Ejemplo 1. Se sabe que el punto Q es un punto en movimiento en la hipérbola que es diferente de los dos vértices, y F1 y F2 son los focos izquierdo y derecho de la hipérbola. Desde el punto F2 hasta la bisectriz de ∠F1QF2, usa la línea vertical F2P y el pie vertical P para encontrar la ecuación de la trayectoria del punto P.
Análisis: presta atención a las propiedades geométricas de la figura. Piense en la definición de hipérbola, puede considerar usar la definición Resuelva la ecuación de trayectoria.
Solución: Como se muestra en la figura, la línea de conexión OP está determinada por las propiedades de la bisectriz del ángulo,
Obtenemos |AQ|=|F2Q|.
A partir de las propiedades de la línea media de un triángulo, se deriva.
.
(Si el punto Q está en la rama izquierda de la hipérbola, debería estarlo).
Es decir, la ecuación de trayectoria del punto. ∴P es.
Ejemplo 2: Supongamos que el eje de simetría del círculo en movimiento C es paralelo al eje de coordenadas, la longitud del eje mayor es 4 y el eje Y se toma como la directriz izquierda. El vértice izquierdo A se mueve en la parábola y2=x-1, y luego encuentra las ecuaciones de trayectoria del centro C de estas elipses.
Análisis: El punto A y el punto C son un par de puntos relacionados. Intente usar las coordenadas del punto C para representar las coordenadas del punto A y use el método de puntos relacionados para resolver la ecuación de trayectoria del punto C.
Solución: Supongamos que las coordenadas del centro C son (x, y), entonces las coordenadas de A son (x-2, y), y A se mueve en la parábola y2=x-1.
∴y2=(x-2)-1, es decir, y2=x-3, que es la ecuación de trayectoria de c.
Además, el problema también puede ser resuelto mediante el método paramétrico.
∵El vértice izquierdo A se mueve en la parábola y2=x-1,
∴Supongamos A(t2+1, t) (t es un parámetro).
y=yA=t,①
∵2a=4,∴a=2,∴x=xA+2=t2+3.②
Eliminando el parámetro t de ① y ②, la ecuación de trayectoria del centro del círculo C es y2=x-3.
Ejemplo 3, como se muestra en la figura, P es una parábola C: en el último punto, la recta L pasa por el punto P y corta a la parábola C en otro punto Si la recta q. L es perpendicular a la tangente que pasa por el punto P, encuentre el segmento de línea PQ La ecuación de trayectoria del punto medio M.
Análisis: Esta es la pregunta final del Examen Nacional de Ingreso a la Universidad de 2004 (Documento Fujian). Según el significado de la pregunta, la ecuación de la línea recta L se puede expresar mediante la coordenada de abscisa de P, por lo que elegimos la coordenada de abscisa de P como parámetro y usamos el método paramétrico para resolver la ecuación de trayectoria del punto en movimiento. m.
Respuesta: Supongamos P(x1, y1) y M(x0, y0), donde x1≠0.
Desde, ①
K-tangente =x1 veces la pendiente de la recta tangente que pasa por el punto P,
∴La pendiente de la recta l,
La ecuación de la recta l es ②.
Unión ① ② Elimina Y y obtendrás.
m es el punto medio de ∴pq
Excluyendo x1, obtenemos.
La ecuación de trayectoria del punto m en ∴pq es.
Además, este problema es un problema de cuerda media, que se puede resolver utilizando el método de diferencia de puntos para explorar la relación entre x0 y x1.
Supongamos P2(x2, y2), por lo que viene dado por la siguiente fórmula.
Está bien,
Entonces,
Coloca la fórmula anterior en ② y resuélvela.
La ecuación de trayectoria del punto m en ∴pq es.
Ejemplo 4, se sabe que la constante a >0, en el rectángulo ABCD, AB=4, BC=4a, O es el punto medio de AB, y los puntos E, F y G están en BC, CD y DA respectivamente, P es el punto de intersección de GE y OF (como se muestra en la figura). ¿Hay dos puntos fijos tales que la suma de las distancias desde P a estos dos puntos sea un valor constante? Si existe, encuentre las coordenadas de estos dos puntos y el valor fijo si no existe, explique el motivo.
