En matemáticas, una función es una relación tal que cada elemento de un conjunto corresponde a un elemento único de otro conjunto (posiblemente el mismo).
Este es solo el caso de la función unaria f (x) = y. Por favor proporcione una definición aproximada basada en el texto original en inglés. Gracias.
-Variable que está relacionada con otra variable, de modo que cada valor de una variable tiene otro valor determinado.
Variable independiente, variable en la que una función está relacionada con otra cantidad. Cualquier valor de esta cantidad puede encontrar un valor fijo correspondiente en otra cantidad.
- Una regla de correspondencia entre dos conjuntos tal que se asigna un elemento único del segundo conjunto a cada elemento del primer conjunto.
La regla de correspondencia uno a uno entre dos conjuntos de elementos de una función. Cada elemento del primer grupo tiene una cantidad correspondiente única en el segundo grupo.
El concepto de función es fundamental en todas las ramas de las matemáticas y la cantidad.
Función
La correspondencia en matemáticas es la correspondencia del conjunto A de números reales con el conjunto B de números reales. En pocas palabras, A cambia con B y A es una función de B. Para ser precisos, sea X el conjunto vacío, Y el conjunto de números reales y F la regla. Si cada X en X tiene una Y correspondiente de acuerdo con la regla F, entonces se dice que F es una función en el rango de valores de, X es la variable independiente e Y es la causa.
Ejemplo 1: y = sinxx = [0, 2π], y = [-1, 1], dando una relación funcional. Por supuesto, cambiar y por y1 = (a, b), donde a < b es cualquier número real, sigue siendo una relación funcional.
La relación correspondiente entre su profundidad y y la distancia x desde el punto de costa o hasta el punto de medición es curva, lo que representa una función con el dominio [0, b]. Los tres ejemplos anteriores muestran tres métodos de representación de funciones: método de fórmula, método de tabla y método de imagen.
Función compuesta
Hay tres variables, y es función de u, y = ψ (u), u es función de x, u = f (x), estas tres variables A menudo forman una cadena: y forma una función de x a través de la variable intermedia u:
X→u→y, que depende del dominio: Sea el dominio de ψ U. El dominio de valor de f es U, cuando U*? Se dice que u, f, ψ forman funciones compuestas, como y = lgsinx, x∈(0, π). En este momento sinx> 0, lgsinx tiene significado. Pero si se especifica x ∈ (-π, 0), entonces SINX <0, lgsinx no tiene significado y no puede ser una función compuesta.
Funciones inversas
En lo que a relaciones se refiere, generalmente son bidireccionales, al igual que las funciones. Sea y = f (x) una función conocida. Si cada y tiene un x∈X único tal que f (x) = y, entonces es el proceso de encontrar X a partir de y, es decir, X se convierte en una función de y, registrada como x = f-65438. F -1 se llama función inversa de f. Tradicionalmente, x se usa para representar la variable independiente, por lo que esta función todavía se registra como y = f-1 (x). Por ejemplo, y = sinx e y = arcsinx son recíprocos. funciones. En el mismo sistema de coordenadas, las gráficas de y = f (x) e y = f-1 (x) son simétricas con respecto a la línea recta y = x.
Función implícita
Si la ecuación de la función F(x, y) = 0, se puede determinar que Y es la función Y = F(x) y=f(x, es decir es, F(x, f (x))≡0, entonces se dice que Y es una función implícita de x
Múltiples funciones
Punto de ajuste (x1, x2,. ..,xn) ∈G? R1, si para cada punto (x1, x2,...,xn)∈G, existe un único u∈U que le corresponde: f: g→ u, u = f ( x1, x2,..., xn).
Las funciones elementales básicas y sus funciones como funciones potencia, funciones exponenciales, funciones logarítmicas, funciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas se denominan funciones elementales básicas.
① Función potencia: y = x μ (μ ≠ 0, μ es cualquier número real) Dominio: cuando μ es un entero positivo: (-∞, ∞), cuando μ es un entero negativo: ( -∞ , 0)∞(0, ∞); μ = (α es un número entero), cuando α es un número impar, es (-∞, ∞), cuando α es un número par, es (0, ∞) ); μ = p/q, p, q Coprime, es la función compuesta de . Los bocetos se muestran en las Figuras 2 y 3.
