Tichy
1. Requisitos del propósito
1 A través de la introducción de este capítulo, los estudiantes comprenderán inicialmente que los temas estudiados en este capítulo están relacionados con los conjuntos. y Conocimiento de lógica simple, dándose cuenta de que la resolución de problemas prácticos con matemáticas es inseparable del conocimiento de conjuntos y lógica.
2. Sobre la base de la escuela primaria y la escuela secundaria, combinado con ejemplos, comprender el concepto de conjuntos, conocer los conjuntos de números de uso común y sus métodos de notación.
3. A partir de los conceptos de conjuntos y sus elementos, tenemos una comprensión preliminar del significado de las relaciones de atribución.
2. Análisis de contenido
1. El conjunto es un concepto básico importante en las matemáticas de la escuela secundaria. El concepto inicial de conjuntos impregna las matemáticas de la escuela primaria, y las escuelas secundarias utilizan aún más el lenguaje de conjuntos para expresar algunos problemas. Por ejemplo, hay conjuntos de números y conjuntos de soluciones que se utilizan en álgebra y un conjunto de puntos que se utilizan en geometría. En cuanto a la lógica, se puede decir que aprender matemáticas desde el principio es inseparable del dominio y aplicación de los conocimientos lógicos. El conocimiento básico de la lógica es también una herramienta indispensable para comprender e investigar problemas de la vida diaria, el estudio y el trabajo. Estos pueden ayudar a los estudiantes a comprender la importancia de estudiar este capítulo, que también es la base para estudiar este capítulo.
La razón por la cual la colección de conocimientos preparatorios y conocimientos lógicos simples se organiza al comienzo de las matemáticas de la escuela secundaria es porque en las matemáticas de la escuela secundaria, este conocimiento está estrechamente relacionado con otros contenidos y es la base del aprendizaje. Dominar y utilizar el lenguaje matemático. Por ejemplo, el próximo capítulo hablará sobre el concepto y las propiedades de las funciones, que son inseparables de los conjuntos y la lógica.
La sección 2.1.1 comienza con ejemplos que involucran conjuntos en álgebra y geometría de la escuela secundaria, presenta los conceptos de conjuntos y los elementos de conjuntos e ilustra el concepto de conjuntos con ejemplos. Luego presenta los métodos de representación comunes de conjuntos, incluido el método de enumeración y el método de descripción, y brinda ejemplos de dibujos para representar conjuntos.
3. Esta lección se centra principalmente en la introducción de todo el capítulo y los conceptos básicos de conjuntos. El propósito de la introducción al estudio es despertar el interés de los estudiantes en el aprendizaje y hacerles saber la importancia de estudiar este capítulo. El enfoque didáctico de esta lección se centra en los conceptos básicos de conjuntos.
4. En la geometría de la escuela secundaria, conceptos como puntos, líneas rectas y planos son relativamente primitivos y no tienen definiciones. Asimismo, los conjuntos son conceptos primitivos e indefinidos en la teoría de conjuntos. Cuando empezamos a entrar en contacto con el concepto de conjuntos, obtuvimos una comprensión preliminar de los conceptos principalmente a través de ejemplos. El libro de texto dice "Generalmente, algunos objetos específicos se juntan para formar un conjunto, también llamado conjunto". Esta oración es sólo una explicación descriptiva del concepto de conjunto.
En tercer lugar, el proceso de enseñanza
Preguntas:
Preguntas dadas en la introducción del libro de texto.
Organizar una discusión:
Por qué "la respuesta de que 20 estudiantes participaron en el concurso" no es necesariamente correcta y cómo resolver este problema.
Resumen:
1. Es posible que algunos estudiantes hayan participado en ambos encuentros deportivos, por lo que no podemos simplemente usar la suma para resolver este problema.
2. ¿Cómo solucionar este problema? En el pasado, cuando resolvíamos un problema, generalmente primero expresamos la relación cuantitativa en el problema con expresiones algebraicas y luego la resolvimos, es decir, primero la describimos en lenguaje matemático y luego matemáticamente. Este problema es diferente de los problemas que hemos aprendido en el pasado y es un problema relacionado con conjuntos. Por lo tanto, primero debemos usar el lenguaje de conjuntos para describirlo. Para resolver completamente el problema, necesitamos más conocimientos sobre conjuntos y lógica. Eso es lo que aprenderemos en este capítulo.