Análisis: Esta es una pregunta exploratoria. Primero resuelva la ecuación satisfecha por las coordenadas del punto P, y luego determine si hay dos puntos fijos en base a esto, de modo que la suma de las distancias de P a los dos puntos fijos sea un valor constante. Dado que P es la intersección de dos líneas rectas GE y of, la ecuación de trayectoria de P se puede resolver utilizando el método de la intersección.
Solución: Establecer un sistema de coordenadas lineal con O como origen y AB como eje X.
Existen a (-2, 0), b (2, 0), c (2, 4a), d (-2, 4a).
Supongamos (0≤k≤1),
Existen e (2, 4ak), f (2-4k, 4a), g (-2, 4a-4ak) .
La ecuación de la recta es 2ax+(2k-1)y=0, ①.
La ecuación de la recta GE es: -a(2k-1)x+y-2a=0, ②.
Elimine el parámetro k de ① y ②, y encuentre que las coordenadas del punto P (x, y) satisfacen la ecuación 2a2x2+y2-2ay=0.
Ordenarlo.
En ese momento, la trayectoria del punto P era un arco, por lo que no había dos puntos que cumplieran el significado de la pregunta.
En este momento, la trayectoria del punto P es parte de la elipse, y la suma de las distancias desde el punto P al foco de la elipse es constante.
En este momento, la suma de las distancias desde el punto P a los dos focos de la elipse es un valor constante.
En este momento, la suma de las distancias desde el punto P a los dos focos de la elipse es un valor fijo 2a.
Ejemplo 5. La recta de movimiento L pasa por el punto fijo A(2,0) y corta la parábola y=x2+2 en dos puntos diferentes B y C. Las proyecciones de los puntos B y C en el eje X son B' y C ' respectivamente (como se muestra en la figura ), P es un punto en la recta BC, que satisface la relación | BP |
Análisis: este problema es un problema complejo de síntesis de trayectorias. La posición del punto en movimiento G depende de la posición del punto P, es decir, P es el punto relevante de G. P está en movimiento. recta L, y L no puede moverse alrededor de ella. El punto A(2,0) se mueve. Como se mencionó anteriormente, es más razonable elegir la pendiente k como parámetro. Esta relación debe cumplirse cuando el punto P correspondiente se mueve, por lo que aparece otro parámetro λ, que es un parámetro multivariado.
Solución: Sea k la pendiente de la recta L. Obviamente, cuando L es perpendicular al eje X, no puede haber dos puntos de intersección entre L y la parábola, por lo que la ecuación de L es y. =k(x-2) . Combinando la ecuación parabólica y eliminando y, obtenemos x2-kx+2+2k=0.
La condición necesaria y suficiente para que esta ecuación tenga dos raíces reales diferentes es =k2-4(2+2k)=k2-8k-8=0.
Solución, o. ①
Supongamos que las coordenadas de B y C son (x1, y1) y (x2, y2), entonces x1+x2 = k, x1x2 = 2+2k.
Supongamos ③, de acuerdo con la fórmula del punto fijo, hay ④. Deje que las coordenadas del punto en movimiento G sean (x, y), y luego sustituya ④, ③ y ② en la fórmula anterior respectivamente. Nota,
12x-3y-4 = 0 que se puede usar para eliminar k.
Además, en "disponible", reemplácelo con ①, de o.
Obtén la solución (e indica y≠4). si.
Entonces la ecuación de trayectoria del centro de gravedad del POA G es 12x-3y-4=0.
Entre ellos.
Representa un segmento de recta excepto los extremos y sus puntos.
Comentario: Al resolver este problema, debes prestar total atención al rango de valores de y en la ecuación de trayectoria. Esta es la más propensa a errores. Es posible que incluso no encuentres el rango de valores de k. y pensar erróneamente que la ecuación de la trayectoria es el caso de 12x-3y-4=0.