②Función exponencial: y = ax (a > 0, a≠1), definida como (-∞, ∞), el rango de valores es (0, ∞), cuando a > 0 (es decir, x2 > x1, 0 < a) es una función estrictamente monótona y creciente. Para cualquier A, la imagen pasa por el punto (0, 1). Tenga en cuenta que las gráficas de y = ax e y = () x son simétricas con respecto al eje y. Como se muestra en la Figura 4.
③Función logarítmica: y = logax (a > 0), donde a es la base, el dominio es (0, ∞) y el rango de valores es (-∞, ∞). A > 1 aumenta estrictamente monótonamente y 0 < A < 1 aumenta estrictamente monótonamente. No importa cuál sea el valor de a, la gráfica de la función logarítmica pasa por el punto (1,0), y la función logarítmica y la función exponencial son funciones recíprocas. Como se muestra en la Figura 5.
El logaritmo de base 10 se llama logaritmo ordinario, abreviado como lgx. El logaritmo de base E, es decir, el logaritmo natural, se utiliza mucho en ciencia y tecnología y se registra como lnx.
④Funciones trigonométricas: Ver Tabla 2.
La función seno y la función coseno se muestran en la Figura 6 y la Figura 7.
⑤Función trigonométrica inversa: ver Tabla 3. El seno y el coseno hiperbólicos se muestran en la Figura 8.
⑥Función hiperbólica: ¿seno hiperbólico (ex-e-x), coseno hiperbólico? (ex e-x), tangente hiperbólica (ex-e-x)/(ex e-x), cotangente hiperbólica (ex e-x)/(ex-e-x).
[editar]Suplemento
En matemáticas, una función es una relación que hace que cada elemento de un conjunto corresponda a otro (posiblemente el mismo) conjunto Elemento único (este es sólo el caso de la función unaria f (x) = y, por favor dé la definición general según el texto original en inglés, gracias). El concepto de función es fundamental para todas las ramas de las matemáticas y la cantidad.
Los términos función, mapeo, correspondencia y transformación generalmente tienen el mismo significado.
Función cuadrática
1. Definición y expresión de definición
En términos generales, la relación entre la variable independiente x y la variable dependiente y es la siguiente:p>
y=ax? bx c(a, b, c son constantes, a≠0)
y se llama función cuadrática de x.
El lado derecho de la expresión de una función cuadrática suele ser un trinomio cuadrático.
Dos. Tres expresiones de funciones cuadráticas
Fórmula general: y=ax? bx c(a, b, c son constantes, a≠0)
Vértice: y=a(x-h)? k[Vértice P(h, k) de la parábola]
Punto de intersección: y = a(X-X 1)(X-x2)[Solo aplicable a los puntos de intersección a (x1, 0) y b con la parábola del eje X (x2, 0)]
Nota: Entre estas tres formas de conversión mutua, existe la siguiente relación:
h=-b/2a k=(4ac- b ? )/4a x1, x2=(-b √b?-4ac)/2a
Tres. Imagen de una función cuadrática
¿Cómo hacer una función cuadrática y=x en un sistema de coordenadas plano rectangular? Imagen,
Se puede observar que la imagen de la función cuadrática es una parábola.
Cuatro. Propiedades de la parábola
1. La parábola es una figura simétrica en el eje. El eje de simetría es una línea recta
x = -b/2a .
El único punto de intersección entre el eje de simetría y la parábola es el vértice p de la parábola.
Especialmente cuando b=0, el eje de simetría de la parábola es el eje Y (es decir, la recta x=0).
2. La parábola tiene un vértice p con coordenadas
P [-b/2a, (4ac-b?)/4a].
-b Cuando /2a=0, p está en el eje y cuando δδ= b? Cuando -4ac=0, p está en el eje x.
3. El coeficiente cuadrático A determina la dirección de apertura y el tamaño de la parábola.
Cuando a > 0, la parábola se abre hacia arriba; cuando a < 0, la parábola se abre hacia abajo.
