#高一# Introducción Si no cultivas y siembras, por muy fértil que sea el suelo fértil, no podrás cultivar. Si no luchas ni creas, no. Por muy hermosa que sea tu juventud, no podrás dar fruto. No dejes que el barco de la persecución quede anclado en el puerto de la fantasía, sino iza la vela de la lucha y navega hacia el mar de la vida real.
El canal Grade One ha compilado el "Resumen de los cuatro puntos de conocimiento obligatorio en el segundo volumen de Matemáticas de primer grado" para aquellos de ustedes que tienen dificultades. ¡Espero que les sea útil!
Parte 1
Capítulo 1 Funciones trigonométricas
Ángulo positivo: Ángulo formado al girar en sentido antihorario
1. Cualquier ángulo Ángulo negativo: An. ángulo formado al girar en el sentido de las agujas del reloj
Ángulo cero: Un ángulo formado sin ninguna rotación
2. El vértice del ángulo coincide con el origen, y el lado inicial del ángulo coincide con el Eje x Los semiejes no negativos coinciden y en qué cuadrante cae el borde terminal, se llama ángulo del cuadrante.
El conjunto de ángulos del segundo cuadrante es k36090k360180, k
El conjunto de ángulos del tercer cuadrante es k360180k360270, el conjunto de ángulos del cuarto cuadrante k es k360270k360360, y el borde terminal de k está en el eje x El conjunto de ángulos de k es k180, k
El conjunto de ángulos del lado terminal en el eje y es k18090, y el conjunto de ángulos de el lado k terminal en el eje de coordenadas es k90, k
El conjunto de ángulos en el primer cuadrante es k360k36090, k
3. El conjunto de ángulos que son iguales al lados terminales del ángulo es k360, k
4. El arco cuya longitud es igual al radio es opuesto El ángulo central de un círculo se llama 1 radian.
5. La longitud del arco subtendido por el ángulo central de un círculo de radio r es l, entonces el valor absoluto del ángulo en radianes es
l. r
180
6. La fórmula de conversión entre el sistema de radianes y el sistema de ángulos: 2360, 1, 157.3.180
7. Si el ángulo central del sector es
Es un sistema en radianes, el radio es r, la longitud del arco es l, el perímetro es C y el área es S, entonces lr, C2rl,
1
11
Slrr2.
22
8
、Supongamos que es un ángulo de cualquier tamaño, su distancia desde el origen es rr y la coordenada de cualquier punto en la terminal el lado es x, y, entonces sin
0,
yxy
, cos, tanx0. rrx
9. Los signos de las funciones trigonométricas en cada cuadrante: el primer cuadrante es todo positivo, el seno del segundo cuadrante es positivo, la tangente del tercer cuadrante es positiva, el coseno del cuarto cuadrante es positivo.
10. Líneas de funciones trigonométricas: sen, cos, tan.
2222
11. La relación básica de funciones trigonométricas angulares: 1sin2cos21sin1cos, cos1sin
; > sin
tancos
sin
sintancos, cos.
tan
12. Fórmula de inducción de la función:
1sin2ksin, cos2kcos, tan2ktank. 2sinpecado, coscos, tantan. 3 pecadosin, coscos, tantan． 4 pecadosin, coscos, tantan.
Consejo: El nombre de la función permanece sin cambios y los símbolos miran los cuadrantes.
5sin
cos, cossin. 6sincos, cossin． 2222
Función: Intercambia seno y coseno, mira los cuadrantes en busca de símbolos.
13. Traslada todos los puntos de la imagen de ① a la izquierda (derecha) en unidades de longitud para obtener la imagen de la función ysinx, luego extiende (acorta) las abscisas de todos los puntos de la imagen de; la función ysinx ) al
1
veces original (la coordenada vertical permanece sin cambios), y se obtiene la gráfica de la función ysinx entonces
Todo; las gráficas de la función ysinx son La ordenada del punto se estira (acorta) a los tiempos originales (la abscisa permanece sin cambios) y se obtiene la gráfica de la función ysinx.
