Resumen: este artículo presenta el progreso de la investigación y la situación actual de los métodos de cálculo electromagnético, presenta varios algoritmos representativos y compara sus ventajas y desventajas, incluido el método del momento y el método de elementos finitos. Método de diferencia en el dominio del tiempo y método de rayos complejos.
Palabras clave: método de momentos; método de elementos finitos; método de dominio de tiempo de diferencias finitas; método de rayos complejos
1 Cita
En 1864, Maxwell estaba entre los predecesores. Estableció una teoría unificada del campo electromagnético basada en teoría (ley de Gauss, ley de Ampere, ley de Faraday y ausencia de polo magnético libre) y experimentos, y utilizó modelos matemáticos para revelar las leyes universales seguidas por todos los fenómenos electromagnéticos macroscópicos en la naturaleza. Ecuación de Maxwell. Resuelva las ecuaciones de Maxwell o sus formas degeneradas en un sistema de coordenadas de 11 variables separables y finalmente obtenga una solución analítica. Este método puede obtener una solución precisa al problema y es relativamente eficiente, pero su alcance de aplicación es demasiado limitado y solo puede resolver problemas simples con límites regulares. Para límites con formas irregulares o arbitrarias, se requieren altas habilidades matemáticas e incluso no se pueden obtener soluciones analíticas. Desde la década de 1960, con el desarrollo de la tecnología informática, se han desarrollado y utilizado ampliamente algunos métodos de cálculo numérico de campos electromagnéticos. En comparación con la teoría electromagnética clásica, los métodos numéricos están mucho menos limitados por las formas de los límites y pueden resolver una variedad de problemas complejos. Sin embargo, varios métodos de cálculo numérico tienen sus propias ventajas y desventajas. A menudo es difícil que un solo método resuelva un problema complejo y, a menudo, es necesario combinar varios métodos para aprender de los puntos fuertes de cada uno. Por lo tanto, hay un énfasis cada vez mayor en los métodos mixtos.
Este artículo revisa el desarrollo del electromagnetismo computacional en el país y en el extranjero y clasifica los métodos de cálculo electromagnético comúnmente utilizados.
2 Clasificación de los métodos numéricos del campo electromagnético
Las soluciones numéricas a problemas electromagnéticos se pueden dividir en dos categorías: dominio del tiempo y dominio de la frecuencia. Las técnicas en el dominio de la frecuencia incluyen principalmente el método de momentos, el método de diferencias finitas, etc. La tecnología en el dominio de la frecuencia se desarrolló antes y es relativamente madura. El método en el dominio del tiempo es principalmente una técnica de diferencia en el dominio del tiempo. La introducción del método en el dominio del tiempo se basa en la consideración de la eficiencia computacional. Algunos problemas requieren menos cálculos cuando se analizan en el dominio del tiempo. Por ejemplo, cuando el método del dominio de la frecuencia resuelve la respuesta temprana del objetivo a un pulso, debe realizar múltiples cálculos de muestreo dentro de un ancho de banda mayor y luego realizar una transformada de Fourier inversa para obtener la solución. La precisión del cálculo se ve afectada por el número de muestreos. agujas. Si la parte no lineal cambia con el tiempo, el método en el dominio del tiempo es más sencillo. También existen métodos de alta frecuencia como GTD, UTD y teoría de rayos.
Desde la perspectiva de la forma de resolver ecuaciones, se puede dividir en método de ecuación integral (IE) y método de ecuación diferencial (DE). En comparación con DE, IE tiene las siguientes características: la dimensión de la región de solución del método IE es uno menos que la del método DE, y el error se limita al límite de la región de solución, por lo que la precisión es alta; El método IE es adecuado para resolver problemas de dominio infinito, mientras que el método DE encontrará problemas en este momento con el problema de truncamiento de la cuadrícula. La matriz producida por el método IE está llena y tiene un orden pequeño, mientras que la matriz producida por el método DE es escasa y tiene un orden grande. Es difícil para el método IE abordar problemas de medios no uniformes, no lineales y que varían en el tiempo, y el método DE se puede utilizar directamente para tales problemas [1].
3 Introducción a varios métodos típicos
El método de los elementos finitos se propuso en la década de 1940 y se utilizó en el diseño de aviones en la década de 1950. Posteriormente, este método fue desarrollado y ampliamente utilizado en análisis estructural. Actualmente, el método de los elementos finitos es muy famoso como método general ampliamente utilizado en problemas matemáticos y de ingeniería.