Ejemplo 6: Como se muestra en la figura, dado el punto fijo A (a, 0) y la recta L: x =-1, donde B es el punto fijo de la recta L, y la bisectriz del ángulo ∠BOA La línea corta a AB en el punto C, encuentra la ecuación de trayectoria del punto C y analiza la relación entre el tipo de curva representado por la ecuación y el valor de A.
Análisis 1 : Con la ayuda del método de intersección y el método de parámetros, use el ángulo Resuelva el problema de la propiedad de que la distancia desde un punto en una bisectriz a ambos lados de un ángulo es igual.
Respuesta 1: Según el significado de la pregunta, observe b (-1, b) y (b ∈ r), entonces las ecuaciones de las rectas OA y OB son y=0 o y=- bx respectivamente. Si el punto C (x, y), entonces se puede obtener la fórmula de distancia desde el punto de datos 0≤x a la línea recta.
Como el punto C está en la recta AB, lo hay.
De x-a≠0, obtenemos. ②.
Sustituye ② por ①.
Organizar, tomar,
Si y≠0, entonces (1-a)x2-2ax+(1+a)y2 = 0(0Si y=0, entonces b= 0 , ∠AOB=π, las coordenadas del punto C son (0, 0), satisfaciendo la fórmula anterior
En resumen, la ecuación de trayectoria del punto C es (1-a)x2-2ax+(1. +). a)y2 = 0(0≤x(1)Cuando a=1, la ecuación de la trayectoria se convierte en y2 = x (0 ≤ x
⑵Cuando a≠1, la ecuación de la trayectoria se convierte. p>
Así, cuando 0 es a & gt en 1, la ecuación representa el segmento de arco de la hipérbola.
Análisis 2: Resuelve el problema con la ayuda de la fórmula de la tangente de doble ángulo.
Solución 2: Como se muestra en la figura, sea d la intersección de los ejes ly x, sea c CE ⊥ X y e sea el pie vertical.
(1) Cuando |BD|≠0 y el punto de ajuste C(x, y), entonces 0 se obtiene de CE//BD.
∠∠COA =∠COB =∠COD-∠DBO =π-∠COA-∠DBO, 2∠COA=π-∠DBO.
∴.
Ordenarlo y tráelo.
(2) Cuando |BD|=0 y ∠BOA=, las coordenadas del punto C son (0, 0), satisfaciendo la fórmula anterior.
Combinando (1) y (2), la ecuación de la trayectoria del punto C es (1-a)x2-2ax+(1+a)y2 = 0 (la misma solución se da debajo de 0.
Análisis 3: Dado que C, A y B están en línea recta, y A y B están en una línea recta especial, podemos construir un modelo de fórmula de punto fijo para resolver este problema
<. p> Respuesta 3: Supongamos C(x, y), donde 0≤x∶oc dividido por ∠AOB,∴, por lo tantoEl punto de puntuación se fija mediante la fórmula, es decir
Utilice b2 y reemplácelo con
Simplifíquelo
La siguiente es la misma solución
Comentarios: Las tres soluciones a este problema son en realidad. Basado en tres, esto también muestra que incluso si es un problema difícil, siempre que profundicemos en los diversos antecedentes de conocimiento del problema, es completamente posible encontrar respuestas ricas y coloridas, mejorando así nuestra capacidad de analizar y analizar de manera integral. resolver problemas y mejorar nuestra capacidad para resolver problemas.
En resumen, al resolver el problema de la ecuación de trayectoria, debemos prestar atención a la aplicación integral de este método, observar conscientemente las propiedades geométricas de la figura. seleccione los parámetros de manera razonable y preste especial atención a la integridad de la trayectoria y la pureza.
Ejercicios de consolidación
1 Un círculo en movimiento circunscribe dos círculos x2+y2=1, x2+. y2-8x+12=0, entonces es un círculo en movimiento. La trayectoria central es ().
Un círculo b. >3. Se sabe que el punto P se mueve sobre la recta x=2, La recta L pasa por el origen y es perpendicular a OP La recta M que pasa por el punto A (1, 0) y el punto P. intersecta a la recta L. Encuentra la ecuación de trayectoria del punto q.
