Aplicación del teorema: Dado que el teorema del valor intermedio de funciones continuas tiene una amplia gama de aplicaciones, el teorema del valor intermedio de la función derivada (teorema de Darboux) y el teorema del valor intermedio del cociente de la función derivada ( cuando no se requiere que la función derivada sea continua)) también tiene una amplia gama de aplicaciones. Lo siguiente solo analiza la aplicación del teorema del valor intermedio del cociente de la función derivada a través del problema de pendiente tangente. La forma de representación de una curva plana es una forma paramétrica. Supongamos que la ecuación del parámetro de la curva es x=x(t), t∈[a,b]y=y(t), t∈[a,b]x(t), y(t) es diferenciable en [a,b], y x′(t) está en [a, b] no es cero, entonces cuando x′(t) e y(t) no son necesariamente continuas, la pendiente de la recta tangente de la curva puede tomar cualquier valor entre las pendientes de las rectas tangentes en los dos puntos finales. De hecho, la pendiente de la recta tangente de la curva en cualquier punto es, según la derivada, el teorema del valor intermedio de la función. El cociente puede tomar cualquier valor entre , en lo que respecta a la curva específica, la forma de la función explícita formada puede ser relativamente complicada, lo que no favorece el estudio de sus propiedades.
Además, es fácil para ver usando el teorema de Darboux que si la función f(x) está en [Es diferenciable en [a, b], entonces f′(x) no puede tener el primer tipo de punto de discontinuidad en [a, b].