Preguntas:
1. ¿Qué colecciones aprendimos en la escuela secundaria?
2. En la escuela secundaria, ¿qué usábamos set para describir?
Organizar la discusión:
¿Qué es una colección?
Resumen:
1. Álgebra: conjunto de números reales, conjunto de soluciones de desigualdades, etc.
Geometría: conjunto de puntos, etc.
2. En geometría de la escuela secundaria, el concepto de círculo se describe mediante conjuntos.
Explicación de la nueva lección:
1. El concepto de conjunto: (dé una definición descriptiva después de dar ejemplos específicos)
(1) Especifique el objeto Una colección se convierte en una colección, o colección para abreviar.
(2) Elemento: Cada objeto de una colección se denomina elemento de la colección.
(3) La relación entre los elementos del conjunto y el conjunto:
A es un elemento del conjunto A, por lo que pertenece al conjunto A y se registra como A. ∈A;
A no es un elemento del conjunto A, por lo que A no pertenece al conjunto A, denotado como.
Por ejemplo, supongamos b = {1, 2, 3, 4, 5}, luego 5∈B,
Nota: Los conceptos de conjuntos y elementos son conceptos primitivos en matemáticas. . Podemos utilizar ejemplos para comprender la relación entre el todo y el individuo que describen. Al mismo tiempo, debemos centrarnos en los atributos de los siguientes tres elementos para comprender el significado exacto del conjunto y sus elementos.
① Determinismo: Los elementos del conjunto son ciertos, es decir, dado un conjunto, también es seguro si algún objeto es elemento de este conjunto.
Por ejemplo, "Pequeño río en China", "Jóvenes", "Números cercanos a cero", etc. no pueden formar un conjunto.
② Mutualidad: Los elementos del conjunto son diferentes entre sí, es decir, los elementos del conjunto no se repiten.
Además, los conjuntos están desordenados, es decir, los elementos del conjunto no tienen orden.
Por ejemplo, el conjunto {1, 2} y el conjunto {2, 1} representan el mismo conjunto.
2. Conjuntos de números de uso común y sus símbolos:
El conjunto de todos los números enteros no negativos suele denominarse conjunto de los números enteros no negativos (o conjunto de los números naturales). , denotado n, enteros no negativos El conjunto que excluye 0 en el conjunto se denota por o;
El conjunto de todos los números enteros generalmente se denomina conjunto de números enteros, denotado como z;
El conjunto de todos los números racionales generalmente se conoce como el conjunto de los números racionales, denotado como q;
El conjunto de todos los números reales generalmente se conoce como el conjunto de los números reales, denotado r .
Nota: ① El conjunto de números naturales es el mismo que el conjunto de números enteros no negativos, lo que significa que el conjunto de números naturales contiene el número 0, que puede ser diferente entre la escuela primaria y la secundaria. escuela;
② Excluido del conjunto de enteros no negativos El conjunto de 0, es decir, el conjunto de enteros positivos, se expresa como o. El conjunto que excluye el 0 en otros conjuntos de números también se expresa de esta manera. Por ejemplo, el conjunto que excluye el 0 en el conjunto de enteros se expresa como o. No existen símbolos especiales para el conjunto de los números enteros negativos, el conjunto de los números racionales positivos, el conjunto de los números reales positivos, etc.
Ejercicios en el aula:
La primera pregunta del ejercicio de la Parte 1.1 del libro de texto es 1.
Resumen:
1. Los conjuntos y sus elementos son conceptos primitivos en matemáticas y sólo pueden describirse. Al estudiar, debes utilizar ejemplos para comprender su significado.
2. Entre las características de los elementos de un conjunto, se puede utilizar la certeza para determinar si ciertos objetos son elementos de un conjunto determinado, se pueden utilizar las diferencias mutuas para simplificar la representación del conjunto y se puede utilizar el desorden. se utilizará para determinar la relación entre ellos (como inclusión o igualdad, etc.).
Cuarto, tarea
Ejercite la primera pregunta 2 en la Sección 1.1 del libro de texto. (directamente en el libro de texto).
