(B) Algunos métodos para determinar soluciones numéricas
1. Utilice el cociente de diferencias en lugar de la derivada. Si el tamaño del paso h es pequeño, existe una fórmula, que es la. Método de Euler. 2. Utilice la integración numérica para integrar ambos lados de la ecuación y'=f(x, y) de xi a xi 1. Usando la fórmula trapezoidal, existe una fórmula: En aplicaciones prácticas, combinada con la fórmula de Euler, es decir, la Método de Euler mejorado. 3. Este método se basa en la fórmula de Taylor, incluido el método de Runge-Kutta, el método lineal de varios pasos, etc. 4. Precisión de la fórmula numérica Cuando el error de truncamiento de una fórmula numérica se puede expresar como O(hk 1) (k es un entero positivo, h es el tamaño del paso), se denomina fórmula de orden k. Cuanto mayor es k, mayor es la precisión de la fórmula numérica. ? 6?1 El método de Euler es una fórmula de primer orden y el método de Euler mejorado es una fórmula de segundo orden. ? 6?1 El método Runge-Kutta tiene una fórmula de segundo orden y una fórmula de cuarto orden. ? El método lineal de varios pasos 6?1 tiene una fórmula de extrapolación y una fórmula de interpolación Addums de cuarto orden. (3) Utilice el software Matlab para encontrar la solución numérica de la ecuación diferencial ordinaria [t, x] = solucionador (' f ', ts, x0, opciones) Nota: 1. Al resolver ecuaciones de n funciones desconocidas, x0 y x son ambos vectores de n dimensiones. Las ecuaciones a resolver en el archivo m deben escribirse en términos de componentes de X. 2. Cuando se utiliza el software Matlab para resolver soluciones numéricas, las ecuaciones diferenciales de alto orden deben transformarse de manera equivalente en ecuaciones diferenciales de primer orden. (4) Ejemplo 1 de modelado matemático. El problema de seguimiento de misiles es que el barco A situado en el origen de las coordenadas lanza un misil al barco B situado en el punto A (1,0) del eje X. La cabeza del misil siempre apunta al barco B. Si el barco B viaja a lo largo de una línea recta paralela al eje Y a la velocidad máxima v0 (que es una constante), y la velocidad del misil es 5v0, encuentre la ecuación de la curva del misil. operación. ¿A qué distancia alcanzó el misil el barco B? Solución 1 (Método analítico) Suponga que la posición del misil en el tiempo T es P(x(t), y(t)) y ubique el segundo barco. Dado que la cabeza del misil siempre apunta al segundo barco, la línea recta PQ en este momento es la tangente del arco OP de la curva balística del misil en el punto P, es decir (1). , la longitud del arco OP es 5 veces, es decir (2 ) por.
La solución es la trayectoria balística del misil: cuando el barco B navegaba hasta este punto, fue alcanzado por el misil. El tiempo de clic es:. Si v0=1, acierta en t=0,21. Los resultados se muestran en la figura: La solución 2 (ecuación paramétrica para establecer la solución numérica) establece las coordenadas del barco T como (X(t), Y(t). Las coordenadas del misil son (x(t), y (t))).
Resuelva la ecuación paramétrica de la trayectoria del misil y establezca el nivel m eq2.m de la siguiente manera: función dy = EQ2 (t, y)dy = Zeros(21)=5*(1-y(1)); )/sqrt((( 1-y(1))^2 (t-y(2))^2);dy(2)=5*(t-y(2))/sqrt((1-y(1))^ 2 (t-y(2) )^2); Tome t0=0, tf=2 y establezca el programa principal Chase2.m de la siguiente manera: [t, y]=ode45('eq2 ', [0 2], [0). 0]); y = 0: 0.01:2; plot(1, Y, '-'), mantenga en plot(y(:, 1), Y(:, 2), *, los resultados se muestran en la Figura 1. El misil impactó en el barco B en (1, 0,2), lo que es coherente con la conclusión anterior. En Chase2.m, tf se corrige gradualmente usando el método de dicotomía, es decir, tf=1, 0.5, 0.25,... hasta tf=0.21. La conclusión de la Figura 2 es que en el momento t=0.21, el misil está en. (1, 0,21) impactó al barco B. 2. El problema de los tiburones en el Mediterráneo. La bióloga italiana Ancona se dedica a estudiar las relaciones entre las poblaciones de peces. A partir de datos sobre los porcentajes de captura de varias especies de peces capturados en los puertos del Mediterráneo durante la Primera Guerra Mundial, encontró que las proporciones de tiburones y otros aumentaron significativamente (ver tabla a continuación), mientras que el porcentaje de pescado disponible para su consumo disminuyó significativamente. Es obvio que la guerra redujo las capturas, aumentó los peces comestibles y aumentó los tiburones, pero ¿por qué aumentó tanto la proporción de tiburones? Incapaz de explicar este fenómeno, recurrió al famoso matemático italiano V. Volterra, con la esperanza de establecer un modelo matemático del sistema depredador-presa para responder cuantitativamente a esta pregunta. El archivo m shier.m se crea de la siguiente manera: función DX = Shier (t, x) DX = Zeros (2, 1) = x(1)*(1-0.1 * x(2)); dx(2 )= x(2)*(-0.5 0.02 * x(1)); en segundo lugar, el programa principal Shark.m se establece de la siguiente manera: [t, x] = ode45 ('shier ', [0 15] , [25 2]) ;Trazar (t, x(:,1),'-',t,x(:,2),'*') Trazar (x(:,1),x(:,2) ) La imagen de la izquierda refleja x1(t) Se puede suponer que tanto x1(t) como x2(t) son funciones periódicas. El modelo (2) considera la solución del modelo de captura artificial: 1. Utilice los archivos m shier1.m y shier2.m para definir las dos ecuaciones anteriores respectivamente. 2. Establezca el programa principal Shark1.m para resolver las dos ecuaciones y dibujarlas. proporción de tiburones con respecto al número total de peces Relación x2(t)/[x1(t) x2(t)] La línea sólida en la figura es la proporción de tiburones antes de la guerra, y la línea "*" es la conclusión. : la proporción de tiburones durante la guerra era mayor que antes de la guerra. (5) Código fuente ClearX = 0: 0,01:. y=-5*(1-x).