② Cuenta las imágenes de ysinx
Las coordenadas de abscisas de todos los puntos se estiran (acortan) a
1
veces (la ordenada permanece sin cambios) y se obtiene la gráfica de la función ysinx. Luego traduce todos los puntos; en la gráfica de la función ysinx hacia la izquierda (derecha)
unidades de longitud para obtener la gráfica de la función
ysinx Luego mueve la gráfica de la función ysinx hacia la vertical; Las coordenadas de todos los puntos se estiran (acortan) a los tiempos originales (las coordenadas horizontales permanecen sin cambios) y se obtiene la gráfica de la función ysinx. 14. Propiedades de la función ysinx0, 0: ① Amplitud:; ② Periodo:
2
③ Frecuencia: f
1
>; ④Fase: x; ⑤Fase inicial:. 2
La función ysinx, cuando xx1, obtiene el valor mínimo como ymin; cuando xx2, obtiene el valor como ymax, entonces
11
x2x1x1x2ymaxyminymaxymin
22,,2．
yASinx, A0, 0, T
2
problema de 15 ciclos
2
yACosx, A0 , 0, T
yASinx, A0, 0, T
yACosx, A0, 0, T
yASinxb, A0, 0, b0, T
p>2
2
yACosxb, A0, 0, b0, T
TyAcotx, A0, 0,
yAtanx, A0, 0, T
yAcotx, A0, 0, T
yAtanx, A0, 0, T
3
Capítulo 2 Vectores planos
16. Vector: Cantidad que tiene magnitud y dirección. Cantidad: Una cantidad con solo tamaño y sin dirección. Hay tres elementos de un segmento de línea dirigido: punto inicial, dirección y longitud. Vector cero: un vector de longitud 0. Vector unitario: Un vector cuya longitud es igual a 1 unidad. Vector paralelo (vector de línea ***): vector distinto de cero con la misma dirección o la opuesta. El vector cero es paralelo a cualquier vector.
Vectores iguales: vectores de igual longitud y dirección.
17. Operación de suma de vectores:
⑴Características de la regla del triángulo: conectado de extremo a extremo. ⑵Características de la regla del paralelogramo: ***Punto de partida.
C
⑶Desigualdad del triángulo: ababab.
⑷Propiedades de operación: ①Ley conmutativa: abba;
abcabc ②Ley asociativa: ③a00aa.
a
b
abCC
4
⑸Operación de coordenadas: suponga ax1, y1, bx2, y2 , luego abx1x2, y1y2.
18. Operación de resta de vectores:
⑴ Características de la regla del triángulo: *** El punto inicial está conectado con el punto final y la dirección apunta al vector que se está restando.
⑵Operación de coordenadas: suponga ax1, y1, bx2, y2, luego abx1x2, y1y2.
Supongamos que las coordenadas de los dos puntos son x1, y1, x2, y2 respectivamente, luego x1x2, y1y2.
19. Operación de multiplicación de vectores:
⑴ El producto de un número real y un vector a es una operación de vectores llamada multiplicación de vectores, denotada como a. ①
aa;
② Cuando 0, la dirección de a es la misma que la dirección de a; cuando 0, la dirección de a es opuesta a la dirección de a; 0, a0.
⑵ Ley de operación: ①aa; ②aaa; ③abab.
⑶Operación de coordenadas: suponga ax, y, luego ax, yx, y.
20. Teorema de la recta vectorial ***: Vector aa0 y recta b***, si y sólo si existe un número real, tal que ba.
p>
Supongamos que ax1, y1, bx2, y2, entre los cuales b0, entonces si y solo si x1y2x2y10, la línea del vector a, bb0***.
21. Teorema básico de vectores planos: Si e1 y e2 son dos vectores no lineales en el mismo plano, entonces para cualquier vector a en este plano, hay
Y hay sólo un par de números reales 1 y 2, entonces a1e12e2. (Los vectores e1 y e2 de la recta no se utilizan como conjunto de bases para todos los vectores en este plano) 22. Fórmula de coordenadas del punto: supongamos que el punto es un punto en el segmento de recta 12 y las coordenadas de 1 y 2 son x1 e y1 respectivamente. x2, y2, cuando 12, las coordenadas del punto son
x1x2y1y2
, es la fórmula del punto medio. ) (cuando 1,.
11
23. El producto cuantitativo de vectores planos:
⑴ababcosa0, b0, 0180. El número de vector cero y cualquier vector El producto es 0.
⑵Propiedad: Supongamos que a y b son vectores distintos de cero, entonces ①abab0. ②Cuando a y b están en la misma dirección, abab cuando a y b están en direcciones opuestas
2
Cuando, abab; aaaa o a． ⑷Operación de coordenadas: suponga dos vectores distintos de cero ax1, y1, bx2, y2, luego abx1x2y1y2
222.
Si ax, y, entonces axy,
O si a es ax1, y1, entonces abxx12yy12bx2, y2,
0.
5
Capítulo 2
Capítulo 1 Función del Triángulo
1.
Ángulo positivo: El ángulo formado al girar en sentido antihorario se llama ángulo positivo.