El método de los elementos finitos es un método de cálculo numérico basado en el principio de variación. El problema de solución identificado es:
Aplicar el principio de variación para transformar el problema de valor límite que se requiere resolver en el problema de variación correspondiente. Mediante la división e interpolación de la región D, el problema de variación se discretiza en el problema de valores extremos de funciones multivariadas ordinarias, y luego se obtiene un conjunto de ecuaciones algebraicas multivariadas. Al resolver un sistema de ecuaciones algebraicas, se puede obtener una solución numérica al problema de valor límite deseado. En términos generales, pasa por los siguientes pasos:
①Se da el funcional correspondiente al problema de valor en la frontera a resolver y su problema de variación.
② Divida el dominio D y seleccione la función de interpolación correspondiente.
③ Discretiza el problema de variación en el problema de valores extremos de funciones multivariadas y obtiene el siguiente conjunto de ecuaciones algebraicas:
Entre ellas: Kij es la matriz de coeficientes (rigidez) Xi; es la interpolación discreta de puntos.
④ Eligiendo la solución algebraica adecuada (2) se puede obtener la solución numérica Xi (I = 1, 2,..., n) del problema de valores límite a resolver.
(2) Método de los momentos
El análisis de muchos problemas electromagnéticos se reduce a una ecuación del operador [2]:
L (f) = g ( 3) Entre ellos: L es un operador lineal, F es un campo desconocido u otra respuesta y G es una fuente o excitación conocida.
En general, esta ecuación es una ecuación vectorial (de dos o tres dimensiones). Si F se puede resolver mediante una ecuación, es una solución analítica exacta. En la mayoría de los casos, la forma analítica de F no se puede obtener y sólo se puede predecir mediante métodos numéricos. Supongamos que f se expande en el dominio de L en una combinación lineal de un determinado sistema de funciones básicas f1, f2, f3,..., fn;
donde: an es el coeficiente de expansión y fn es el función de expansión o función de base.
Para la solución exacta, la suavidad de la ecuación (2) es la suma de infinitos términos y forma un conjunto completo de funciones básicas. Para una solución aproximada, coloque la Ecuación (2) en la Ecuación (1) y luego aplique la linealidad del operador L, obtenemos:
m=1, 2, 3,…
Este El sistema de ecuaciones se puede escribir en forma matricial f para resolver f. El método de los momentos es un método discreto que convierte las ecuaciones de operadores en ecuaciones matriciales.
En el problema de la dispersión electromagnética, la relación entre la escala característica del dispersor y la longitud de onda es un parámetro muy importante. Determinó la forma específica en que se debía aplicar el método de los momentos. Si la escala característica del objetivo es comparable a la longitud de onda, se puede utilizar el método general de momentos. Si el objetivo es grande y la escala de características cubre un rango grande, entonces es necesario elegir un método discreto y una función de base discreta apropiados. Afectado por la memoria de la computadora y la velocidad de cálculo, es muy difícil utilizar el método del momento para resolver algunos problemas bidimensionales y tridimensionales, porque la cantidad de memoria de cálculo suele ser proporcional a N2 o N3 (N es el número de puntos discretos ), y la matriz mal condicionada después de la discretización también es difícil de entender. En este momento, se requieren habilidades matemáticas más avanzadas, como usar la expansión de wavelets y seleccionar funciones de base de wavelets apropiadas para reducir la dimensionalidad [3].
(3) Método de dominio de tiempo de diferencias finitas
El método de dominio de tiempo de diferencias finitas (FDTD) es un método de cálculo de campos electromagnéticos en el dominio de tiempo. Tradicionalmente, el cálculo de campos electromagnéticos se ha realizado principalmente en el dominio de la frecuencia. A lo largo de los años, los métodos de cálculo en el dominio del tiempo han recibido una atención cada vez mayor. Ha demostrado fortalezas únicas en muchos aspectos, especialmente en la resolución de problemas electromagnéticos relacionados con medios no homogéneos, dispersores de formas arbitrarias y estructuras complejas, y sistemas de radiación. El método FDTD resuelve directamente la ecuación de curl de Maxwell que depende de la variable de tiempo. Utiliza la aproximación de diferencia central con precisión de segundo orden para convertir directamente el operador diferencial en la ecuación de curl a una forma diferencial, logrando así campos electromagnéticos continuos en un cierto volumen. y dentro de un período de tiempo. Los componentes del campo eléctrico y del campo magnético se colocan transversalmente en el espacio, asegurando que la condición de continuidad del componente del campo tangencial en el límite medio se cumpla naturalmente. En el sistema de coordenadas cartesiano, los componentes del campo eléctrico y magnético están ubicados en una celda de cuadrícula de modo que cada componente del campo magnético está rodeado por cuatro componentes del campo eléctrico, y viceversa.
