Supongamos que la suma de los primeros n términos de la secuencia aritmética {an} es Sn, y para cualquier n, pertenece a N. Hay n, an y Sn para formar una secuencia aritmética.

(1) Hay n, an y Sn formando una secuencia aritmética

Sn-an=an-n

Sn=2an-n

Cuando n=1, a1=2a1-1, a1=1

Cuando n=n-1, S(n-1)=2a(n-1)-(n- 1 )

an=Sn-S(n-1)=2an-2a(n-1)

an=2a(n-1) 1

an 1=2[a(n-1) 1]

Entonces {an 1} es una secuencia aritmética, q=2

an 1=(a1 1)*2 ^(n-1)=2^n

an=2^n-1

(2)

Supongamos que bn=n*an=n* 2^n-n

Tn=1 2*2 3*2^2 …… n*2^(n-1)-(1 2 3 …… n)

2Tn= 0 1*2 2*2^2 …… (n-1)*2^(n-1) n*2^n-2*(1 2 3 …… n)

La primera fórmula Resta la segunda fórmula:

-Tn=1 2 2^2 2^3 …… 2^(n-1)-n*2^n (1 2 3 …… n)=(1 - n)*2^n n(n 1)/2

Tn=(n-1)*2^n-n(n 1)/2