Ángulo cero según el sentido de rotación lateral: Si un rayo no realiza ninguna rotación, decimos que forma un ángulo cero: el ángulo formado por la rotación en el sentido de las agujas del reloj se llama. el ángulo del primer cuadrante {α|k2360°<α <90° k2360°, k∈Z}
El ángulo del segundo cuadrante {α|90° k2360°<α<180° k2360°, k∈ Z} se divide en el ángulo del tercer cuadrante {α|180 ° k2360°<α<270° k2360°, k∈Z} El ángulo del cuarto cuadrante {α|270° k2360°<α<360° k2360°, k∈Z } o {α|-90° k2360°＜α＜ k2360°, k∈Z} (ángulo entre imágenes): cuando el lado terminal de un ángulo coincide con el eje de coordenadas, se denomina ángulo del eje superior. no pertenece a ningún cuadrante 2. Representación de ángulos con el mismo lado terminal: todos los lados terminales con el ángulo α El mismo ángulo, junto con el ángulo α, puede formar un conjunto S={β|β=α k2360°,. k∈Z}. Es decir, cualquier ángulo con el mismo lado terminal que el ángulo α se puede expresar como el ángulo α y la circunferencia completa. 3. Ángulos en varias posiciones especiales: ⑴ El ángulo del terminal. lado del semieje no negativo en el eje x: α=k2360°, k∈Z
⑵El ángulo del lado terminal en el semieje no positivo en el eje x: α=180° k2360°, k∈Z ⑶El ángulo del lado terminal en el eje x: α=k2180°, k∈Z
⑷El ángulo del lado terminal en el eje y: α =90° k2180°, k∈Z ⑸El ángulo del lado terminal en el eje de coordenadas: α=k290°, k∈Z
⑹El lado terminal está en y =El ángulo en x: α=45 ° k2180°, k∈Z
⑺El ángulo del lado terminal en y=-x: α=-45° k2180°, k∈Z o α=135 ° k2180°, k∈Z ⑻ El ángulo del lado terminal en el eje de coordenadas o la bisectriz del ángulo de cuatro cuadrantes: α=k245°, k∈Z
4. Radianes: En un círculo, la longitud es igual al radio del ángulo central. subtendido por el arco se llama ángulo de 1 radian, representado por el símbolo rad.
5.6. Si la longitud del arco subtendido por el ángulo central α de un círculo con radio r es l, entonces la fórmula relevante para el ángulo α 7. Conversión entre sistema de ángulos y sistema de radianes 8. Círculo unitario: En el sistema de coordenadas rectangular, llamamos al origen O es el centro del círculo, y el círculo con longitud unitaria como radio es el círculo unitario.
9. Utilice el círculo unitario para definir la función trigonométrica de cualquier ángulo: Supongamos que α es un ángulo arbitrario y su lado terminal intersecta el círculo unitario en el punto P (x, y). se llama seno de α, se escribe como sinα, es decir, ⑵x se llama coseno de α, y se escribe como cosα⑶
y se llama tangente de α, y se escribe como tanαx22
10. sincos1sin; cos
Mismo ángulo La relación básica de funciones trigonométricas α≠kπ
11. La fórmula inducida de funciones trigonométricas:
πnis (k∈Z): ant2cos
La fórmula fregadero2sin cosk2cos 一tank2tan notas kZ
public sinsin public sinsin cos
cos
coscos
sincos públicos coscos cuatro tantan
Sincos públicos
2
Sinsco públicos
2
Cossin cosnsi
22
Cinco tancot
2
Seis tancot
2
Nota: el período ysinx es 2π; y| sinx| tiene un período de π; y|sinxk|
13. Método para obtener la imagen de la función yAsin(x):
y=sin(x)ysin(x)y①y=sinx
Transformación periódica
p>Traducir || unidades a la izquierda o a la derecha
Traducción transformación período transformación amplitud transformación
Asin(x)
②y =sinxysinxysin( x)yAsin(x)14. Movimiento armónico simple
①Fórmula analítica: yAsin(x), x[0, )②Amplitud: A es la amplitud de este movimiento armónico simple. ③Período: T ④Frecuencia: f=
Transformación de amplitud
2π
1
T2π
⑤Fase y la fase inicial: x se llama fase, y la fase cuando x = 0 se llama fase inicial.
Capítulo 2 Vectores planos
1. Vector: En matemáticas, llamamos vector a una cantidad que tiene magnitud y dirección. Cantidad: Llamamos cantidad a una cantidad que solo tiene magnitud pero no dirección. 2. Segmento de línea dirigido: un segmento de línea con una dirección se llama segmento de línea dirigido. Hay tres elementos de un segmento de línea dirigido: punto inicial, dirección y longitud.