Cuanto mayor |a|, menor será la apertura de la parábola.
4. Tanto el coeficiente lineal b como el coeficiente cuadrático a*** determinan la posición del eje de simetría.
Cuando a y b tienen el mismo signo (es decir, AB > 0), el eje de simetría está a la izquierda en el eje Y
Cuando A y B tienen signos diferentes ( es decir, AB < 0), el eje de simetría está a la derecha del eje Y.
5. El término constante c determina el punto de intersección de la parábola y el eje Y.
La parábola intersecta al eje y en (0, c)
6 El número de intersecciones entre la parábola y el eje X
δ=. ¿b? Cuando -4ac > 0, la parábola tiene dos puntos de intersección con el eje x.
δ=b? Cuando -4ac=0, la parábola tiene 1 punto de intersección con el eje X.
δ=b? Cuando -4ac < 0, la parábola no tiene intersección con el eje x.
Función cuadrática del verbo (abreviatura de verbo) y ecuación cuadrática
¿Especialmente la función cuadrática (en lo sucesivo denominada función) y=ax? bx c,
Cuando y=0, la función cuadrática es una ecuación cuadrática de una variable (en lo sucesivo, la ecuación) alrededor de x.
¿Eso es un hacha? bx c=0
En este momento, si la gráfica de la función se cruza con el eje X significa si la ecuación tiene raíces reales.
La abscisa de la intersección de la función y el eje X es la raíz de la ecuación.
Función lineal
1. Definición y definición:
La variable independiente x y la variable dependiente y tienen la siguiente relación:
Y=kx b(k, b es una constante, k≠0)
Se dice que y es una función lineal de x.
Específicamente, cuando b=0, y es una función proporcional de x.
Dos. Propiedades de las funciones lineales:
El valor de cambio de y es proporcional al valor de cambio correspondiente de x, y la relación es k.
Es decir, △ y /△ x = K.
Tres. La imagen y las propiedades de las funciones lineales:
1. Ejercicios y gráficos: a través de los siguientes tres pasos (1) enumerar (2) puntos de seguimiento (3) conectar líneas, puede crear la imagen de una; función lineal: una línea recta. Entonces, la gráfica de una función lineal solo necesita conocer 2 puntos y conectarlos en una línea recta.
2. Propiedades: Cualquier punto P(x, y) de la función lineal satisface la ecuación: y = kx b.
3.k, b y el cuadrante donde se ubica la gráfica de la función.
Cuando k > 0, la línea recta debe pasar por el primer y tercer cuadrante, y y aumenta con el aumento de x
Cuando k < 0, la línea recta debe pasar; hasta el tercer cuadrante. En el segundo y cuarto cuadrante, y disminuye a medida que x aumenta.
Cuando b > 0, la recta debe pasar por el primer y segundo cuadrante; cuando b < 0, la recta debe pasar por tres o cuatro cuadrantes.
En concreto, cuando b=O, la recta que pasa por el origen o (0, 0) representa la imagen de la función de proporción.
En este momento, cuando k > 0, la línea recta solo pasa por uno o tres cuadrantes; cuando k < 0, la línea recta solo pasa por dos o cuatro cuadrantes.
Cuatro. Determine la expresión de la función lineal:
Dados los puntos A (x1, y 1 B (x2, y2), determine la expresión de la función lineal que pasa por los puntos A y B..< /p >
(1) Supongamos que la expresión de una función lineal (también llamada expresión analítica) es y = kx b.
(2) Debido a que cualquier punto P(x, y) de la función lineal satisface la ecuación y = kx b Por lo tanto, se pueden enumerar dos ecuaciones:
Y1 = KX1 B1. , Y2 = KX2 B2.
(3) Resuelve esta ecuación lineal binaria y obtén los valores de k y b..
(4) Finalmente obtén la expresión de la función lineal.
Aplicación de la función lineal del verbo (abreviatura de verbo) en la vida
1. Cuando el tiempo t es constante, la distancia s es una función lineal de la velocidad v..s=vt.
2. Cuando la velocidad de bombeo f de la piscina es constante, el volumen de agua g en la piscina es una función lineal del tiempo de bombeo t. g = S-pies.
