuencia
; ② Encuentre la fórmula del término general de la secuencia
(Respuesta: ①
,
<. p>;②); (2) Deje que la función
y la secuencia
satisfagan:
, ① Demuestre: La secuencia
es una secuencia geométrica; ② Sea
encontrar la derivada de la función
en el punto
y
.
(Respuesta: ① Omitir; ②
, cuando
,
=
; cuando
,
<
;Cuando
,
>
)
5. Dividir Método de cancelación de términos para sumar una secuencia: si el término general de una secuencia se puede dividir en la forma de diferencias de dos términos y los términos adyacentes están relacionados después de la división, entonces el método de cancelación de términos divididos se usa a menudo para sumar. los términos divididos utilizados son Las formas de los elementos son:
①
②
; ③
,
; ; ④
;⑤
; ⑥
Como (1) suma:
(Respuesta:
); ( 2) En la secuencia
,
y Sn=9, entonces n=_____
(Respuesta: 99); p>
6. Encuentre la suma de una secuencia usando el método de conversión de términos generales: primero deforme el término general, descubra sus características intrínsecas y luego use el método de suma de grupos para encontrar la suma. Por ejemplo
①Encuentra la suma del primer término de la secuencia 1?4, 2?5, 3?6,?,
,?
= (Respuesta:
); ②Suma:
(Respuesta:
) Los siguientes métodos se utilizan comúnmente para encontrar el término general. fórmula de una secuencia en matemáticas de secundaria:
1. Si se conoce la pregunta o se juzga mediante un razonamiento simple que es una secuencia geométrica o una secuencia aritmética, use su fórmula general directamente.
Ejemplo: En la secuencia {an}, si a1=1, an+1=an+2(n1), encuentra la fórmula general an de la secuencia.
Solución: De an+1=an+2(n1) y la sucesión conocida {an}, se puede deducir que es una sucesión aritmética de a1=1 y d=2. Entonces an=2n-1. Este tipo de preguntas utiliza principalmente las definiciones de secuencias geométricas y aritméticas para juzgar, y es una pregunta básica relativamente simple.
2. La suma de los primeros n términos de la secuencia conocida, usa la fórmula
S1 (n=1)
Sn-Sn-1 ( n2)
p>
Ejemplo: Se sabe que los primeros n términos de la secuencia {an} y Sn=n2-9n, el k-ésimo término satisface 5
( A) 9 (B) 8 (C) 7 (D ) 6
Solución: ∵an=Sn-Sn-1=2n-10, ?5<2k-10<8 ?k=8 Elegir (B)
Este tipo de preguntas Al resolver, asegúrese de considerar el caso de n=1.
3. Cuando se conoce la relación entre an y Sn, el método de transformación generalmente se usa para encontrar primero la relación entre Sn y n, y luego la fórmula general se encuentra mediante el método (2) anterior.
Ejemplo: Se sabe que los primeros n términos de la secuencia {an} y Sn satisfacen an=SnSn-1(n2), y a1=-, encuentre la fórmula del término general de la secuencia {un}.
Solución: ∵an=SnSn-1(n2), y an=Sn-Sn-1, SnSn-1=Sn-Sn-1, dividimos ambos lados por SnSn-1, obtenemos-- - =-1(n2), y -=-=-, ?{-} es una secuencia aritmética con - como primer término y -1 como diferencia común, ?-= -, Sn= -,
Luego use el método (2): cuando n2, an=Sn-Sn-1=-, cuando n=1 esta fórmula no es adecuada, entonces,
- (n=1)
- (n2)
4. Utilice métodos de acumulación y acumulación para encontrar la fórmula general
Para la recursividad de an, an+1 y an-1 Dado en la fórmula de la pregunta, los métodos de acumulación y acumulación se usan comúnmente para encontrar la fórmula general.
Ejemplo: supongamos que la secuencia {an} es una secuencia positiva con el primer término 1 y satisface (n+1)an+12-nan2+an+1an=0, encuentre la general de la secuencia {an} Fórmula del término
Solución: ∵(n+1)an+12-nan2+an+1an=0, que se puede descomponer en [(n+1)an+1-nan] (an+1+an )=0
Y ∵{an} es una secuencia positiva con el primer término 1, ?an+1+an ?0, ?-=-, de la cual podemos obtenga: -=-, -= -, -=-, ?, -=-, multiplique estas n-1 fórmulas para obtener: ? -=-,
Y ∵a1=1, ?an= -(n2), ∵n=1 también es cierto, ?an=-(n?N*)
5. Utilice el método de construir una secuencia para encontrar la fórmula general
Si se da la pregunta: Cuando es difícil encontrar la fórmula del término general usando acumulación, acumulación, iteración, etc., puede considerar deformarla para construir una fórmula que contenga un (o Sn) para convertirla en una secuencia geométrica o aritmética. , para descubrir Descubrir la relación entre an (o Sn) y n ha sido un tema candente en el examen de ingreso a la universidad en los últimos uno o dos años, por lo que es un punto importante y difícil.
Ejemplo: En la secuencia conocida {an}, a1=2, an+1=(--1)(an+2), n=1,2,3,
(1) Encuentre brevemente la fórmula del término general (2) de {an}
Solución: De an+1=(--1)(an+2), obtenemos an+1--= (--1 )(an--)
?{an--} es una secuencia geométrica cuyo primer término es a1-- y cuya razón común es -1.
De a1=2, obtenemos an--=(--1)n-1(2--), entonces an=(--1)n-1(2--)+-
p>
Otro ejemplo: En la secuencia {an}, a1=2, an+1=4an-3n+1(n?N*), demostrando que la secuencia {an-n } es una secuencia geométrica.
Prueba: esta pregunta prueba an+1-(n+1)=q(an-n) (q es una constante distinta de cero)
De an+1=4an -3n +1, se puede transformar en an+1-(n+1)=4(an-n), y ∵a1-1=1,
Por lo tanto, el primer término de la secuencia { an-n} es 1, una secuencia geométrica con una proporción común de 4.
Si se cambia esta pregunta para encontrar la fórmula general de an, aún puedes encontrar la fórmula general de {an-n} y luego transformarla en la fórmula general de an.
Otro ejemplo: Supongamos que el primer término de la secuencia {an} es a1?(0,1), an=-, n=2, 3, 4(1) y encuentre la fórmula general de {un}. (2) Brevemente
Solución: de an=-, n=2,3,4, se ordena en 1-an=--(1-an-1) y 1-a1?0 , Por lo tanto, {1-an} es una secuencia geométrica cuyo primer término es 1-a1 y cuya razón común es --, y obtenemos an=1-(1-a1)(--)n-1