3. La longitud (módulo) del vector: El tamaño del vector AB, es decir, la longitud (o módulo) del vector AB, se registra como |AB|.
4. Vector cero: un vector con una longitud de 0 se denomina vector cero y se registra como 0. La dirección del vector cero es arbitraria.
Vector unitario: Un vector cuya longitud es igual a 1 unidad se denomina vector unitario.
5. Vectores paralelos: Los vectores distintos de cero con direcciones iguales o opuestas se denominan vectores paralelos. Si los vectores a y b son dos vectores paralelos, normalmente se escriben como a∥b.
Los vectores paralelos también se denominan vectores lineales. Estipulamos que el vector cero es paralelo a cualquier vector, es decir, para cualquier vector a, existe 0∥a.
6. Vectores iguales: Los vectores con longitudes iguales y la misma dirección se llaman vectores iguales. Si los vectores a y b son dos vectores iguales, normalmente se escriben como a=b.
BC=b, b, 7. Como se muestra en la figura, se conoce el vector a distinto de cero, y se toma cualquier punto A en el plano, y AB=a, entonces el vector AC es llamada suma de a y b, escrita como ab，
Eso es abABBCAC.
Suma de vectores: La operación de encontrar la suma de dos vectores se llama suma de vectores. Este método para encontrar vectores se llama regla del triángulo de la suma de vectores.
8. Para el vector cero y cualquier vector a, estipulamos: a 0=0 a=a
9. Fórmulas y leyes de operación: ①A1A2 A2A3 ... AnA1=0② |a b|≤|a| |b|
(a b) ca(b c)③a bba④
10. Vector opuesto: ① Estipulamos que la longitud de a es igual a de Un vector, llamado vector opuesto de a, se denota -a. a y -a son cantidades opuestas entre sí.
②Estipulamos que el vector opuesto de un vector cero sigue siendo un vector cero.
③La suma de cualquier vector y su vector opuesto es un vector cero, es decir, a (-a) (=-a) a=0.
④ Si a y b son vectores opuestos, entonces a=-b, b=-a, ab=0.
⑤Definimos a-b=a, es decir, restar un vector es igual a sumar el vector opuesto de este vector. (-b)
11. Multiplicación de vectores: Generalmente estipulamos que el producto del número real λ y el vector a es un vector. Descrito como a, su longitud y dirección se definen de la siguiente manera: ①|a|a|②Cuando λ>0, la dirección de a es la misma que cuando λ<0, la dirección de a
;La dirección es opuesta; cuando λ=0, a=0
(a) () a12 Ley de operación: ①
② () aaa
<. p> ③(ab)=ab()a(a)(a)(ab)=ab④⑤
13.Teorema: Para el vector a (a≠ 0), b , si hay un número real λ, de modo que b = a, entonces a y b*** línea. Por el contrario, se sabe que los vectores a y b
*** línea, a≠0, y la longitud del vector b es μ veces la longitud del vector a, es decir, |b|= μ|a|, entonces cuando a y b están en la misma dirección, b = a; cuando a y b están en direcciones opuestas, b = a; Luego obtenemos el siguiente teorema: El vector vector a (a≠0) y b*** recta, si y sólo si existe un número real λ, de modo que b=a.
14. Teorema básico del vector plano: si e1 y e2 son dos vectores no lineales en el mismo plano, entonces para cualquier vector a en este plano, hay y
Hay sólo un par de números reales 1 y 2, lo que forma a1e12e2. Llamamos a los vectores e1 y e2 de diferentes rectas un conjunto de bases que representan todos los vectores en este plano
.
15. El ángulo entre los vectores a y b: Se conocen dos vectores a y b distintos de cero. Como OAa, OBb, entonces se llama AOB (0° ≤ θ ≤ 180°)
Sea el ángulo entre los vectores a y b. Cuando θ=0°, a y b están en la misma dirección; cuando θ=180°, a y b están en direcciones opuestas. Si el ángulo entre a y b es de 90°, decimos que a y b son perpendiculares, lo que se denota como ab.
16. Conclusión complementaria: Se sabe que los vectores a y b son dos vectores de dos rectas diferentes, y my n∈R Si manb0, entonces m=n=0.
17. Descomposición ortogonal: La descomposición de un vector en dos vectores mutuamente perpendiculares se denomina descomposición ortogonal del vector.
18. La suma (diferencia) de las coordenadas de los dos vectores es igual a la suma (diferencia) de las coordenadas correspondientes de los dos vectores. Es decir, si a(x1, y1), b(x2, y2), entonces
ab(x1x2, y1y2), ab(x1x2, y1y2)
19. Números reales y vectores Las coordenadas del producto son iguales a multiplicar este número real por las coordenadas correspondientes del vector original.
