Problema de matemáticas del examen de ingreso de posgrado: diagonalización de una matriz simétrica real de orden n

1. Porque los vectores propios después de la ortogonalización de Schmidt no son necesariamente los vectores propios de la matriz original (transformación lineal), es decir, no son necesariamente diagonales bajo la representación de base ortogonal. En el espacio unitario, la condición necesaria y suficiente para que una matriz sea ortogonal y diagonal es que la matriz satisfaga aa* = a*a.

(A* es la *transposición de yugo de A)

2.

Esto debe entenderse desde la perspectiva de la transformación. La matriz elemental de la izquierda se multiplica por la transformación elemental de las filas, que luego se multiplica por la matriz elemental de la derecha. Es la transformación elemental de la "simetría" de la columna. Debido a que la matriz es simétrica, al final debe diagonalizarse. Por ejemplo, si el elemento en la posición (1, 1) de la matriz simétrica no es 0, entonces mediante la transformación elemental de la fila, el primer elemento de la tercera fila se eliminará a 0, y luego, el primero Se eliminará el elemento de la tercera columna. Se eliminará a 0 después de la multiplicación correcta de esta transformación correspondiente a la transpuesta de la matriz.

Esta es la prueba básica. Puede consultar Álgebra avanzada de la Universidad de Fudan de Wu Quanshui.