Extremo
Propósitos didácticos:
(1) Permitir que los estudiantes comprendan inicialmente el concepto de conjuntos y comprendan los conceptos y la notación de conjuntos numéricos de uso común.
(2) Permitir que los estudiantes comprendan el significado de la relación de "pertenencia".
(3) Permitir que los estudiantes comprendan el significado de conjuntos finitos, conjuntos infinitos y conjuntos vacíos.
Enfoque de la enseñanza: conceptos básicos y métodos de expresión de conjuntos
Dificultades de enseñanza: utilizar dos métodos comunes de representación de conjuntos: enumeración y descripción para representarlos correctamente.
Algunas colecciones sencillas
Tipo de enseñanza: enseñanza nueva
Horario de clases: 1 hora de clase
Medios didácticos: multimedia, proyector físico.
Análisis de contenido:
1. El conjunto es un concepto básico importante en las matemáticas de la escuela secundaria. En las matemáticas de la escuela primaria, el concepto original de conjuntos está presente. Las escuelas secundarias utilizan además el lenguaje de conjuntos para expresar algunos problemas, como los conjuntos de números y los conjuntos de soluciones utilizados en álgebra. En cuanto a la lógica, se puede decir que partir del aprendizaje de las matemáticas es inseparable del dominio y aplicación de los conocimientos lógicos. El conocimiento básico de la lógica es también una herramienta indispensable para comprender e investigar problemas de la vida diaria, el estudio y el trabajo. Estos pueden ayudar a los estudiantes a comprender la importancia de estudiar este capítulo y también son la base para estudiar este capítulo.
La razón por la que el conocimiento preparatorio de conjuntos y el conocimiento de lógica simple se organizan al comienzo de las matemáticas de la escuela secundaria es porque en las matemáticas de la escuela secundaria, estos conocimientos están estrechamente relacionados con otros contenidos y son la base del aprendizaje. Dominar y utilizar el lenguaje matemático. Por ejemplo, el concepto y las propiedades de las funciones del próximo capítulo son inseparables de los conjuntos y la lógica.
Esta sección comienza con ejemplos que involucran conjuntos en álgebra y geometría de la escuela secundaria, presenta los conceptos de conjuntos y los elementos de conjuntos e ilustra el concepto de conjuntos con ejemplos. Luego presenta los métodos de representación comunes de conjuntos, incluidos los métodos de enumeración y descripción, y da un ejemplo del uso del dibujo para representar conjuntos.
Esta lección se centra principalmente en la introducción de todo el capítulo y los conceptos básicos de las colecciones. La introducción tiene como objetivo despertar el interés de los estudiantes por aprender y hacerles saber la importancia de estudiar este capítulo. El enfoque didáctico de esta lección se centra en los conceptos básicos de conjuntos.
Los conjuntos son conceptos primitivos e indefinidos en la teoría de conjuntos. Cuando empezamos a entrar en contacto con el concepto de conjuntos, obtuvimos una comprensión preliminar de los conceptos principalmente a través de ejemplos. La oración "Generalmente, algunos objetos específicos se unirán para formar un conjunto, también llamado conjunto" que figura en el libro de texto es solo una explicación descriptiva del concepto de conjunto.
Proceso de enseñanza:
Primero repasar la introducción:
1 Introducir el desarrollo de conjuntos de números, repasar divisores comunes y mínimos comunes múltiplos, números primos y. sumas;
2. Introducción del capítulo en el libro de texto;
3. Cantor (matemático alemán), el fundador de la teoría de conjuntos (ver apéndice).
Ejemplos de libros de texto (P4)
En segundo lugar, explique la nueva lección:
<. p>Lee la primera parte del libro de texto. Estas preguntas son las siguientes:(1) ¿Cuáles son los conceptos? ¿Cómo se define?
(2)¿Cuáles son los símbolos? ¿Cómo se expresa?
(3) ¿Cuáles son las características de los elementos del conjunto?
(1) Conceptos relacionados de conjunto:
Está compuesto por unos números, unos puntos, unas gráficas, unas expresiones algebraicas, unos objetos y unas personas. Decimos que todos los objetos de cada grupo forman un conjunto, o que ciertos objetos específicos juntos forman un conjunto, también llamado conjunto para abreviar. Cada objeto de una colección se denomina elemento de la colección.
