La esencia de la fórmula de inducción
La llamada fórmula de inducción de funciones trigonométricas consiste en transformar la función trigonométrica del ángulo n·(π/2)±α en la función trigonométrica del ángulo α.
Fórmulas de inducción de uso común
Fórmula 1: Sea α cualquier ángulo, y los valores de la misma función trigonométrica de ángulos con los mismos lados terminales son igual:
sin (2kπ+α) =sinα k∈z
cos（2kπ+α）=cosα k∈z
tan（2kπ+α ）=tanα k∈z
cot（ 2kπ+α)=cotα k∈z
Fórmula 2: Sea α cualquier ángulo, la relación entre el valor de la función trigonométrica de π+ α y el valor de la función trigonométrica de α:
sin（π+α）=－sinα k∈z
cos（π+α）=－cosα k∈z
tan（π+α）=tanα k∈z
cot (π+α) = cotα k∈z
Fórmula 3: La relación entre los valores de las funciones trigonométricas de cualquier ángulo α y -α:
sin (-α)=-sinα
cos (-α)=cosα
tan (-α )=-tanα
cot (-α)=- cotα
Fórmula 4: Usando la fórmula 2 y la fórmula 3, podemos obtener la relación entre los valores de la función trigonométrica. de π-α y α:
sin (π-α) = sinα
p>
cos（π－α）=－cosα
tan（π－α）=－tanα
cot（π－α）=－cotα
Fórmula 5: Usando la Fórmula 1 y la Fórmula 3, podemos obtener la relación entre las variables trigonométricas valores de función de 2π-α y α:
sin (2π-α) = -sinα
cos（2π－α）=cosα
tan（2π－α）=－tanα
cot（2π－α）=－cotα
Fórmula 6: La relación entre los valores de la función trigonométrica de π/ 2±α y α:
sin (π/2+α) = cosα
cos (π/2+α) = -sinα
tan ( π/2+α) = -cotα
cot (π/2+α) = -tanα
sin (π/2 -α) = cosα
cos (π/2-α) = sinα
tan (π/2-α) = cotα
cot (π/ 2-α)=tanα
Consejos para inducir la memoria de fórmulas: "los impares cambian a pares, lo mismo, los símbolos se miran en los cuadrantes".
"Pares e impares" se refieren a múltiplos de π/2. Los pares e impares, ". cambio e invariancia" se refiere al cambio en el nombre de la función trigonométrica:
"Cambio" significa que el seno se convierte en coseno y la tangente se convierte en cotangente. (Lo contrario es cierto) "Ver el cuadrante de la símbolo "El significado es:
Trate el ángulo α como un ángulo agudo, independientemente del cuadrante en el que se encuentre el ángulo α, y vea en qué cuadrante está el ángulo n·(π/2)±α, para obtener la siguiente ecuación
¿El lado derecho de la fórmula es un signo positivo o negativo?
Fórmula de juicio de símbolos: "Uno es todo positivo; dos es seno; tres y dos son tangentes; cuatro es coseno." El significado de esta fórmula de doce caracteres
Pensar significa: los cuatro valores de la función trigonométrica de cualquier ángulo en el primer cuadrante son "+"; en el segundo cuadrante, solo el seno
es "+", y el resto son todos "-" En el tercer cuadrante, solo la tangente y la cotangente son "+", y el resto son "-"; p>
En el cuarto cuadrante, sólo el coseno es "+", y el resto son "-" "ASCT" inversa Z. significa "todo",
"sin", "cos". , "t"
an" según el cuadrante ocupado escribiendo la letra Z al revés, la función trigonométrica correspondiente al cuadrante es positiva.
Otros conocimientos de funciones trigonométricas
Expresiones relacionales básicas de funciones trigonométricas del mismo ángulo
Relación recíproca
tanα ·cotα=1
sinα ·cscα=1
cosα ·secα=1
Cociente La relación
sinα/cosα=tanα=secα/cscα
cosα/sinα=cotα=cscα/secα
Relación cuadrada
sin^2(α)+cos^2(α)=1
1+tan^2(α)=sec^2(α)
1+cot^2( α)=csc^2(α)
Método de memoria hexagonal de relación de función trigonométrica isogonal
La construcción se basa en "cuerda superior, corte medio, corte inferior corte; positivo izquierdo, resto derecho, hexágono regular central de 1" es el modelo.
En la relación recíproca, las dos funciones en la diagonal son recíprocas entre sí;
En la relación recíproca, las dos funciones en la diagonal son recíprocas entre sí; relación de cociente, el valor de la función en cualquier vértice del hexágono es igual al producto de los valores de la función en los dos vértices adyacentes
(principalmente el producto de los valores de la función trigonométrica en ambos extremos. de las dos líneas de puntos). A partir de esto, se puede obtener la relación del cociente.
