1. Resumen de conocimientos:
1. Conceptos relacionados con las colecciones.
1) Conjunto (conjunto): Ciertos objetos especificados reunidos se convierten en un conjunto (conjunto). Cada objeto se llama elemento
Nota: ① Conjuntos y elementos de conjuntos son dos conceptos diferentes. Se dan mediante una descripción en el libro de texto, que es similar a los conceptos de puntos y líneas rectas en geometría plana.
②Los elementos del conjunto tienen certeza (a?A y a?A, uno de ellos debe ser uno), mutualidad (si a?A, b?A, entonces a≠b) y Desorden ( {a,b} y {b,a} representan el mismo conjunto).
③Un conjunto tiene dos significados, a saber: todos los objetos que cumplen las condiciones son sus elementos, siempre que sean sus elementos, deben significar las condiciones
2) Método de representación de el conjunto: Se utilizan comúnmente el método de enumeración, el método de descripción y el método gráfico
3) Clasificación de conjuntos: conjunto finito, conjunto infinito, conjunto vacío.
4) Conjuntos de números de uso común: N, Z, Q, R, N*
2. Conceptos como subconjunto, intersección, unión, complemento, conjunto vacío, conjunto completo, etc.
1) Subconjunto: Si x∈A tiene x∈B, entonces A B (o A B
2) Subconjunto propio: A B y hay x0∈B pero x0 A; denotado como A B (o, y)
3) Intersección: A∩B={x| x∈A y x∈B}
4) Unión: A∪ B={ x| x∈A o x∈B}
5) Complemento: CUA={x| x A pero x∈U}
Nota: ①, ¿Si A≠? , entonces ? A;
②Si, , entonces;
③Si y, entonces A=B (conjunto igual)
3. Comprender la relación entre conjuntos y elementos, conjuntos y conjuntos, y dominar los términos y símbolos relevantes. Preste especial atención a los siguientes símbolos: (1) la diferencia entre , ?;
4. Varias relaciones de equivalencia sobre subconjuntos
①A∩B=A A B; ②A∪B=B A B; ③A B C uA C uB
④A∩CuB = conjunto vacío CuA B= Yo A B.
5． Propiedades de las operaciones de intersección y unión
①A∩A=A, A∩? = ?, A∩B=B∩A; ∪A;
③Cu (A∪B)= CuA∩CuB, Cu (A∩B)= CuA∪CuB;
6. Número de subconjuntos finitos: supongamos que el número de elementos en el conjunto A es n, entonces A tiene 2n subconjuntos, 2n-1 subconjuntos no vacíos y 2n-2 subconjuntos propios no vacíos.
2. Explicación de ejemplo:
Ejemplo 1 Se sabe que el conjunto M={x|x=m+ ,m∈Z},N={x|x= ,n∈Z},P={x| x= , p∈Z}, entonces M, N, P satisfacen la relación
A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M
Análisis 1: Juicio del elementos Comencemos con el sexo y la diferencia.
Respuesta 1: Para el conjunto M: {x|x= ,m∈Z}; para el conjunto N: {x|x= ,n∈Z}
Para el conjunto P: {x | P, entonces elige B.
Análisis 2: Simplemente enumera los elementos del conjunto.
Respuesta 2: M={…, ,…}, N={…, , , ,…}, P={…, , ,…}. En este momento, no se apresure a juzgar el La diferencia entre los tres conjuntos debe analizarse para diferentes elementos en cada conjunto.
= ∈N, ∈N, ∴M N, y = M, ∴M N,
= P, ∴N P y ∈N, ∴P N, entonces P=N, entonces elige B.
Comentarios: Dado que la segunda idea sólo se queda en la hipótesis inductiva inicial y no resuelve el problema teóricamente, se defiende la primera idea, pero la segunda idea ha cambiado de manos.