Definición: Generalmente, algunos objetos específicos se reúnen para formar una colección.
1. El concepto de conjunto
(1) Conjunto: algunos objetos específicos se reúnen para formar un conjunto (Conjunto para abreviar).
(2) Elemento: Cada objeto de la colección se denomina elemento de esta colección.
2. Conjuntos de números y símbolos de uso común
(1) Conjunto de números enteros no negativos (conjunto de números naturales): el conjunto de todos los números enteros no negativos se registra como n. ,
(2) Conjunto de enteros positivos: El conjunto de enteros no negativos que no contiene 0 se denota como N* o N+
(3) Conjunto de enteros: El conjunto de todos los números enteros se denota como z,
(4) Conjunto de números racionales: El conjunto de todos los números racionales se denota Q,
(5) Conjunto de números reales: El El conjunto de todos los números reales se denota por r.
Nota: (1) El conjunto de números naturales es el mismo que el conjunto de números enteros no negativos, es decir, el conjunto de números naturales incluye
cuenta 0
(2) No hay El conjunto que contiene 0 se registra como N* o N+Q, z, r, etc.
El conjunto que excluye 0 de un conjunto de números también se expresa de esta manera, como excluir 0 de un conjunto de enteros.
Grupo, expresado como Z*
3. Relación entre elementos y conjuntos
(1) Pertenece a: Si A es un elemento del conjunto A, es se llama A pertenece a A, rotulado A ∈ A.
(2) No pertenece: Si A no es un elemento del conjunto A, entonces se dice que A no pertenece a A, registrado como
4. conjunto
(1) Determinismo: Dado un elemento o está en este conjunto según criterios claros,
o no lo es, no es ambiguo.
(2) Mutualidad: Los elementos del conjunto no se repiten.
(3) Desordenado: los elementos del conjunto no están en un orden determinado (generalmente escritos en orden normal).
5. (1) Los conjuntos suelen representarse con letras latinas mayúsculas, como A, B, C, P, Q...
Los elementos suelen representarse con letras latinas minúsculas. , como A, B, C, P, Q...
(2) La dirección de apertura de "∈" no debe escribirse como A ∈ A.
3. Preguntas del ejercicio:
1. Libro de texto P5 ejercicios 1, 2
2. ¿Pueden los siguientes grupos de objetos determinar un conjunto?
(1) Todos los números reales muy grandes (inciertos)
(2) Buenos samaritanos (incierto)
(3)1, 2, 2, 3 , 4, 5. (Copiar)
3. Supongamos que A y B son números reales distintos de cero, entonces los posibles valores que componen el conjunto son_-2, 0, 2__.
4. El conjunto formado por los números reales x, -x, | x |
(A) 2 elementos (B) 3 elementos (C) 4 elementos (D) 5 elementos
5. Supongamos que los elementos del conjunto G son todos números A+ en la forma. de B (A ∈ Z, B ∈ Z), demuestre:
(1) Cuando x∈N, x∈G;
(2) Si x∈G , y∈ G, entonces x+y ∈ g no necesariamente pertenece al conjunto G.
Prueba (1): En A+B (A ∈ Z, B ∈ Z), sea a=x∈N, b=0,
Entonces x = x+ 0 * = a+b ∈ g, es decir, x ∈ g.
Demuestre (2): ∫x∈G, y∈G,
∴x=a+b(a∈Z,b∈Z),y=c+d( c∈Z,d∈Z)
∴x+y=(a+b)+(c+d)=(a+c)+(b+d)
∫a∈Z, b∈Z, c∈Z, d∈Z
∴(a+c)∈Z, (b+d)∈Z
∴x+y =(a+c)+(b+d)∈G,
nuevamente =
y no necesariamente todos los números enteros,
∴ = no necesariamente pertenece a Set g
Cuarto, resumen: Aprendí los siguientes puntos en esta lección:
1 Conceptos relacionados de conjuntos: (conjuntos, elementos, pertenencia, no pertenencia)
2. La naturaleza del conjunto de elementos: certeza, mutualidad y desorden.
3. Definiciones y símbolos de conjuntos de números de uso común
5. Tarea:
6. Diseño de pizarra (omitido)
7. . Después de clase:
Ocho. Apéndice: Introducción a Cantor
El matemático loco Georg Cantor (1845-1918) fue un matemático y teórico de conjuntos alemán.