3 Como se muestra en la figura, supongamos que los puntos A y B son una parábola y = 4px (p & gt; 0). Se conocen dos puntos móviles distintos del origen, OA⊥OB, OM⊥AB. Encuentre la ecuación de trayectoria del punto m.
3 La recta elíptica conocida l:. el rayo OP cruza la elipse en el punto R, y el punto Q está en OP y satisface OQ ||| , encuentra la ecuación de trayectoria del punto Q, ¿qué curva es la trayectoria
Respuesta de referencia:
⒈C
⒉
⒊x2+y2-. La ecuación de la trayectoria del punto Q es (donde X e y no son cero al mismo tiempo. Su trayectoria es una elipse con (1, 1) como centro, y los semiejes largo y corto son respectivamente Para encontrar la suma, el eje largo es paralelo al El tema está cerca de la vida, involucra una amplia gama de conocimientos y es rico en funciones. Agregar preguntas de aplicación y capacidad es la dirección de la reforma del examen de ingreso a la universidad, y la resolución de problemas prácticos se ha convertido en una. tema candente en el examen de ingreso a la universidad.
La respuesta a las preguntas se basa en la lectura de los materiales y la comprensión del significado de las preguntas. Sobre la base de la abstracción, los problemas prácticos se transforman en problemas matemáticos, los modelos matemáticos correspondientes. El conocimiento matemático establecido se utiliza para analizar e investigar los modelos matemáticos, y luego las respuestas matemáticas se devuelven a problemas prácticos para sacar conclusiones prácticas. Las ideas y métodos para resolver problemas de aplicación matemática se pueden representar mediante diagramas esquemáticos:
Los siguientes son algunos ejemplos de modelos matemáticos comunes de problemas de aplicación para ampliar las ideas de los estudiantes y obtener algo de inspiración.
1. Establecer un modelo funcional.
Ejemplo 1. Cierta comunidad quiere construir un espacio verde rectangular con una superficie de un metro cuadrado, rodeado de senderos. El ancho del camino fuera del lado largo del espacio verde es de 5 metros y el ancho del camino fuera del lado corto es de 8 metros (como se muestra en la imagen). La longitud del lado largo del espacio verde es como máximo de 28 metros y al menos de 20 metros.
Para un dado a (300≤a≤700), ¿cómo diseñar el largo y el ancho del espacio verde para minimizar el área total del espacio verde y los caminos?
Análisis: Introducir la longitud del lado largo como variable independiente
Respuesta: Supongamos que el lado largo del espacio verde mide x metros (x > 0), el lado corto mide metros y el área total es s metros cuadrados.
Si y sólo si se cumple el signo igual en la fórmula anterior, las condiciones necesarias y suficientes para que se cumpla el signo igual son:
Es decir, 250≤a≤490, 300 ≤a≤700.
Entonces (1) cuando 300≤a≤490, inmediatamente, s tiene un valor mínimo. En este momento, la longitud es y el ancho es metros.
⑵Cuando 490≤a≤700, establezca.
.
Esto se debe a que 20 ≤ x ≤ 28, a >: 490, haciendo 28-x ≥ 0, 16a >: 7840 ≥ 280x.
Entonces, cuando x=28, s tiene un valor mínimo, preste atención a este tiempo.
Comentarios: El conocimiento de las desigualdades se suele utilizar para resolver modelos de funciones. Hay dos puntos que merecen especial atención. En primer lugar, se debe considerar la importancia práctica del rango de valores de la variable independiente de la función; en segundo lugar, cuando se utiliza la desigualdad media para encontrar el valor máximo de la función, es necesario comprobar si se puede establecer el signo igual.
A la hora de formular un plan de inversión, debemos considerar no sólo las posibles ganancias, sino también las posibles pérdidas.