Es decir, si a(x1, y1), entonces a(x1, y1)
20. Si y sólo si x1y2-x2y1=0, los vectores a y b (b≠0)*** línea
x1x2y1y2
21. Fórmula de coordenadas de puntos de puntuación fija: cuando P1PPP2, la coordenada del punto P es (,)
11
①Cuando el punto P está en el segmento de línea P1P2, el punto P se llama punto de bisección interna del segmento de línea P1P2, λ>0 ② Cuando el punto P está en la extensión del segmento de línea P1P2, P se llama punto de bisección externa de la línea segmento P1P2, λ<-1; cuando el punto P está en la extensión inversa del segmento de línea P1P2, P se llama punto de bisección externo del segmento de línea P1P2, -1<λ<0.22. y los puntos finales de los tres vectores son ***líneas,
B
Entonces OCOAOB, donde λ μ=1
23. Producto cuantitativo (interno producto): Dados dos vectores a y b distintos de cero, ponemos la cantidad |a ||b|cos se llama producto cuantitativo (o producto interno) de a y b, denotado como a2b, es decir, a2b=|a ||b|cos. donde θ es el ángulo entre a y b,
|a|cos (|b|cos) se llama proyección del vector a en la dirección b (b en la dirección a). Estipulamos que el producto del vector cero y el número de cualquier vector es 0.
24. El significado geométrico de a2b: La cantidad producto a2b es igual al producto de la longitud de a |a| por la proyección de b en la dirección de a |b|cos.
25. Ley de operación del producto cuantitativo: ①a2b=b2a②(λa)2b=λ(a2b)=a2(λb)③(a b)2c=a2c b2c22222222④(ab)a2abb⑤(ab)a2abb⑥( ab )(ab)ab
26. El producto cuantitativo de dos vectores es igual a la suma de los productos de sus correspondientes coordenadas. Eso es abx1x2y1y2. Entonces:
22
2
①Si a(x, y), entonces |a|xy, o |a|. Si las coordenadas del punto inicial y el punto medio del segmento de línea dirigido que representa el vector a son (x2x1, y2y1)
(x1, y1) (x2, y2), respectivamente, entonces a, |a|
(x1, y1) (x2, y2) ② Supongamos a, b, luego abx1x2y1y20ab0
(x1, y1) (x2, y2) 27. Supongamos que a y b no son -Los vectores cero, a, b, θ son los ángulos entre a y b. Según la definición de producto de cantidades vectoriales y la tabla de coordenadas
ab
se puede obtener: cos.
| a||b|
Capítulo 3 Transformación de identidad trigonométrica
cs1. La abreviatura de la fórmula del coseno de la suma de dos ángulos C (α β ): oos2. La fórmula del coseno de la diferencia de dos ángulos Abreviatura C (α-β): c
csocsnisniso
coscosnisnis
3. Características de la fórmula de la fórmula del coseno de la suma (diferencia) de dos ángulos: ① Sumar el número izquierdo, el signo menos derecho. ②La suma y diferencia de los productos de funciones con el mismo nombre. ③α y β se llaman ángulos simples, y α±β
se llaman ángulos compuestos. El valor del coseno es la suma (diferencia) del seno y el coseno del ángulo único. ④"Uso formal", "Uso inverso", "Uso variado"
es4. La abreviatura de la fórmula del seno de la suma de dos ángulos es S (α β): nis5. la fórmula de la diferencia de dos ángulos es S( α-β): n
isoscosnisnc
nisoscosnisc
6. Características y usos de la fórmula de la suma (diferencia ) Fórmula del seno de dos ángulos: ① Los signos de operación izquierdo y derecho son los mismos.
②El lado derecho es la suma y la diferencia de los productos de funciones sinónimas y el valor del seno
Parte 3
Parte 1 Funciones trigonométricas y transformación de identidad trigonométrica
Puntos de prueba Método de representación de un ángulo 1. Método de representación de ángulos con el mismo lado terminal:
Todos los ángulos con el mismo lado terminal del ángulo, junto con los ángulos, pueden formar un conjunto: {β| β=k2360° α, k∈ Z} 2. Método de representación de los ángulos del cuadrante: El conjunto de los ángulos del primer cuadrante es {α, el conjunto de los ángulos del segundo cuadrante es {α, el conjunto de los ángulos del tercer cuadrante es {α, y el el conjunto de ángulos del cuarto cuadrante es {α
|k2360°