La ubicación espacial de este campo electromagnético se ajusta a la geometría natural de las leyes de Faraday y Ampere. Por lo tanto, el algoritmo FDTD es una simulación digital del proceso continuo de propagación de ondas electromagnéticas reales en el espacio de almacenamiento de datos. Sin embargo, el nuevo valor de cada componente de campo en cada punto de la cuadrícula depende solo del valor de ese punto en el mismo paso de tiempo y de los valores de otros campos alrededor de ese punto en el paso de medio tiempo anterior. Este es el principio de inducción del campo electromagnético. Estas relaciones constituyen la fórmula básica del método FDTD. Al calcular gradualmente los puntos de la cuadrícula dentro del área de simulación, se pueden obtener los resultados deseados después de realizar una cantidad adecuada de pasos de tiempo.
En el algoritmo anterior, el incremento de tiempo δt y el incremento de espacio δx, δy y δz no son independientes entre sí. Sus valores deben satisfacer una determinada relación para evitar la inestabilidad numérica. Esta inestabilidad se manifiesta como un aumento infinito de 67 a medida que continúa el paso de tiempo al resolver la ecuación en diferencias explícita.
Para garantizar la estabilidad numérica, se deben cumplir las condiciones de estabilidad numérica:
Donde: (Para regiones no uniformes, se debe seleccionar el valor máximo de c)[4].
El uso del método de diferencia para calcular numéricamente las ecuaciones de Maxwell también provocará la dispersión del modo de onda analógica en la cuadrícula. Es decir, la velocidad de propagación del modo de onda digital en la cuadrícula FDTD cambiará con la longitud de onda. y la distribución de la onda en la red varía dependiendo de la dirección de propagación y discretización. Esta dispersión puede provocar distorsión de la forma de onda del pulso, anisotropía artificial y difracción virtual debido a razones no físicas, por lo que se debe considerar la dispersión numérica. Si se utilizan cuadrículas de diferentes tamaños o regiones de diferentes medios en el espacio de simulación, la relación entre el tamaño de la cuadrícula y la longitud de onda será una función de la posición, y se producirán difracción y reflexión no físicas en las interfaces de diferentes cuadrículas o medios. Se debe realizar una investigación cuantitativa para garantizar la precisión del algoritmo FDTD. En el problema abierto, el campo electromagnético ocupará un espacio infinito, y dado que la memoria de la computadora siempre es limitada y solo puede simular un espacio limitado, la rejilla diferencial se cortará en algún lugar, lo que requiere que la onda no se detenga en el corte. punto de la cuadrícula habrá una reflexión obvia, de modo que las ondas que se propagan externamente parecerán estar propagándose en un espacio infinito. Esto es para establecer condiciones de contorno absorbentes en el límite de modo que las ondas que se propagan hasta el límite sean absorbidas por el límite y no reflejadas. Por supuesto, es imposible estar completamente libre de reflejos. Algunas condiciones límite de absorción que se han creado hasta ahora pueden cumplir con los requisitos de precisión, como las condiciones límite de absorción derivadas de Mur.
(4) Método de rayos complejos
El método de rayos complejos es un método de aproximación de alta frecuencia para resolver problemas de propagación y dispersión del campo de ondas. Basándose en los métodos analíticos y las fórmulas de cálculo de la teoría de la óptica geométrica y la teoría de la difracción geométrica, resolvió la amplitud y la fase de campos y trayectorias de rayos complejos en el espacio complejo analíticamente extendido, obteniendo así directamente la propagación y dispersión de ondas locales no uniformes ( olas que caen) reglas[5]. El método de rayos complejos es un término general para una serie de métodos de procesamiento, como el trazado de rayos complejos, la aproximación paraxial de rayos complejos, la expansión de rayos complejos y la difracción de rayos complejos. Sus características * * * son: al extender las coordenadas del punto de referencia del rayo al espacio complejo, se establece un modelo de análisis de haz de rayos en el espacio real simple y unificado a través del principio de Fermat y su extensión, el uso de trazado de rayos complejo o complejo; Análisis paraxial de rayos La tecnología de procesamiento aproximado construye un método de descripción eficaz del campo del punto de silla bajo el marco óptico de luz. Por ejemplo, el método de trazado de rayos complejo extiende directamente el método de trazado de rayos y la fórmula de cálculo de intensidad de campo utilizados en óptica de rayos al espacio complejo, y utiliza el principio complejo extendido de Fermat para buscar rayos complejos, encontrando así la trayectoria del rayo complejo y la trayectoria del rayo complejo. campo. La característica de este método es que puede describir eficazmente la transmisión de haces de luz en el espacio basándose en el método de óptica de luz, proporcionando un método simple para analizar la transmisión de haces de luz. Su desventaja es que se debe buscar una trayectoria de rayo compleja de dos o cuatro dimensiones para cada punto de observación dado, lo cual es un proceso de iteración por computadora que requiere mucho tiempo.