Función proporcional inversa
La función en la forma y = k/x (donde k es una constante, k≠0) se llama proporcional inversa. función.
El rango de valores de la variable independiente x son todos los números reales distintos de 0.
La gráfica de la función proporcional inversa es una hipérbola.
Como se muestra en la figura, la imagen de la función cuando k es positiva y negativa (2 y -2) se proporciona arriba.
Funciones trigonométricas
Las funciones trigonométricas son una clase de funciones que son funciones trascendentales entre las funciones elementales en matemáticas. Su esencia es un mapeo entre un conjunto de ángulos arbitrarios y un conjunto de variables de razón. Por lo general, las funciones trigonométricas se definen en un sistema de coordenadas plano rectangular y su dominio es el dominio de los números reales completos. Otra definición está en un triángulo rectángulo, pero está incompleta. Las matemáticas modernas los describen como los límites de secuencias infinitas y soluciones de ecuaciones diferenciales, y extienden su definición a sistemas numéricos complejos.
Debido a la periodicidad de la función trigonométrica, esta no tiene una función inversa en el sentido de una función univaluada.
Las funciones trigonométricas tienen importantes aplicaciones en números complejos. Las funciones trigonométricas también son una herramienta común en física.
Tiene seis funciones básicas:
Nombre de la función seno coseno tangente cotangente línea cotangente
Símbolo sin cos tan cot sec csc
Seno función sin(A)=a/h
Función coseno cos(A)=b/h
Función tangente tan(A)=a/b
Función cotangente cot(A)=b/a
En un determinado proceso de cambio, las dos variables X e Y tienen un cierto valor para cada valor de X dentro de un cierto rango El valor le corresponde, y Y es una función de X. Esta relación generalmente se expresa como y=f(x).
La historia del desarrollo del concepto de función
1. El concepto temprano de función - función bajo el concepto de geometría
Galileo Galilei en el siglo XVII ( Italia, 1564-1642), en su libro "Dos nuevas ciencias", casi todos contienen el concepto de función o relación variable, expresando la relación entre funciones en el lenguaje de las palabras y las proporciones. Descartes (francés, 1596-1650) notó la dependencia de una variable de otra en su Geometría analítica alrededor de 1673. Pero como no se dio cuenta de que el concepto de función necesitaba ser refinado en ese momento, nadie había definido una función hasta que Newton y Leibniz establecieron el cálculo a finales del siglo XVII.
En 1673, Leibniz utilizó por primera vez "función" para significar "poder". Posteriormente utilizó esta palabra para expresar las cantidades geométricas de cada punto de la curva, como la abscisa, la ordenada, la longitud de la tangente, etc. Al mismo tiempo, Newton utilizó el "flujo" para expresar la relación entre variables en discusiones sobre cálculo.
2. El concepto de función en el siglo XVIII - función bajo el concepto de álgebra.
¿Juan? Bernoulli John (Rui, 1667-1748) definió el concepto de función basándose en el concepto de función de Leibniz: "una cantidad que consta de cualquier variable y una constante de cualquier forma". Se refería a cualquier cantidad que consta de variables. Fórmulas compuestas por X. y las constantes se llaman funciones de X. Enfatizó que las funciones deben expresarse mediante fórmulas.
En 1755, L. Euler (Suiza, 1707-1783) definió una función como "si unas variables dependen de otras variables de alguna manera, es decir, cuando la última variable cambia, la primera también cambia, y llamamos a la primera variable función de la última."
Euler (L. Euler, Suiza, 1707-1783) dio una definición: "La función de una variable está dada por esto. Una expresión analítica compuesta de cualquier manera por variables y algunos números o constantes." ¿Puso John? La definición de funciones dada por Bernoulli se denomina funciones analíticas y se dividen en funciones algebraicas y trascendentales, y también se consideran "funciones arbitrarias". ¿No es difícil ver que la definición de funciones de Euler es mejor que la de Juan? La definición de Bernoulli es más general y tiene un significado más amplio.