Un inversor planea invertir en dos proyectos, A y B. Según las predicciones, la tasa de ganancia máxima posible y la tasa de pérdida máxima posible de los proyectos A y B son 100%, 50%, 30% y 10 % respectivamente. El inversor planea invertir no más de 100.000 yuanes y debe asegurarse de que la posible pérdida de capital no supere 1.
Análisis: Esta es la pregunta del examen de ingreso a la Universidad de Jiangsu de este año. El beneficio total Z se puede expresar como la función objetivo z(x, Y) de los montos de inversión X e Y de los dos proyectos A y B. El problema se puede transformar en un problema de maximización de las restricciones (relaciones de desigualdad) de X. e Y, con la ayuda de la programación lineal Búsqueda de conocimiento.
Respuesta: Supongamos que el inversor invierte X millones de yuanes e Y millones de yuanes en los proyectos A y B respectivamente.
Por el significado de la pregunta,
Función objetiva z = x+0.5y
El área plana representada por el grupo de desigualdad anterior es como se muestra en la figura, y la parte sombreada (incluido el borde) puede ser un área de fila.
Construya una recta l0:x+0.5y=0, dibuje una recta x+0.5y=z(z∈R) paralela a la recta l0, interseque con la región factible, una de las líneas rectas pasan por m en el punto de la región factible, la distancia desde la línea recta x+0.5y=0 es la mayor. Aquí el punto m es la recta x+y=10.
Resuelve la ecuación, x=4, y=6.
En este momento z=4+0,5*6=7 (10.000 yuanes). ∴Cuando X = 4, Y = 6, z alcanza el valor máximo.
Respuesta: Sólo si el inversor invierte 40.000 yuanes en el proyecto A y 60.000 yuanes en el proyecto B, se pueden maximizar las posibles ganancias bajo la premisa de que la pérdida no supere los 6,5438+8 millones de yuanes.
Comentario: Este es un problema de programación lineal, que es el contenido más básico en la investigación de operaciones y se puede resolver con conocimientos de la escuela secundaria. Los métodos comúnmente utilizados incluyen análisis de funciones objetivas y métodos gráficos. La principal dificultad que tienen los estudiantes para resolver este tipo de problemas es que no comunican las múltiples ecuaciones o desigualdades en las restricciones al objetivo previsto. En cuanto a los problemas simples de programación lineal, este aspecto se ha agregado al nuevo libro de texto de matemáticas de la escuela secundaria, por lo que debes prestarle atención durante el proceso de revisión.
3. Establecer un modelo de secuencia.
Ejemplo 3: El número de coches que había en una determinada ciudad a finales de 2001 era de 300.000. Se estima que cada año se desguazará el 6% del número de coches que había al final del año anterior. y el número de coches nuevos será el mismo todos los años. Para proteger el medio ambiente urbano, se requiere que el número de automóviles en la ciudad no supere los 600.000. Entonces, ¿cuántos automóviles deberían agregarse cada año?
Análisis: introduzca el número de automóviles nuevos como una cantidad desconocida, establezca un modelo de secuencia con el número de automóviles al final de cada año como un elemento y resuélvalo con la ayuda del conocimiento de secuencia.
Respuesta: A finales de 2001, el número de automóviles en el país era de 10.000 B. Después de eso, el número de coches al final de cada año es B20.000, B3.000,..., y cada año se suman X.000 coches, entonces:
b1=30, b2 =b1*0,94+x.
Para n & gt1, donde bn+1 = bn * 0,94+x = bn-1 * 0,94 x2+(1+0,94)x,
……
Cuando x≤1.8, bn+1≤bn≤……≤b 1 = 30.
Cuando, es decir, x & gt está en 1,8,
Y la secuencia {bn} aumenta elemento por elemento y puede acercarse arbitrariamente.
Por tanto, si se requiere que el número de coches no supere los 600.000, es decir, bn≤60 (n=1, 2, 3,...).
Entonces, es decir, x≤ 3,6 (10.000 vehículos).
En resumen, el número de coches nuevos al año no debería superar los 36.000.