4 Comparación y progreso de varios métodos
El trasplante del método de los elementos finitos al campo de la ingeniería electromagnética ocurrió en las décadas de 1960 y 1970, y es relativamente nuevo. La ventaja del método de elementos finitos es que es adecuado para problemas de solución definida con formas o condiciones de frontera complejas y medios complejos. Cada enlace de este método se puede estandarizar, se puede obtener un programa de cálculo universal y la precisión del cálculo es alta. Sin embargo, el procedimiento de cálculo de este método es complejo y largo. Debido a que es un método de solución regional, la cantidad de elementos y nodos es grande, lo que genera datos iniciales complejos. El sistema de ecuaciones final tiene una gran cantidad de elementos, lleva mucho tiempo calcularlo y requiere almacenamiento en la propia computadora. Para muchos problemas electromagnéticos, los elementos finitos producen tiras (si los nodos están numerados correctamente) y matrices dispersas (muchos elementos de la matriz son 0). Sin embargo, el método de elementos finitos en sí solo puede resolver problemas de dominio abierto. El primer paso en el análisis numérico de elementos finitos es discretizar el objetivo. Se ha estado estudiando este problema durante muchos años, intentando encontrar un método de discretización eficaz y conveniente, pero debido a la particularidad del campo electromagnético, este problema no se ha resuelto bien. La clave del problema es que, por un lado, los métodos de subdivisión generales son difíciles de aplicar a estructuras complejas, por otro lado, dado que la densidad de subdivisión está estrechamente relacionada con la capacidad de almacenamiento de la matriz de coeficientes final, muchos métodos tienen; Se han utilizado métodos de red múltiple para reducir la capacidad de almacenamiento, pero estos métodos son difíciles de implementar [6].
La generación y densificación de redes es uno de los cuellos de botella en el desarrollo del método de elementos finitos. La tecnología de densificación y generación de redes adaptativas puede resolver mejor este problema.
La generación de cuadrícula adaptativa ajusta la densidad de la cuadrícula en función de los resultados de resolver la distribución de campo, utiliza funciones de interpolación de alto orden en áreas densas de la cuadrícula para mejorar aún más la precisión y realiza densificación múltiple en áreas donde la distribución de campo cambia drásticamente.
En los últimos años, el desarrollo de métodos de elementos finitos se ha acelerado, se han logrado nuevos avances en combinación con otras teorías y se han logrado resultados de aplicación considerables, como la generación de cuadrículas adaptativas y campos tridimensionales. soluciones de modelado, problemas de acoplamiento, problemas de dominio abierto, tratamiento de materiales altamente magnéticos y medios con características no lineales de saturación de histéresis, etc. , y algunos trabajos que aún se encuentran en etapa exploratoria, como cuasi-problemas, la aplicación de inteligencia artificial y sistemas expertos en el diseño óptimo de dispositivos electromagnéticos, métodos de elementos finitos basados en bordes, etc. , todos los cuales habilitan el método de elementos finitos.
El método de los momentos discretiza ecuaciones continuas en ecuaciones algebraicas, y es adecuado para resolver tanto ecuaciones diferenciales como ecuaciones integrales. Su proceso de solución es simple, los pasos de la solución están unificados y es fácil de aplicar. Pero requiere algunas habilidades matemáticas, como el grado de discretización, la selección de funciones de base y funciones de peso, y el proceso de solución matricial. Además, cabe señalar que el método de momentos puede lograr la precisión requerida, la parte de análisis es simple y la cantidad de cálculo es grande. Incluso si se utiliza una computadora de alta velocidad y gran capacidad, la tarea de cálculo es grande. muy pesado. El método de momentos se ha utilizado ampliamente en el análisis de antenas y la dispersión electromagnética, y se ha utilizado en radiación de antenas y conjuntos de antenas, dispersión, análisis de microcintas y estructuras con pérdidas, propagación en terrenos irregulares y absorción electromagnética en el cuerpo humano.