3. El concepto de función en el siglo XIX - función bajo la relación correspondiente.
En 1821, Cauchy (Francia, 1789-1857) dio una definición a partir de la definición de variables: “Existe una cierta relación entre ciertas variables. Cuando se da el valor de una variable, otras variables El valor de se puede determinar en consecuencia, entonces la variable inicial se llama variable independiente. También señaló que las expresiones analíticas no son necesarias para las funciones, pero aún cree que las relaciones funcionales se pueden expresar mediante múltiples expresiones analíticas, lo cual es un gran problema. Limitaciones.
En 1837, Dirichlet (alemán, 1805-1859) rompió esta limitación y consideró irrelevante cómo establecer la relación entre X e Y. Amplió el concepto de funciones, afirmando que. : “Para cada valor definido de X dentro de un cierto intervalo, Y tiene uno o más valores definidos. Esta definición evita la descripción de dependencias en las definiciones de funciones y es aceptada por todos los matemáticos de forma inequívoca. Esto es lo que la gente suele llamar la definición de función clásica.
Después de que la teoría de conjuntos fundada por Cantor (Alemania, 1845-1918) jugara un papel importante en las matemáticas, Veblen (estadounidense, Veblen, 1880-1960) utilizó "conjunto" y "correspondencia".
4. Concepto moderno de función - función bajo la teoría de conjuntos
F. Hausdorff utilizó el vago concepto de "par de órdenes" en el esquema de la teoría de conjuntos para definir una función en 1914. evitar Se entienden los dos conceptos confusos de "variable" y "correspondencia". En 1921, Kuratowski utilizó el concepto de conjuntos para definir "pares ordenados", haciendo que la definición de Hausdorff fuera muy rigurosa.
En 1930, la nueva función moderna se definió como "Si siempre hay un elemento Y determinado por el conjunto N correspondiente a cualquier elemento X del conjunto M, entonces se dice que una función está definida sobre el conjunto M, denotado como y=f(x). El elemento x se llama variable independiente y el elemento y se llama variable dependiente ”
Los términos función, mapeo, correspondencia y transformación generalmente tienen. el mismo significado.
Pero las funciones solo representan la correspondencia entre números, y el mapeo también puede representar la correspondencia entre puntos y gráficas. Puedes decir que el mapa contiene funciones.
Función proporcional directa:
La imagen de la función proporcional y=kx (k es una constante, k≠0) es una recta que pasa por el origen. Cuando x> 0, la imagen pasa por tres o un cuadrante, aumentando de izquierda a derecha, es decir, y aumenta a medida que aumenta x. Cuando k <0, la imagen pasa por dos o cuatro cuadrantes, aumentando de izquierda a derecha. es decir, y disminuye a medida que X aumenta.
Precisamente porque la función proporcional y=kx (k es una constante, k≠0) se parece a una línea recta, podemos llamarla recta y=kx.
(También: El origen del nombre chino "función"
En el libro "Álgebra" traducido por el matemático chino Li (1811-1882), la palabra "función" era usado por primera vez La palabra se traduce al chino como "función", y esta traducción todavía se usa hoy en día. En cuanto a por qué este concepto se traduce de esta manera, el libro explica que "quien cree en esta variable es la función de esa variable"; "fe" aquí significa inclusivo).
Estudio en profundidad de una función
Xu Ruohan
Al aprender una función, de acuerdo con los requisitos de la escuela secundaria. , debemos estudiar más a fondo su aplicación práctica y cómo cambiar la posición de la imagen.
1. Aplicación de funciones por partes en problemas prácticos
(Ejemplo 1) (Ciudad de Wuhan, 2005) Xiao Ming va en bicicleta de casa a la escuela por la mañana, primero cuesta arriba y luego luego cuesta abajo. El itinerario se muestra en la imagen. Si la velocidad cuesta arriba y cuesta abajo permanece sin cambios al regresar, ¿cuánto tiempo le tomará a Xiao Ming regresar en bicicleta a casa desde la escuela?
