Cuando se utiliza prueba por prueba para probar un problema, se debe utilizar una "contrahipótesis" para el razonamiento; de lo contrario, no será prueba por contradicción. Cuando utilizamos la prueba por contradicción para probar un problema, si solo hay un aspecto de la proposición que queremos probar, podemos simplemente refutar esta situación. Esto también se llama prueba por contradicción. Si la conclusión es multifacética, entonces todas las situaciones negativas deben ser refutadas una por una para deducir la conclusión original. Este método de prueba también se denomina "método exhaustivo".
El ejemplo 1 demuestra que cuando p y q son números impares,? ¿curva? y=? ¿incógnita? 2-2px La abscisa donde 2q intersecta el eje X es un número irracional. (Examen de selección del campamento de verano de la Universidad de Tsinghua 2009)?
¿Análisis del pensamiento?
En la actualidad, no existe un método de juicio directo para explicar el desconocimiento de las ecuaciones cuadráticas, por lo que se utiliza el método de reducción al absurdo.
¿Prueba?
La abscisa del punto de intersección inversa es un número racional. Es decir, la coordenada de abscisa de la intersección es x = uv ((u, v) = 1), entonces ¿uv? 2-2puv 2q=0, ¿cuál es u? 2-2puv 2qv? 2=0, ¿tú? 2=2(puv-qv? 2)① es un número par. Entonces u es un número par.
(u,v)=1,? v es un número impar.
Además, ¿hay v|u de ①? 2, por lo tanto v | u .y (u, v)=? 1,v=1.
¿Supongamos que u=2s, luego 4s? 2-4ps 2q=0, ¿es decir? ¿2s? 2-?2ps q=0, q=2(ps-s?2) es un número par, lo que contradice la paridad de las condiciones conocidas.
Por lo tanto, la hipótesis inversa no es cierta, lo que indica que la conclusión es verdadera.
Es decir, ¿la curva y=x? 2-2px La abscisa donde 2q intersecta el eje X es un número irracional.
¿Revisión de resolución de problemas?
En la teoría de enteros simples, la reducción al absurdo es un método comúnmente utilizado. La principal situación aplicable es cuando no se puede abordar de frente, suponiendo que la conclusión no está establecida, utilizando la hipótesis como condición y finalmente negando la hipótesis derivando una contradicción. En la teoría de enteros simples, muchas contradicciones son pares e impares. Por ejemplo, la prueba por contradicción más clásica demuestra que 2 es un número irracional.
Ejemplo 2 Se sabe que hay 19 números enteros positivos (diferentes) entre 1 y 90. ¿Debe haber tres diferencias iguales? (Concurso Húngaro de Matemáticas de 1990)?
¿Análisis?
Es muy difícil afrontar un problema así de frente. Podemos considerar partir del lado opuesto: no hay tres situaciones iguales, como máximo dos son iguales, entonces ¿qué información se puede obtener? Si se ordenan por tamaño, hay 18 diferencias. Como máximo, dos de estas diferencias son iguales, por lo que hay cierta superposición, por lo que hay al menos 9 números diferentes. Intentamos descubrir dónde hay o hay una contradicción.
¿Prueba?
Supongamos que el número 19 es 1≤a. 1?0,a? 3-b? 2>0,a? 3-b? 3 > 0, entonces g(a?3) > 0, lo cual es contradictorio con g(a?1)=g(a?3). Entonces un? 3≤b? 3. Máx. (a?1,a?2,a?3)≤?Máx. (b? 1, b? 2, b? 3).?
¿Revisión de resolución de problemas?
Los exámenes de competición de matemáticas son una prueba de sabiduría, especialmente de cómo salir de situaciones difíciles. En los concursos de matemáticas, los exámenes de admisión independientes y los exámenes de ingreso a la universidad de hoy en día, inevitablemente aparecerán "nuevos tipos de preguntas", que pueden confundir a los candidatos por un tiempo, hacerles pensar mucho y dejar de resolver problemas. No es una buena idea atacar unilateralmente y a ciegas estas tierras altas estratégicas. Para aprender a atacar desde el flanco, a menudo hay que ser consciente del "desvío estratégico" y abrirse paso desde un determinado punto en el lado o en el lado opuesto.
Newton dijo una vez: “La reductio ad absurdum es una de las mejores armas de un matemático”. En términos generales, los tipos de preguntas comúnmente utilizadas para probar por reductio ad absurdum incluyen: proposiciones cuyas conclusiones aparecen en forma de "forma negativa", "al menos" o "como máximo", "única", "infinita" o de uso; más obvio, específico y simple La conclusión niega la proposición o prueba directamente la proposición difícil, cambia la dirección de su pensamiento y piensa negativamente a partir de la conclusión, el problema se puede resolver fácilmente.
¿Consolidar la formación?
1? Demostrar que si f(f(x)) tiene un punto fijo único, entonces f(x) también tiene un punto fijo único. (Adaptado del examen de admisión independiente de la Universidad de Zhejiang de 2010)
2 ¿Función conocida f(x)=13x? 3-2 veces? 2x3? La imagen de (x∈?r) es la curva c,? Demuestre que no existe una recta y una curva C que sean tangentes a dos puntos diferentes al mismo tiempo.