Comentarios: Encontrar el término general de una sucesión es la clave para resolver problemas. Para la fórmula recursiva bn+1=bn*0.94+x, también se puede simplificar de la siguiente manera:
Además, es necesario tener algunos conocimientos de límites.
Para proteger el entorno ecológico de la zona del embalse de las Tres Gargantas, se deben reverdecer todos los terrenos baldíos con una pendiente superior a 25°. Según estadísticas preliminares, el área de terrenos baldíos inclinados con una pendiente superior a 25 ° en el área del embalse de las Tres Gargantas es de aproximadamente 26,4 millones de acres. Si la forestación comienza a principios de 2003, se reforestarán 65.438+200.000 acres durante el primer año, y 600.000 acres se reforestarán cada año a partir de entonces.
(1) Si todos los terrenos baldíos en pendiente que han sido reverdecidos se reverdecen con éxito, ¿cuándo se podrán reverdecer todos los terrenos baldíos en pendiente en el área del embalse?
(2) Si la cantidad promedio de madera de plántula por cada 10.000 acres de forestación es de 0,1.000 metros cúbicos y la tasa de crecimiento natural anual de la madera es del 20 %, entonces, cuando todos los terrenos baldíos por encima de los 25° en toda el área del embalse está reforestada, para fin de año ¿Cuántos millones de metros cúbicos de madera habrá? (Mantenga 1 decimal, 1,29 = 5,16, 1,28 = 4,30)
Análisis: La superficie verde cada año se convierte en una secuencia aritmética La cantidad de forestación en un año iguala la cantidad de madera en los años siguientes. . se convierte en una serie geométrica.
Respuesta: (1) Si A1 = 120, D = 60, la tarea de ecologización se puede completar después del enésimo año.
.
La solución es n≥8. Por lo tanto, para el año 2010, todas las pistas con una pendiente superior a 25° podrán ser reverdecidas.
⑵ La cantidad de forestación a principios de 2010 fue de a8=127*60=540 (10.000 acres).
Supongamos que la cantidad total de madera es s multiplicada por 2010. Según el significado de la pregunta:
Ordene (1)
Multiplica ambos lados por 1,2( 2)
②——①, ∴S=6*90,6=543,6 (10.000 metros cúbicos)
Respuesta: A finales de 2010, había un total de 5,436 millones Metros cúbicos de madera.
Comentarios: Para resolver problemas escritos relacionados con la secuencia, debes comprender cuidadosamente el significado de la pregunta, ya sea una secuencia aritmética o una secuencia geométrica, si encontrar un determinado término o una suma, el número de términos, etc., y luego proceder con base en las conclusiones relevantes Calcular y probar.
3. Establecer un modelo geométrico.
Ejemplo 5: A, B y C son nuestras tres posiciones de artillería. a está al este de B, a 6 km de distancia, C está a 30° al noroeste de B, a 4 km de distancia. p es la posición de artillería del enemigo. En un momento determinado, se descubrió una señal de la posición de artillería enemiga en A. Como B y C estaban más lejos de A que de P, B y C tardaron 4 segundos en descubrir la señal al mismo tiempo (el rango de propagación de esta la señal es conocida)
Análisis: La clave del problema es determinar la posición del punto P. Tenga en cuenta que el punto P satisface la condición |PB|-|PA|=4, y |PB|=| ordenador personal|. Combinando la definición de hipérbola y las propiedades de las líneas verticales, se puede resolver estableciendo un sistema de coordenadas y utilizando un modelo geométrico analítico.
Solución: Como se muestra en la figura, tomar el punto medio del segmento de línea AB como origen, tomar la línea recta donde se encuentra BA como eje X, establecer un sistema de coordenadas rectangular y luego A ( 3, 0), B (-3, 0), C (-5,0).
∵|PB|-|PA|=4, ∴ el punto p está en la rama derecha de la hipérbola con a y b como foco.
La ecuación de la rama derecha de la hipérbola es . ①
|PB|=|PC|, ∴ el punto p está en la perpendicular media a la línea BC, y la ecuación de esta línea es. ②.
Puedes obtenerlo sustituyendo ② en 11x2-56x-256=0, x=8 o (resta) de ①.