Análisis: Las velocidades de subida y bajada son diferentes, por lo que el problema debe estudiarse en dos partes.
Según la información proporcionada por la imagen de la función, podemos saber que cuando Xiao Ming iba a la escuela desde casa, la distancia cuesta arriba era de 3600 metros y la distancia cuesta abajo era de 9600-3600 = 6000 metros.
∴La velocidad de subida es 3600÷18=200 (m/min).
La velocidad de descenso es 6000 ÷ (30-18) = 500 (m/min).
Cuando Xiao Ming regresó a casa, el viaje cuesta arriba fue de 6000 metros y el viaje cuesta abajo fue de 3600 metros. El tiempo necesario fue 6000÷200 3600÷500 = 37,2 (minutos).
En segundo lugar, aplicación en física.
[Ejemplo 2] (Ciudad de Huanggang, 2004) Cuando una clase de estudiantes exploró la relación entre la longitud del resorte y la fuerza externa, los datos correspondientes registrados en el experimento fueron los siguientes:
Encontrar la relación entre Y y X Distinguir los rangos de valores de funciones y variables independientes.
Análisis: Según el conocimiento de la física, el resorte se deforma (alarga) bajo la acción de una fuerza externa (la gravedad del peso suspendido). La relación entre la fuerza externa y la posición del puntero puede variar. expresarse mediante una función lineal; pero cada La fuerza externa sobre el resorte tiene un cierto límite, por lo que se debe encontrar el rango de la variable independiente.
Según los datos conocidos, se encuentra que durante el proceso de estiramiento del resorte,
Supongamos y=7,5 y obtenemos x=275.
La función de ∴ es
Tenga en cuenta que el punto divisorio entre los dos párrafos es x=275, no x=300.
3. Aplicación de la traslación lineal
Ejemplo 3 (Provincia de Heilongjiang, 2005) En el sistema de coordenadas rectangular, los puntos conocidos A (-9, 0), P (0, 3) ,C(0,12). Pregunta: ¿Existe un punto Q en el eje X tal que el cuadrilátero con los puntos A, C, P y Q como vértices sea un trapezoide? Si existe, encuentre la fórmula analítica de la línea recta PQ; si no existe, explique el motivo.
Análisis: En el trapezoide estudiado, ¿qué dos lados son paralelos? Hay dos posibilidades: si, es decir, se traslada la recta CA, la fórmula analítica de la recta CA se puede obtener fácilmente a través del punto P de la siguiente manera
La fórmula analítica de la recta obtenida después la traducción es
Si
Traducir la recta PA: por el punto c.
Obtener una línea recta:
La línea cruza el eje X en el punto (-36, 0).
La fórmula analítica de una línea recta es
Cómo entender el concepto de función
Cao Yang
La función es extremadamente importante Concepto básico en matemáticas. En matemáticas de secundaria, las funciones y el contenido relacionado son muy ricos y ocupan un gran peso. Dominar el concepto de funciones es muy útil para estudios futuros. Mirando hacia atrás en la historia del desarrollo del concepto de función, Leibniz fue el primero en utilizar "función" como término matemático. Propuso por primera vez el concepto de función en su artículo de 1692, pero su significado es bastante diferente de la comprensión actual de función. En los cursos de matemáticas de la escuela secundaria moderna, la definición de función es "teoría de variables". Es decir:
En un determinado proceso de cambio, hay dos variables X e Y. Si para cada cierto valor de X dentro de un cierto rango, Y tiene un cierto valor único de acuerdo con una determinada ley. le corresponde, entonces Y se llama función de X, X se llama variable independiente e Y se llama variable dependiente.
Establece claramente que la variable independiente x puede tomar cualquier valor dentro de un rango dado, y la variable dependiente y toma un valor único y cierto cada vez de acuerdo con ciertas reglas. Pero la escuela secundaria no requiere dominar el rango de valores de la variable independiente (si observa varias funciones que se aprenden en la escuela secundaria, sabrá que esta definición es completamente suficiente y fácil de entender para los estudiantes de secundaria).
