R1 y r2 pueden representar la curvatura de la superficie del líquido. Si la superficie del líquido es curva, la presión p1 dentro del líquido será diferente de la presión p2 fuera del líquido, y se producirá una diferencia de presión Δp= en ambos lados de la superficie del líquido.
p1-
El valor de P2 está relacionado con la curvatura de la superficie del líquido y se puede expresar como:
En ecuaciones matemáticas, la ecuación de Laplace es : △ u = d 2u/dx 2+d 2u/dy 2 = 0, donde △ es el operador de Laplace, y la ecuación de Laplace aquí es una ecuación diferencial parcial de segundo orden. En el caso tridimensional, la ecuación de Laplace se puede describir de la siguiente forma. El problema se reduce a resolver la función real φ que es diferenciable de segundo orden con respecto a las variables independientes reales X, Y y z.
La ecuación anterior generalmente se abrevia como:
o
donde div representa la divergencia del campo vectorial (el resultado es un campo escalar) y grad representa la divergencia del gradiente del campo escalar (el resultado es un campo vectorial), o abreviado como:
donde δ se llama operador laplaciano.
La solución de la ecuación de Laplace se llama función armónica.
Si el lado derecho del signo igual es la función dada f(x,
y,
z), es decir:
Entonces esta ecuación se llama ecuación de Poisson.
La ecuación de Laplace y la ecuación de Poisson son las ecuaciones diferenciales parciales elípticas más simples. El operador diferencial parcial o delta (que puede definirse en cualquier espacio dimensional) se denomina operador laplaciano.
Operador
Laplaciano
o simplemente
Operador Laplaciano.
El problema de Dirichlet de la ecuación de Laplace puede reducirse a resolver la función φ definida en la región D para hacerla igual a una función dada en el límite de D. Para facilitar la descripción, como uno de los ejemplos de aplicación del operador de Laplace El problema de conducción de calor se presenta como un Antecedentes: la temperatura en el límite de una región (una función de las coordenadas de posición de cada punto en el límite) se fija hasta que la distribución de temperatura en la región se estabiliza mediante la conducción de calor. Este campo de distribución de temperatura es la solución de Dirich correspondiente a la. problema de truenos.
La condición de frontera de Neumann de la ecuación de Laplace no da directamente la función de temperatura φ en el límite de la región D, sino la derivada de φ a lo largo de la dirección normal del límite de D.. Desde un punto físico Desde un punto de vista, esta condición de frontera da el efecto conocido de la distribución potencial del campo vectorial en el límite regional (para problemas de conducción de calor, este efecto es el flujo de calor límite).
La solución de la ecuación de Laplace se llama función armónica, que es analítica en la región donde se cumple la ecuación. Si dos funciones cualesquiera satisfacen la ecuación de Laplace (o cualquier ecuación diferencial lineal), entonces la suma (o cualquier combinación lineal) de las dos funciones también satisface la ecuación antes mencionada. Esta propiedad tan útil se llama principio de superposición. Según este principio, las soluciones especiales simples conocidas para problemas complejos se pueden combinar para construir una solución general con una gama más amplia de aplicaciones.
Aplicación en el campo de flujo
Sean u, v
Son x del campo de velocidades del fluido que satisfacen las condiciones estacionaria, incompresible e irrotacional respectivamente.
¿Qué pasa con el componente de dirección y?
(aquí solo se considera el campo de flujo bidimensional), entonces la condición incompresible es:
La condición para la no rotación es:
Si la función escalar ψ se define como su diferencial que satisface:
Entonces la condición de incompresibilidad es la condición de integrabilidad de la ecuación diferencial anterior. La función resultado ψ de la integración se llama función de corriente, porque los valores de cada punto en la misma línea de corriente son los mismos. La primera derivada de ψ es:
El estado libre de espín
puede
satisfacer la ecuación de Laplace. La función armónica conjugada de ψ se llama potencial de velocidad.
La ecuación de Cauchy-Riemann pregunta.
Por lo tanto, cada función analítica corresponde a un campo estable, incompresible y libre de vórtices en el plano. La parte real de la función analítica es la función de potencial de velocidad y la parte imaginaria es la función de flujo.