Derivación de variables de límite superior utilizando funciones de límite superior de variables altas

En primer lugar, la integral en el lado derecho de la ecuación es la integral de partes, u = x 2-t 2, dv=f'(t)dt=df(t) se selecciona como x 2 * f (0) +∫ (0 a x) 2tf(t )dt. Entonces f(x)= x^2 * f(0)+∫(0 a x)2tf(t)dt+x^2.

La derivada de ambos lados de la ecuación da f'(x)=2x*f(0)+2xf(x)+2x.

Sustituyendo x=0 en ambos lados de la ecuación original, obtenemos f(0)=0.

Entonces f'(x)=2xf(x)+2x, f(0)=0.

Esta es una ecuación diferencial de primer orden. Si y=f(x), entonces y'-2xy=2x.

Primero resuelve y'-2xy=0. Variable componente, dy/y=2xdx. Integrando ambos lados, lny = x ^ 2+lnc, entonces y = ce(x ^ 2).

Supongamos que la solución de la ecuación diferencial original es y = c(x)e(x ^ 2), y sustitúyala para obtener c '(x)= 2xe(-x ^ 2). La integral es c(x)=-e(-x ^ 2)+c.

Entonces la solución general de la ecuación diferencial original es y =[-e(-x ^ 2)+c]e(x ^ 2)=-1+ce(x ^ 2).

Entonces f(x)=-1+ce(x^2).

De f(0)=0, podemos obtener C=1.

Entonces f(x)=-1+e(x ^ 2).

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Parece ser una verdadera pregunta de examen de ingreso a posgrado. Aunque no sea una pregunta real, el nivel de dificultad cumple con los requisitos.