El concepto de función es muy abstracto y difícil de entender para los estudiantes. Para comprender el concepto de función se deben dejar claros dos puntos: primero, debe quedar clara la relación entre la variable independiente y la variable dependiente.
En un determinado proceso de cambio, hay dos variables X e Y. Si Y cambia con X, entonces X se llama variable independiente y Y se llama variable dependiente si x cambia con y, entonces y se llama variable independiente y dependiente; variable. 2. El núcleo de la definición de función es la "correspondencia uno a uno", es decir, dado el valor de una variable independiente X, existe un valor determinado de forma única de la variable dependiente Y correspondiente a ella. Tal correspondencia puede ser "una variable independiente corresponde a una variable dependiente" (denominada "uno a uno"), o puede ser "varias variables independientes corresponden a una variable dependiente" (denominada "de varios a uno"). -uno"), pero no puede ser "uno a uno". La variable independiente corresponde a múltiples variables dependientes".
Uno a uno, muchos a uno y uno a muchos
Son funciones, funciones, no funciones.
Figura 1
A continuación se muestran cuatro ejemplos que le ayudarán a comprender el concepto de funciones:
Ejemplo 1 La longitud del resorte es de 10 cm. Cuando F tira del resorte (F está dentro de un cierto rango), la longitud del resorte está representada por y. Los datos medidos se muestran en la Tabla 1:
Tabla 1
1
2
Tres
Cuatro
…
Longitud del resorte y(c)
¿Es la longitud y del resorte una función de la tensión f?
Análisis: La información se puede leer en la tabla. Cuando las fuerzas de tracción son 1 kg, 2 kg, 3 kg y 4 kg respectivamente, todas corresponden únicamente a la longitud y de un resorte, lo que satisface la definición de la función, por lo que la longitud y del resorte es función de la fuerza de tracción f. Por lo general, la tercera función de la función dada en forma de tabla. Una fila es el valor de la variable independiente y la segunda fila es el valor de la variable dependiente.
Ejemplo 2 La figura 2 muestra las temperaturas máximas y mínimas para cada mes del año en una determinada zona.
Figura 2
¿Qué relaciones entre variables describe la Figura 2? ¿Puedes pensar en una de las variables como función de la otra?
Análisis: En la figura se dan tres variables, a saber, temperatura máxima, temperatura mínima y mes. Como se puede ver en la figura, las temperaturas máximas y mínimas cambian con el mes. Las temperaturas máximas y mínimas son únicas para cada mes, por lo que la temperatura máxima (o temperatura mínima) es función del mes. También podemos encontrar que las temperaturas máximas de julio y agosto son iguales, lo que significa que las dos variables independientes corresponden a la misma variable dependiente. En términos generales, cuando una función se presenta en forma de gráfica, el eje horizontal representa la variable independiente y el eje vertical representa la variable dependiente.
Ejemplo 3 ¿La relación entre las siguientes variables es una relación funcional? Explique por qué.
(1) La relación entre el área s de un círculo y el radio r
(2) Cuando el automóvil viaja a una velocidad de 70 kilómetros por hora, la distancia recorrida; por el auto es S (km) La relación con el tiempo T (horas);
(3) El área de un triángulo isósceles es la relación entre su base, longitud y (cm) y altura x (centímetro).
Análisis: (1) La relación entre el área S del círculo y el radio R es que cuando se determina el radio, el área S del círculo también se determina de forma única, por lo que la relación entre el área S y el radio R del círculo es una relación funcional.
(2) La relación entre la distancia S (km) y el tiempo t (hora) es que cuando se determina el tiempo t, la distancia S también se determina de forma única, por lo que la distancia S (km) y el tiempo t (hora ) es una relación funcional.
(3) La relación entre la longitud de la base ycm y la altura de la base xcm es que cuando se determina la altura de la base X, la longitud de la base Y también se determina de forma única, por lo que la relación entre la longitud de la base ycm y la altura de la base xcm es una relación funcional.
En términos generales, una función dada en forma relacional tiene una variable dependiente en el lado izquierdo del signo igual y una variable desconocida como variable independiente en el lado derecho del signo igual.
Ejemplo 4 Entre las siguientes imágenes, la que no puede expresar la relación funcional es ().
