=n*an-n*a(n-1)
= n * an-(n-1)* a (n-1)-a(n-1)
Entonces la suma de los primeros n elementos de la secuencia {n[an-a(n-1)]} = la suma de los primeros n elementos de la secuencia { n * an-(n-1)* a(n-1)}
=(a 1-A0) (2 * a2-a 1-a 1) (3 * a3-2 * a2- a2) (4 * a4-3 * a3-a3) ... [n * an-(n-1)* a(n-1)-a(n-1)]
=n *an-[a0 a1 a2 ... a(n-1)]
Debido a que ∑n[an-a(n-1)] converge, la suma de los primeros n términos tiende a 0.
Es decir, lim(n->;∞)[n*an-[a0 a1 a2 ... a(n-1)]]=0
Porque {n *an } converge, por lo que n*an tiende a 0.
Entonces lim(n->;∞)[a0 a1 a2 ... a(n-1)]=0
En otras palabras, la secuencia {a(n- 1) )} la suma de los primeros n términos tiende a 0.
Es decir, ∑a(n-1) converge.
Porque ∑an=a0 ∑a(n-1)
Entonces ∑an también converge