FDTD reemplaza la expresión diferencial de la ecuación curl de Maxwell en el dominio del tiempo con una expresión en diferencias finitas y obtiene una expresión en diferencias finitas para los componentes del campo. Se puede modelar en diferentes sistemas de coordenadas para diferentes objetos de investigación, por lo que tiene estas ventajas y es fácil modelar medios complejos. Mediante un análisis y cálculo en el dominio del tiempo, la respuesta de frecuencia dentro de todo el mismo rango de banda de frecuencia se puede obtener utilizando la transformada de Fourier. Se puede distribuir en tiempo real en el sitio para simular con precisión las características de radiación y dispersión de varias fuentes de radiación y dispersores; el tiempo de cálculo es corto; Sin embargo, debido a la limitación de la capacidad de almacenamiento de la computadora, el espacio de la cuadrícula del método de análisis FDTD no se puede aumentar infinitamente, lo que hace que el método FDTD no sea adecuado para medios de gran tamaño y estructura delgada. Dado que el tamaño mínimo de esta estructura fina es mucho más pequeño que la cuadrícula FDTD, si se utiliza una cuadrícula para ajustarse a la estructura fina, el tamaño de la cuadrícula solo se puede reducir, lo que inevitablemente conducirá a un aumento en la capacidad de almacenamiento de la computadora. Por lo tanto, es necesario combinar FDTD con otras tecnologías que actualmente se están desarrollando vigorosamente, como la ecuación integral en el dominio del tiempo/método FDTD, el método FDTD/momento, etc. FDTD tiene una amplia gama de aplicaciones, como radiación de teléfonos móviles, antenas, características de interferencia electromagnética de diferentes estructuras de edificios, líneas microstrip, etc.
La tecnología de rayos complejos tiene las características de un modelo físico simple, un procesamiento matemático conveniente y una alta eficiencia de cálculo. Tiene un importante valor de investigación en campos de aplicación como el análisis de características complejas de dispersión de objetivos. Un método de procesamiento típico consiste en discretizar la onda plana incidente en un campo puntual fuente complejo de un conjunto de haces paralelos. Mediante el trazado de rayos, el cálculo de la intensidad de campo y la superposición de las contribuciones de cada campo de rayos en condiciones específicas, se puede obtener una solución asintótica de alta frecuencia del campo de dispersión en un lugar de observación específico. Actualmente, el método complejo de análisis de rayos se ha utilizado con éxito para analizar las características de dispersión de objetivos típicos, como antenas de aviones y radomos (cabinas de radar), juntas de cuerpos de alas y tomas de aire, placas metálicas revestidas, reflectores de esquina, etc. Aunque el error de cálculo de la tecnología de rayos complejos puede controlarse mediante el ajuste de parámetros, es un método de cálculo aproximado de alta frecuencia que provoca errores de cálculo inevitables debido a la dispersión del campo de ondas incidentes y la introducción de la contribución del punto de silla. En general, el método de rayos complejos todavía tiene ventajas únicas en el campo de la dispersión electromagnética de objetivos, especialmente para el procesamiento de objetivos diversos complejos.
5 Conclusión
Los métodos de cálculo numérico del electromagnetismo son mucho más que los mencionados anteriormente, también están el método del elemento límite, el método de la función de Green, etc. En problemas específicos, debemos usar diferentes métodos en lugar de ceñirnos a estos métodos. También podemos usarlos de manera integral para lograr los mejores resultados.
El cálculo numérico del electromagnetismo es un arte computacional, que abarca muchas disciplinas y es una combinación orgánica de teoría matemática, teoría electromagnética y computadoras. En principio, el espectro de banda ancha desde CC hasta luz entra dentro del ámbito de su investigación.
Para mantenernos al día con el desarrollo de la ciencia y la tecnología mundiales, debemos estudiar vigorosamente los métodos de cálculo paralelo de campos electromagnéticos y expandir continuamente sus campos de aplicación, como la bioelectromagnética, los problemas electromagnéticos positivos y negativos en medios complejos, aplicaciones médicas, teledetección por microondas. aplicaciones, y electromagnética no lineal, caos y bifurcación, microelectrónica y nanoelectrónica, etc.
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Tecnología electrónica moderna