Análisis: en las cuatro imágenes anteriores, A, C y D pueden representar relaciones funcionales, porque cualquier valor dado de la variable independiente X tiene un valor Y único correspondiente, pero en la imagen B, Cualquier valor dado de la variable independiente X tiene dos valores Y diferentes correspondientes, por lo que se debe elegir la respuesta B para esta pregunta.
[Problema 2.9] Supongamos que M es un número de cuatro dígitos menor que 2006. Se sabe que existe un entero positivo n, por lo que M-n es un número primo y mn es un número cuadrado perfecto. todos los números de cuatro dígitos M que satisfacen las condiciones.
Función de potencia
La forma general de la función de potencia es y = x a.
Es fácil de entender si A toma un número racional distinto de cero, pero no es fácil de entender si A toma un número irracional. En nuestro curso, no es necesario que domines el problema de cómo entender los números irracionales exponenciales, porque esto implica un conocimiento muy avanzado del continuo de los números reales. Así que sólo podemos aceptarlo como un hecho conocido.
Para el valor de un número racional distinto de cero, es necesario discutir sus respectivas características en varios casos:
En primer lugar, sabemos que si a=p/q , tanto q como p son números enteros, entonces x (p/q) = la raíz de q (x elevado a p). Si q es un número impar, el dominio de la función es r. número, el dominio de la función es [0, ∞). Cuando el exponente n es un entero negativo, suponiendo a=-k, entonces x = 1/(x k), obviamente x≠0, y el dominio de la función es (-∞, 0)∩(0, ∞). Entonces se puede ver que las limitaciones de x provienen de dos puntos. En primer lugar, se puede utilizar como denominador, pero no como denominador.
Se excluyen las dos posibilidades de 0 y números negativos, es decir, para x gt0, entonces a puede ser cualquier número real;
Se excluye la posibilidad de 0, es decir, para x
Excluye la posibilidad de ser negativo, es decir, para todos los números reales con x mayor o igual a 0, a no puede ser negativo.
En resumen, podemos concluir que cuando a tiene diferentes valores, las diferentes situaciones del dominio de definición de la función de potencia son las siguientes:
Si a es cualquier número real, entonces la definición de la función El dominio son todos los números reales mayores que 0;
Si a es un número negativo, entonces X no debe ser 0, pero el dominio de la función también debe determinarse en función de paridad de Q, es decir, si Q es un número par al mismo tiempo, entonces X no puede ser menor que 0, entonces el dominio de la función son todos los números reales mayores que 0, si q también es un número impar, el dominio; de la función son todos los números reales distintos de 0.
Cuando x es mayor que 0, el rango de la función es siempre un número real mayor que 0.
Cuando x es menor que 0, sólo si q es impar y el rango de la función son números reales distintos de cero.
Solo cuando a es un número positivo, 0 entrará en el rango de valores de la función.
Dado que x es mayor que 0, es significativo para cualquier valor de a, por lo que las situaciones respectivas de la función de potencia en el primer cuadrante se dan a continuación.
Puedes ver:
(1) Todos los gráficos pasan (1, 1).
(2) Cuando a es mayor que 0, la función de potencia aumenta monótonamente, y cuando a es menor que 0, la función de potencia disminuye monótonamente.
(3) Cuando a es mayor que 1, la gráfica de la función de potencia es cóncava; cuando a es menor que 1 y mayor que 0, la gráfica de la función de potencia es convexa.
(4) Cuando A es menor que 0, cuanto menor es A, mayor es la pendiente de la gráfica.
(5) Si a es mayor que 0, la función pasa por (0, 0); si a es menor que 0, la función solo tiene (0, 0) puntos.
(6) Obviamente la función potencia es ilimitada.
Función gaussiana
Supongamos x∈R, use [x] o int(x) para representar el entero más grande que no exceda x, y use decimales puros no negativos para representar x, entonces y = [ x] se llama función gaussiana, también llamada función entera.
Cualquier número real se puede escribir como la suma de un número entero y un decimal puro no negativo, es decir, x = [x] (0 ≤