3 ¿Se sabe que existe un coeficiente integral a? 1,a? 2.…,a? Polinomio f (x) para n = x? ¿n / A? 1xn-1? …¿un-1? xa? n, para cuatro enteros diferentes A, B, C, D, f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=5. Se demuestra que no existe ningún número entero K, f(k)=8. (Nombre de la competencia preliminar de la División de Sichuan 2009)
Supongamos que f(x)=ax? 2 cajas c,? Se sabe que F (1), F (2), F (3), F (4), F (5) son todos números primos. Demostrar: ¿No? Se puede descomponer en el producto de dos coeficientes enteros en forma lineal. (Ronda preliminar del Concurso Provincial de Matemáticas de Fujian 2010)
1 Prueba: ¿Por qué no establecer x? 0 es el único punto fijo de f(f(x)). Es decir, f(f(x?0))=x? 0, de modo que f(x? 0)=t, entonces f(t)=x? 0, entonces, f(f(t))=f(x?0), y f(x?0)=t, es decir, f(f(t))=t, lo que significa que t también es f( f(x )) punto fijo. Si f(f(x)) tiene un punto fijo único, ¿conoces x? 0=t, entonces f(t)=t,? ¿Eso significa que es lo mismo? ¿F(x) no se mueve? Punto, prueba de existencia.
La siguiente prueba es la unicidad. Supongamos que f(x) tiene otro punto fijo T. 0,?Eso significa f(t?0)=t? 0 (t≠t?0), entonces f(f(t?0))=f(t?0)=t? 0, es decir, f(f(x)) también tiene un punto fijo t? 0,?Contradice el título.
¿Revisión de resolución de problemas? Cuando f(x?0)=x? ¿A las 0 en punto? ¿Llamémoslo x? 0 es el punto fijo de la función f(x). Algunos problemas matemáticos se pueden resolver utilizando el principio del punto fijo, que es un tema candente en el examen de admisión independiente.
2?Demostrar que la recta tangente del punto A (x? 1, y? 1) es tangente a los dos puntos de la curva C al mismo tiempo. El otro vértice es B(x? 2, y? 2), x? 1≠x? 2.?
Entonces la ecuación tangente es:? y-13x? 31?-2x? 21?3x1? =?(x?21?-?4x1? 3)(x-x1?),?
Simplificado:? y=(x?21?-4x1? 3)x -23x? 31? ¿veintiuno?. ?
La ecuación tangente de B(x? 2, y? 2) es y=(x? 22?-4x2? 3)x -23x? 32? 22?,?
Debido a que las dos rectas tangentes son la misma recta,
hay:? ¿incógnita? 21?-4x1? 3=x? 22?-4x2? 3,x? 1?x? 2=?4.?
¿-23x otra vez? 31? 21?=-23x? 32? 22?,?
Eso es -23(x1?-x2?)(x?21? x1?x2? x?22?) 2(x1?-x2?)(x1? x2?) =0,?
-13(x? 21? x1? x2? x? 22?) 4=0, cual es x1? (x1? ?x2?) x? 22?-12=0,?
Es decir, (4-x2?)×4 x? 22?-12=0,x? 22?-4x2? 4=0,x? 2=2.?
Pero ¿cuándo x? Cuando 2=2,x? ¿1x? 2=4x? 1=2, ¿diferente de x? 1≠x? 2 contradicción.
Así que no existe una recta y una curva C que sean tangentes a dos puntos al mismo tiempo.
3? Análisis: Tenga en cuenta que a, b, c, d son las raíces del polinomio f(x)-5, por lo que podemos construir un polinomio f(x)-5 y luego demostrarlo usando El teorema factorial y la prueba por contradicción.
Prueba: ¿De lo que se sabe? ¿Debería f(x)-5=(xa)(xb)(xc)(xd)g(x)? donde g(x) es un polinomio de coeficiente entero.
Si existe un número entero k tal que f(k)=8, es decir (k-a)(k-b)(k-c)(k-d)g(k)=3.
Pero el número primo 3 no puede tener más de cuatro factores diferentes, lo cual es una contradicción.
Entonces no existe un número entero k tal que f(k)=8.
3 Inversa f(x)=g(x)h(x),? donde g (x) y h (x) son expresiones lineales con coeficientes enteros.
Entonces f(1)=g(1)h(1), f(2)=g(2)h(2),? f(3)=? g(3)h(3), f(4)=g(4)h(4), f(5)=g(5)h(5),?
Los lados izquierdos de estas cinco ecuaciones son todos números primos, por lo que g (1), g (2), g (3), g (4), g (5), h (1 ), h (2), h (3),? h(4), h(5)? Al menos cinco de ellos son /-1. Dado que g(x) es una expresión lineal con un coeficiente entero, G (1), G (2), G (3), G (4) y G (5) son números diferentes, es decir, como máximo uno es 1, uno es -66. De la misma manera, h(1),? h(2)? , h(3), h(4), h(5), como máximo uno es 1 y el otro es -1, lo cual es una contradicción.
Entonces la hipótesis inversa no se cumple, por lo que se cumple la proposición original.