Variación: Supongamos el conjunto , , luego (B)
A. M=N B. MNC. NMD.
Solución:
En ese momento, 2k+1 es un número impar y k+2 es un número entero Elija B
El ejemplo 2 define el conjunto A. *B={x| x∈A y x B}, si A={1,3,5,7},B={2,3,5}, entonces el número de subconjuntos de A*B es
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4
Análisis: Para determinar el número de subconjuntos del conjunto A*B, primero determine el número de elementos y luego use la fórmula : El conjunto A={a1, a2 ,...,an} tiene 2n subconjuntos para resolver.
Respuesta: ∵A*B={x|x∈A and x B}, ∴A*B={1,7}, tiene dos elementos, por lo que es un subconjunto de A*B* * *Hay 22. Elige D.
Variación 1: Se sabe que el conjunto no vacío M {1,2,3,4,5}, y si a∈M, entonces 6?a∈M, entonces el número de conjuntos M es
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8
Variación 2: Conocida {a,b} A {a,b,c,d, e}, encontrar el conjunto A.
Solución: Se sabe que el conjunto debe contener los elementos a, b.
El conjunto A puede ser {a, b}, {a, b , c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}. /p>
Comente que el número del conjunto A en esta pregunta es en realidad el número de subconjuntos propios del conjunto {c, d, e}, por lo que *** hay uno.
Ejemplo 3 Conjunto conocido A={x|x2+px+q=0}, B={x|x2?4x+r=0} y A∩B={1}, A∪B={?2,1, 3}, Encuentra los valores de los números reales p, q, r.
Respuesta: ∵A∩B={1} ∴1∈B ∴12?4×1+r=0,r=3.
∴B={x|x2 ?4x+r=0}={1,3}, ∵A∪B={?2,1,3},?2 B, ∴?2∈A
∵A∩B={ 1} ∴1∈A ∴Las dos raíces de la ecuación x2+px+q=0 son -2 y 1,
∴ ∴
Variación: Dado el conjunto A={x |x2+bx+c=0}, B={x|x2+mx+6=0}, y A∩B={2}, A∪B=B, encuentre los valores de los números reales b, c , m.
Solución: ∵A∩B={2} ∴1∈B ∴22+m?2+6=0,m=-5
∴B={ x|x2- 5x+6=0}={2,3} ∵A∪B=B ∴
Y ∵A∩B={2} ∴A={2} ∴b=-( 2+2) =4,c=2×2=4
∴b=-4,c=4,m=-5
Ejemplo 4 Dado el conjunto A={x |(x -1)(x+1)(x+2)>0}, el conjunto B satisface: A∪B={x|x>-2} y A∩B={x|1
Análisis: primero simplifique el conjunto A y luego use A∪B y A∩B para determinar qué elementos en el eje numérico pertenecen a B y qué elementos no pertenecen a B, respectivamente.
Respuesta: A={x|-21}. De A∩B={x|1-2}, conocemos B y (-∞,-2)∩B=ф.
Basado en las fórmulas anteriores, B={x|-1≤x≤5}
Variación 1: Si A={x|x3+2x2-8x>0}, B={x|x2+ax+b≤0}, se sabe que A∪B={x|x>-4}, A∩B=Φ, encuentre a y b. (Respuesta: a=-2, b=0)
Comentarios: Al resolver problemas de conjuntos relacionados con el conjunto solución de desigualdades, se debe prestar atención al uso del método de combinar números y formas para crear un número. eje para resolverlo.
Variación 2: Supongamos M={x|x2-2x-3=0}, N={x|ax-1=0}, si M∩N=N, encuentre todos aquellos que satisfagan la condiciona una colección de a.
Respuesta: M={-1,3}, ∵M∩N=N, ∴N M
①En ese momento, ax-1=0 no tenía solución, ∴a= 0 ②
Basado en ①②: el conjunto deseado es {-1, 0, }
Ejemplo 5: Dado el conjunto, el dominio de la función y=log2(ax2-2x +2) es Q, si P∩Q≠Φ, encuentre el rango de valores del número real a.
Análisis: primero convierta el problema original en la desigualdad ax2-2x+2>0 donde hay una solución, y luego use la separación de parámetros para resolverlo.