Nació el 3 de marzo de 1845 en San Petersburgo y falleció el 6 de octubre de 1918 en Halle.
Cantor se mudó a Alemania a la edad de 11 años y asistió a la escuela secundaria en Alemania.
En 1862, ingresó en la Universidad de Zurich en Suiza, a la edad de 17 años. Al año siguiente, ingresó en la Universidad de Berlín, con especialización en matemáticas. En 1866 estudió durante un semestre en Göttingen.
Se doctoró en teoría de números en 1867.
En 1869, aprobó el examen de calificación de profesor en la Universidad de Halle y más tarde se convirtió en profesor asociado en 1872 y profesor en 1879.
Debido a que el estudio del infinito a menudo conduce a algunos resultados lógicos pero absurdos (llamados "paradojas"), muchos grandes matemáticos no se atreven a quedarse estancados y adoptar una actitud evasiva.
Durante 1874-1876, el joven matemático alemán Cantor, que tenía menos de 30 años, declaró la guerra al misterioso infinito.
Con su arduo trabajo, demostró con éxito que los puntos en una línea recta pueden corresponder a puntos en un plano y también pueden corresponder a puntos en el espacio.
Desde esta perspectiva, hay tantos puntos en un segmento de recta de 1 cm de largo como puntos en el Océano Pacífico y puntos en el interior de toda la Tierra. En los años siguientes, Cantor publicó una serie de artículos sobre este "conjunto infinito" y llegó a muchas conclusiones sorprendentes a través de pruebas rigurosas.
El trabajo creativo de Cantor tuvo un agudo conflicto con los conceptos matemáticos tradicionales, y algunas personas se opusieron, atacaron e incluso abusaron.
Algunos dicen que la teoría de conjuntos de Cantor es una "enfermedad", el concepto de Cantor es "una niebla dentro de la niebla", o incluso que Cantor es un "loco"
La tremenda enfermedad mental La presión de los matemáticos finalmente destruyó a Cantor, dejándolo exhausto, sufriendo una enfermedad mental y enviado a un hospital psiquiátrico.
El oro real no teme al fuego y las ideas de Cantor finalmente brillaron.
Sus logros fueron reconocidos en el Primer Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en 1897.
Russell, el gran filósofo y matemático, elogió el trabajo de Cantor como "probablemente el mejor trabajo del que se puede presumir en esta era". Pero en ese momento, Cantor todavía estaba en trance y no podía salir del La gente encuentra consuelo y alegría en su reverencia.
El 6 de octubre de 1918 65438+, Cantor murió en un hospital psiquiátrico.
La teoría de conjuntos es la base de las matemáticas modernas. Cantor se interesó en explorar conjuntos infinitos y números superfinitos cuando estudiaba teoría de funciones.
Cantor afirmó la existencia de números infinitos, discutió filosóficamente el problema del infinito y finalmente estableció una teoría de conjuntos relativamente completa, sentando una base sólida para el desarrollo de las matemáticas modernas.
Cantor fundó la teoría de conjuntos como base de la teoría de números reales e incluso de todo el sistema de teoría del cálculo.
Resolviendo así el problema que en un futuro próximo después de que Newton (I.Newton, 1642-1727) y G.W. Leibniz (G.W. Leibniz, 1646-1716) establecieran el sistema teórico de cálculo en el siglo XVII, A.L. Cauchy (1789-65438)
El maestro de Cantor, Kronecker (1823-1891), mostró un cuidado meticuloso por Cantor.
Utilizó varios métodos para que el lenguaje duro condujera a un ataque brutal y sostenido contra Cantor. que duró una década. Incluso atacó públicamente a Cantor frente a estudiantes de la Universidad de Berlín. Cualquier intento de mejorar el estatus de Cantor obteniendo un puesto en Berlín fracasó. ): Yo personalmente, y no soy el único, creo que es importante no introducir algo que no pueda definirse completamente en un número limitado de palabras.