Relación de cuadrados En un triángulo rayado, la suma de los cuadrados de los valores de la función trigonométrica en los dos vértices superiores es igual. al cuadrado del valor de la función trigonométrica en los vértices inferiores
Fórmula para suma y diferencia de dos ángulos
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ
sin（α－β）=sinαcosβ－cosαsinβ
cos（ α+β)=cosαcosβ－sinαsinβ
cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ
tan（α+β）=(tanα+tanβ )/(1－tanα · tanβ)
tan (α-β) = (tanα-tanβ)/(1+tanα ·tanβ)
Fórmulas para seno, coseno y tangente de ángulos dobles
sin2α=2sinαcosα
cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)= 2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)
tan2α=2tanα/(1-tan^2(α))
Seno de medio ángulo, Fórmulas de coseno y tangente
sin^2(α/2)=(1- cosα)/2
cos^2(α/2)=(1+cosα)/2
tan^2(α/2)=(1-cosα)/( 1+cosα)
tan(α/2)=(1—cosα)/sinα=sinα /1+cosα
Fórmula universal
sinα=2tan (α/2)/(1+tan^2(α/2))
cosα= (1－tan^2(α/2))/(1+tan^2(α/2 ))
tanα=(2tan(α/2))/(1-tan^2( α/2))
Fórmulas para seno, coseno y tangente de tres veces el ángulo
p>sin3α=3sinα-4sin^3(α)
cos3α=4cos^3(α)-3cosα
tan3α=(3tanα-tan^3(α) )/(1-3tan^2(α))
Suma y diferencia fórmula del producto de funciones trigonométricas
sinα+sinβ=2sin((α+β)/2) ·cos ((α-β)/2)
senα-sinβ=2cos( (α+β)/2) ·sen((α-β)/2)
cosα+cosβ=2cos((α+β)/2)·cos((α-β)/2)
cosα-cosβ=-2sin((α+β )/2)·sin((α-β)/2)
Fórmula del producto y diferencia de funciones trigonométricas
sinα·cosβ=0.5[sin(α+β)+ sin (α-β)]
cosα·sinβ=0.5[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=0.5[cos(α + β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-0.5[cos(α+β)-cos(α-β)]
Editar esta fórmula Proceso de derivación
Derivación de fórmula universal
sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α)).*,
(Porque cos^2(α)+sin^2(α)=1)
Luego dividimos la fracción * hacia arriba y hacia abajo por cos^2(α), podemos obtener sin2α=2tanα/(1+tan ^2(α))
Luego reemplace α con α/2.
De la misma manera, se puede derivar la fórmula universal del coseno. Se puede obtener la fórmula universal de la tangente. por relación de seno a coseno
Derivación de la fórmula del ángulo triple
tan3α=sin3α/cos3α
=(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)
= (2sinαcos^2(α)+cos^2(α)sinα-sin^3(α))/(cos^3(α)
-cosαsin^2 (α)-2sin^2( α)cosα)
Dividimos por cos^3(α) como arriba y abajo, obtenemos:
tan3α=(3tanα-tan^3 (α))/(1-3tan^2 (α))
sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα
=2sinαcos^2(α)+( 1-2sin^2(α))sinα
=2sinα-2sin^3(α)+sinα-2sin^3(α)
=3sinα-4sin^3(α )
cos3α=cos (2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα
=(2cos^2(α)-1)cosα-2cosαsin^2(α)
=2cos^3(α)- cosα+(2cosα-2cos^3(α))
=4cos^3(α)-3cosα
Es decir,
sin3α=3sinα-4sin^3 (α)
cos3α=4cos^3(α)-3cosα
Derivación de la fórmula del producto suma-diferencia
Primero que nada, sabemos sin(a+b) =sina*co *** +cosa*sinb,sin(a-b)=sina*co *** -cosa*sinb
Sumamos las dos ecuaciones para obtener sin(a+b)+sin (a-b)=2sina*co ***
Por lo tanto, sina*co *** =(sin(a+b)+sin (a-b))/2
La misma razón, si restamos las dos ecuaciones, obtenemos cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
De manera similar, también sabemos que cos(a+b)=cosa *co *** -sina*sinb,cos(a-b)=cosa*co *** +sina*sinb
<p> Entonces, sumando las dos ecuaciones, podemos obtener cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*co ***
Entonces obtenemos, cosa*co *** =( cos(a+b)+cos(a-b))/2
Del mismo modo, restando las dos ecuaciones, obtenemos sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b) )/ 2
De esta forma obtenemos las cuatro fórmulas de producto y diferencia:
sina*co *** =(sin(a+b)+sin(a-b ))/ 2
cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
cosa*co *** =(cos(a+b )+cos (a-b))/2
sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
OK, tenemos el producto suma Después de los cuatro fórmulas de la diferencia, solo necesitamos una deformación para obtener las cuatro fórmulas del producto suma-diferencia
Establecemos a+b en las cuatro fórmulas anteriores en x, y establecemos a-b en y, luego a. =(x+y)/2, b=(x-y)/2
Al expresar a y b como x e y respectivamente, podemos obtener las cuatro fórmulas del producto suma-diferencia:
sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
sinx-siny=2cos((x+y)/2) *sin ((x-y)/2)
cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
cosx-cosy= -2sin ((x+y)/2)*sin((x-y)/2)