Respuesta: (1) Si hay una solución en
Sea entonces,
Entonces a>-4, entonces el rango de valores de a es
Variación: Si la ecuación sobre x tiene raíces reales, encuentra el rango del número real a.
Respuesta:
Comentarios: Para resolver problemas con problemas de parámetros, generalmente se requieren discusiones de clasificación, pero no es necesario discutir todos los problemas. Cómo evitar discusiones es lo que pensamos al respecto. tipo de discusión. El quid de la cuestión.
3. Ejercicios de clase
Preguntas de opción múltiple
1. Las siguientes ocho expresiones relacionales ①{0}= ② =0 ③ { } ④ { } ⑤{0}
⑥0 ⑦ {0} ⑧ { }El número correcto de ellas
(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7
2. Los subconjuntos propios del conjunto {1, 2, 3} son ***
(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8
3 ． El conjunto A={x } B={ } C={ } también tiene
(A) (a+b) A (B) (a+b) B (C)(a+b) C (D) (a+b) Cualquiera de A, B y C
4. Supongamos que A y B son dos subconjuntos del conjunto completo U, y A B, entonces la siguiente fórmula es verdadera
(A) CUA CUB (B) CUA CUB=U
(C )A CUB= (D)CUA B=
5. Se sabe que el conjunto A={ }, B={ }, entonces A =
(A) R (B) { }
(C) { } (D) { }
6. Las siguientes declaraciones: (1) 0 y {0} representan el mismo conjunto; (2) El conjunto que consta de 1, 2, 3 se puede expresar como
{1, 2, 3} o {3. , 2 , 1}; (3) El conjunto de todas las soluciones de la ecuación (x-1)2(x-2)2=0 se puede expresar como {1, 1, 2} (4) El conjunto { } es; un conjunto finito, correcto Sí
(A) Sólo (1) y (4) (B) Sólo (2) y (3)
(C) Sólo (2) ( D) Todas las afirmaciones anteriores son incorrectas
7. Supongamos que S y T son dos conjuntos no vacíos, y S T, T S, sea X=S entonces S∪X=
(A)X (B)T (C)Φ (D)S
8 Supongamos el discriminante de las raíces de la ecuación cuadrática ax2+bx+c=0 (a<0), entonces el conjunto solución de la desigualdad ax2+bx+c 0 es
(A ) R (B) (C) { } (D) { }
Rellena los espacios en blanco
9. En el sistema de coordenadas cartesiano, el conjunto de puntos de la coordenada El eje se puede expresar como
10. Si A={1,4,x}, B={1,x2} y A B=B, entonces x=
11. Si A={x } B ={x}, el conjunto completo U=R, entonces A =
12. Si la ecuación 8x2+(k+1)x+k-7=0 tiene dos raíces negativas , entonces el rango de valores de k es
13 Supongamos que el conjunto A={ }, B={x } y A B, entonces el rango de valores del número real k es.
14. Sea el conjunto completo U={x un número impar no negativo menor que 20}, si A (CUB) = {3, 7, 15}, (CUA) B = {13 , 17, 19} , y (CUA) (CUB) = , entonces A B=
Responde la pregunta
15 (8 puntos) Se sabe que el conjunto A={a2 ,a+1,-3}, B={a-3,2a-1,a2+1}, si A B={-3}, encuentra el número real a.
16 (12 puntos) Supongamos que A=, B=,
Entre ellos, x R, si A B=B, encuentra el rango de valores del número real a.
4. Respuestas a los ejercicios
Preguntas de opción múltiple
1 2 3 4 5 6 7 8
C C B C B C D D
Rellena los espacios en blanco
9. {(x,y) } 10.0, 11.{x , o x 3} 12.{ } 13.{ } 14.{1,5,9,11}
Responde la pregunta
15.a=-1
16. Consejo: A={0,-4}, y A B=B, entonces B A
(Ⅰ) Cuando B= , 4(a+1)2-4(a2-1)<0, obtiene un<-1
(II) Cuando B={0} o B={-4}, 0 obtiene un = -1
(III) B={0,-4}, la solución es a=1
En resumen, el número real a=1 o a -1