Cuando K=1, f (x) = lnx-(x-a)/√ ax-lna.
= lnx-√x/a √a/x-lna = lnx/a-√x/a √a/x
Supongamos t = √ x/a > 0, Es fácil ver que a medida que x aumenta, t también aumenta y viceversa.
F(x) y g(t) tienen la misma monotonicidad.
¿Entonces f(x)=g(t)=lnt? -t 1/t=2lnt-t 1/t
g′(t)= 2/t-1-1/t? =-(1/t-1)? ≤0, el signo de igualdad es verdadero si y sólo si t=1, es decir, x = a.
G(t) es una función decreciente sobre (0, ∞).
∴f(x) es una función decreciente sobre (0, ∞).
2. Cuando K=0, f (x) = lnx a/√ ax-lna = lnx/a √ a/X.
T = √ x/a > 0, entonces x/a=t? ,√a/x=1/t
∴f(x)=g(t)=2lnt 1/t
g′(t)= 2/t-1/ t? =(1/t)(2-1/t)
Cuando 0 < t
t=? , g′(t)= 0
t >? , g′(t)> 0
∴t=? , g(t) obtiene el valor mínimo.
g(?)=2-2ln2>0
∴g(t) siempre es mayor que 0 en (0, ∞).
Es decir, f(x) siempre es mayor que 0 en (0, ∞).