Aquí vamos de nuevo.
Por lo tanto, el punto P está 30° al noreste del punto A, es decir, la orientación del bombardeo de A sobre P es 30° al noreste.
Ejemplo 6. Hay un cubo cilíndrico que se utiliza para almacenar pelotas de tenis de mesa, con un diámetro interior (cm) y una altura de 40 cm. ¿Cuántas pelotas de tenis de mesa con un diámetro de 4 cm se pueden colocar en el cubo?
Análisis: Para resolver este caso es necesario realizar dos tareas. Una es calcular cuántas pelotas de ping pong se pueden colocar en una capa del cubo. Se calcula a través de datos y características geométricas como el diámetro interior del cañón y el diámetro de las pelotas de tenis de mesa, así como la proyección de la primera capa de pelotas de tenis de mesa sobre la superficie inferior para calcular el máximo; Número de capas de bolas que se pueden colocar en el cañón. La clave para calcular el segundo problema es cómo encontrar la distancia entre los planos donde se encuentran los centros de las dos capas de pelotas de tenis de mesa. El cálculo se traslada a una geometría que consta de centros extraídos de los centros de dos capas de bolas adyacentes.
Solución: Primero establezca el modelo geométrico como se muestra en la Figura 1, donde ⊙O1, ⊙O2 y ⊙O3 son tres círculos con un radio de 2 cm y están circunscritos entre sí. Estos tres círculos están relacionados. a ⊙ Tangente a O, obviamente, O1O2O3 es un triángulo equilátero con una longitud de lado de 4 cm.
Por lo tanto, el radio del círculo o es ∴. Su diámetro es (cm). Por lo tanto, se pueden colocar tres pelotas de ping pong con un diámetro interior de 4 cm en la capa interior de un cubo con un diámetro interior de 1 cm.
Al colocar la segunda capa de pelotas en el cubo, para jugar tantas pelotas de tenis de mesa como sea posible, puedes considerar usar el espacio que deja la primera capa de pelotas de tenis de mesa al colocar la segunda capa. de bolas. Por lo tanto, la posición de las tres pelotas en el segundo piso debe girarse 60° en sentido contrario a las agujas del reloj (o en el sentido de las agujas del reloj) con respecto a la posición de las tres pelotas de tenis de mesa en el primer piso. Los centros de las seis pelotas de tenis de mesa en el segundo piso pueden considerarse como los tres vértices A1, B1 y C1 de la base inferior de un prisma hexagonal regular y los tres vértices A2, B2 y C2 de la base superior, como como se muestra en la Figura 2, A2B2 =
Supongamos que la longitud del lado y la altura de la base de un prisma hexagonal regular son x y h respectivamente, entonces A2B22=x2+x2-2x2cos120,
.
Aquí vamos de nuevo.
De esta forma se obtiene la distancia entre los planos donde se encuentran los centros de las dos pelotas de tenis de mesa. Si se colocan n capas de pelotas de tenis de mesa en este cubo, entonces n debería satisfacer:
Debido a esto, (n-1)≤11, ∴n≤12.
Entonces Este cubo puede contener hasta 12 capas de pelotas de tenis de mesa, tres en cada capa, por lo que este cubo puede contener hasta 36 pelotas de tenis de mesa.
Nota: En este ejemplo, creamos dos transformaciones geométricas. La clave es establecer un modelo geométrico de un prisma hexagonal regular (como se muestra en la Figura 2), que se compone del centro de cada bola en dos capas adyacentes en el cañón y su proyección ***12 puntos en el plano donde se encuentra. Se ubica el centro de la otra capa.
Además de los tres problemas verbales de uso común enumerados anteriormente, existen otros modelos como triángulos, permutaciones y combinaciones, probabilidad, etc. En el proceso de aprendizaje, debemos pensar más, fortalecer la inducción y el resumen, ser buenos para comprender los puntos principales, construir modelos matemáticos razonablemente y mejorar constantemente la conciencia y la capacidad de aplicación de las matemáticas.