^(4/5)/8 5*(1-x).^(6/5)/12 5/24; trazar(x, y, ' * ')t0 = 0; ]=ode45('eq2 ', [t0 tf], [0 0]); x = 1; y = 0: 0.01: 2; trazar (X, Y, '-') mantener en trama (y (:, 1) ,Y(:,2),'*')t0=0;tf=3.75[t,y]=ode45('eq3',[t0 tf],[0 0]);t=0:0.1:2* pi; * ') Función dy=eq1(x, y) dy=zeros(2,1); dy(1)= y(2)=1/5*sqrt(1 y(1)^ 2) /(1-x); función dy=eq2(t, y) dy = cero (2, 1); dy(1)=5*(1-y(1))/sqrt((1-y(); 1) )^2 (t-y(2))^2);dy(2)=5*(t-y(2))/sqrt((1-y(1))^2 (t-y(2))^2) ;dsolve ('du=1 u^2', 't')y = dsolve(' d2y 4 * dy 29 * y = 0 ', ' y(0)=0, Dy(0)=15 ', ' x ') [x, y, z]=dsolve('Dx=2*x-3*y 3*z ',' Dy=4*x-5*y 3*z ',' Dz=4*x-4 *y 2*z ', ' t '); ;plot(T,Y(:,1),'-')[T,Y]=ode45('rigid',[0 12],[0 1 1] );plot(T,Y(:,1) ,'-',T,Y(:,2),' * ',T,Y(:,3),' ')x0 = 0;xf = 0.99999[ x,y]=ode23('eq1 ',[ x0 (t, y) dy=zeros(3,1); dy(1)= y(2)* y(3); dy(2)=-y( 1)* y(3); dy(3)= -0.51 * y(1)* y(2);[t,x]=ode45('shier',[0 15],[25 2]);trama (t,x(:,1),'-' , t, x(:, 2), ' * ') Figura (2) plot(x(:, 1), x(:, 2)) [t1, x] = oda 45(' escudo 1 ', [0 15], [25 2]); [t2, y] = oda45 ('shier2 ', [0 15], [25 2]); , 1); x2 = x (:, 2); /(x 1 x2); y1 = y (:, 1); y2 = y (:, 2);
/(y 1 y2); plot(t1, x3, '-', t2, y3, ' * ') función dx=shier(t, x) dx=zeros(2, 1)= dx( 1)*(1-0.1 * x(2)); dx(2)= x(2)*(-0.5 0.02 * x(1)); función dx=shier1(t,x)dx=zero(2, 1) dx(1)= x(1)*(0,7-0,1 * x(2)); dx(2)= x(2)*(-0,8 0,02 * x(1)); t, y) dy = cero (2, 1) = y (1) * (0,9-0,1 * y (2)); (1)); función dy=vdp1000(t, y) dy = cero (2, 1); dy(1)= y(2); *y(2)-y(1); 4. A través de esta experiencia en el diseño de cursos de Matlab, tengo un conocimiento profundo de los conocimientos básicos de Matlab y el uso del software Matlab en el modelado matemático. Aprendí a utilizar Matlab para resolver soluciones numéricas y analíticas de ecuaciones diferenciales simples. A través del diseño de este curso, también me di cuenta de la importancia de la perseverancia y la seriedad. Aunque encontré muchos problemas en el proceso de completar la tarea, los resolví uno por uno intentando consultar libros e información en línea. El diseño de este curso me ha beneficiado mucho y me ha sentado una buena base para utilizar Matlab de manera competente en el futuro. Muchas gracias por organizar el diseño de este curso.