La derivación del teorema binomial de Newton es la siguiente:
1 Derivación del teorema
El teorema binomial viene dado por (a+b)^2. , (a+b)^3, (a+b)^4 y otras fórmulas de expansión se conjeturan por inducción, y esta inducción se prueba mediante el método de permutación y combinación.
2. El concepto de teorema
El teorema binomial (inglés: binomial theorem), también conocido como teorema binomial de Newton, fue propuesto por Isaac Newton entre 1664 y 1665. Este teorema da la identidad de la suma de dos números elevados a potencias enteras como la suma de términos similares. El teorema del binomio se puede generalizar a cualquier potencia real, es decir, el teorema del binomio generalizado.
3. Una breve historia del desarrollo del teorema
El teorema del binomio se utilizó originalmente para abrir potencias superiores. En China, "Nueve capítulos sobre aritmética", escritos en el siglo I, propusieron los procedimientos generales más antiguos del mundo para la raíz cuadrada y la raíz cúbica de números enteros positivos de varios dígitos. No fue hasta mediados del siglo XI que Jia Xian proporcionó el "diagrama original del método de prescripción" en su "Shisuosuanshu", que satisfacía la necesidad de más de tres prescripciones.
Esta imagen es una tabla de coeficientes binomiales hasta la sexta potencia. Sin embargo, Jia Xian no dio una fórmula general para los coeficientes binomiales, por lo que no pudo establecer un coeficiente binomial para las potencias enteras positivas. teorema. En el siglo XIII, Yang Hui citó esta imagen en su "Explicación detallada del algoritmo de nueve capítulos" y señaló que esta imagen provenía del "Shisuoshu" de Jia Xian.
Las obras de Jia Xian se han perdido, pero las obras de Yang Hui se han transmitido hasta el día de hoy, por lo que esta imagen ahora se llama "el triángulo de Jia Xian" o "el triángulo de Yang Hui". A principios del siglo XIV, Zhu Shijie reprodujo esta imagen en su "Espejo de jade de Siyuan" y añadió dos capas y dos conjuntos de líneas diagonales paralelas.
Luego experimentó un desarrollo hasta 1665, cuando Newton en Inglaterra extendió el teorema del binomio al caso de los exponentes racionales. En el siglo XVIII, Euler de Suiza y Castillon de Italia utilizaron el método de coeficientes indeterminados y el método de "primera diferencia y luego igualdad", respectivamente, para demostrar el teorema del binomio en el caso exponencial real.
4. El significado del teorema
Newton inventó el cálculo basándose en el teorema del binomio como piedra angular. Su aplicación en matemáticas elementales radica principalmente en algunos análisis, estimaciones y pruebas de identidades aproximados.
Este teorema también tiene sus usos en genética. El ámbito de aplicación específico es especular sobre el genotipo y la probabilidad del grupo de descendencia autofecunda, especular sobre el fenotipo y la probabilidad del grupo de descendencia autofecunda y especular. sobre el grupo de descendencia híbrida y probabilidad, analizando el desempeño de los rasgos y la probabilidad de descendencia heterocigótica autocruzada mediante cruce de prueba, infiriendo la distribución de género y la probabilidad de hijos nacidos de parejas, infiriendo la frecuencia del gen o genotipo de la población en equilibrio. etc.