La teoría de conjuntos es una "situación patológica" interesante que. las generaciones futuras considerarán una enfermedad de la que las personas se han recuperado.
El matemático alemán C.H. Her-Mann Wey1, 1885-1955 ) cree que la visión jerárquica de Cantor sobre los números cardinales es humo y espejos.
Felix Klein (1849-1925) no está de acuerdo con la visión de la teoría de conjuntos.
El matemático H.A. Schwartz era un buen amigo de Cantor, y rompió con Cantor debido a su oposición a la teoría de conjuntos. p>
A partir de la primavera de 1884, Cantor sufrió una enfermedad grave, depresión extrema, expresión inquieta y enfermedades mentales que de vez en cuando tenía que permanecer en un sanatorio en un hospital psiquiátrico. >
Tuve una autoestima muy baja e incluso dudé de que mi trabajo fuera confiable.
p>
Le pidió a la Universidad de Halle que cambiara su cátedra de matemáticas por la de filosofía.
Su salud se fue deteriorando progresivamente y murió en el hospital psiquiátrico de la Universidad de Halle en 1918.
Meteor E. Galois (1811-1832), matemático francés.
Cuando Galois tenía 17 años, comenzó a estudiar uno de los problemas más difíciles de las matemáticas, la solución de ecuaciones generales de orden π /p>
Muchos matemáticos dedicaron mucho esfuerzo a esto, pero todos fracasaron.
Hasta 1770, el matemático francés Lagrange estudió el problema anterior.
Basándose en resultados de investigaciones anteriores, Galois utilizó el método de la teoría de grupos para resolver completamente el problema de las soluciones radicales. Toda la estructura del sistema. Aprendió y heredó la idea de transformación del problema de Lagrange, y estaba a punto de predecir el problema. La síntesis de soluciones estaba vinculada a los grupos de permutación, y desarrolló aún más sus ideas basándose en la investigación de Abel. Al mismo tiempo, creó una rama de las matemáticas que hizo época, basada en el análisis estructural de los grupos de permutación y sus subgrupos: la teoría de grupos. El desarrollo hizo una gran contribución en 1829. Presentó los primeros trabajos sobre los resultados preliminares del Instituto de Teoría de Grupos a miembros de la Academia de Ciencias de Francia y encargó a Cauchy, el matemático más destacado de Francia en ese momento, que fuera el evaluador de dichos trabajos. 1830, 65438 + 18 de octubre, Cauchy planea celebrar una audiencia exhaustiva sobre los resultados de la investigación de Galois en la Academia de Ciencias. Sin embargo, cuando Cauchy leyó un artículo propio en la Academia de Ciencias en la segunda semana, no presentó el trabajo de Galois 1830. En febrero, Galois escribió los resultados de su investigación en detalle y los envió a la Academia de Ciencias para matemáticas. Selección de premios. El documento fue enviado a J.B. Fourier, entonces secretario vitalicio de la Academia de Ciencias, pero Fourier murió en mayo de ese año.
El manuscrito de Galois no se encontró entre sus pertenencias en enero de 1831. Galois llegó a otra conclusión mientras buscaba determinar la solucion de las ecuaciones. Escribió un artículo y lo presentó a la Academia Francesa de Ciencias. Este artículo es un trabajo importante de Galois sobre teoría de grupos. El matemático S.K. Poisson se devanó los sesos en aquella época para entender este artículo. Aunque el resultado de la prueba de Lagrange pudo demostrar que la conclusión de Galois era correcta, al final sugirió que la Academia de Ciencias la rechazara. El 30 de mayo de 1832, la noche antes de su muerte, anotó apresuradamente los resultados de sus principales investigaciones científicas. Confió a su amigo Chevalier la conservación del mismo para que la cristalización de su trabajo pudiera transmitirse a las generaciones futuras y beneficiar a la humanidad. Dejó el mundo el 31 de mayo de 65438, participando en un duelo sin sentido, en el que resultó gravemente herido. Después de su muerte, 14 años después, el matemático francés Joseph Liouville comenzó a organizar los principales trabajos de Galois. Estos trabajos se publicaron por primera vez en la "Journal of Mathematics" editada por Joseph Liouville.