El método de utilizar directamente la definición de secuencia aritmética o secuencia geométrica para encontrar el término general se denomina método de definición, que es adecuado para problemas de tipos de secuencia conocidos.
Ejemplo 1. La secuencia aritmética es una secuencia creciente. La suma de los primeros n términos es la que se convierte en una serie geométrica. Encuentra la fórmula general de una secuencia.
Dejemos que la tolerancia de la serie se convierta
en una serie geométrica, ,
Es decir, obtenemos
∵,∴…… …… …………①
∵
∴…………②
De ① ②:,
∴
Comentarios: cuando utilice el método de definición para encontrar el término general de una secuencia, preste atención a la definición correcta. Intente encontrar el primer término y la tolerancia (proporción común) primero, y luego escriba el término general.
2. Método de acumulación
Encontrar el término general de una serie en la forma an-an-1=f(n) (f(n) es una serie aritmética o geométrica o otras posibles y series), puedes usar el método de acumulación, es decir, sea n = 2, 3,... n-1 para obtener la expresión n-1 para obtener el término general.
Ejemplo 2. En la secuencia conocida {an}, a1=1 existe para cualquier número natural n, así que encuentre.
Como todos sabemos,
,...,
, ,
La fórmula anterior es acumulativa, use -=
= ,
Comentarios: El método de acumulación obtiene n-1 expresiones usando repetidamente la relación recursiva para obtener el término general. Este método finalmente se convierte en la suma de los primeros n-1 términos de {f (n)}. Preste atención a las habilidades de suma.
En tercer lugar, el método iterativo
Para encontrar el término general de una serie con forma (donde es una constante), se puede resolver de forma iterativa utilizando una relación recursiva.
Ejemplo 3. La secuencia dada {an} satisface a1=1, an+1 = +1, encontrar.
an = 3an-1+1 = 3(3an-2+1)+1 = 32an-2+3 1+1 =…= 3n-1a 1+3n-2 1+3n-3 1+…+3 1+65438
Comentario: Dado que hay una gran cantidad de datos cuando se utiliza el método iterativo para resolver problemas, tenga cuidado al calcular para evitar errores de cálculo que puedan conducir a callejones sin salida.
4. Método de la fórmula
Si se conoce la relación entre la suma de los antecedentes de una secuencia y, el término general de la secuencia se puede resolver con una fórmula.
Ejemplo 4. La suma de los antecedentes de la secuencia conocida satisface. Encuentre la fórmula general de la secuencia;
Después
cuando, hay
...,
Después de la verificación, también se ajusta a la fórmula anterior, entonces
Comentario: cuando use fórmulas para resolver el problema, preste atención a la discusión sobre la clasificación N, pero si se pueden escribir juntas, deben fusionarse.
5. Multiplicación acumulativa
Para el término general de una secuencia con forma, el término general se puede multiplicar por n = 2, 3,... n-1 para obtener n. -1 fórmulas.
Ejemplo 5. En la secuencia conocida, la relación entre la suma del antecedente y la suma es la fórmula para encontrar el término general.
Permitir
Restar dos expresiones para obtener:,
,
Suma las n-1 ecuaciones anteriores Multiplicar para obtener:
Comentario: La multiplicación consiste en utilizar la relación recursiva para multiplicar repetidamente n-1 fórmulas para encontrar el término general. Este método finalmente se convierte en el producto del término n-1 de {f (n)}, así que preste atención a la técnica de multiplicación.
6. Método de discusión para dividir la paridad n
En algunos problemas de secuencia, la paridad de n a veces se discute en categorías para facilitar el procesamiento del problema.
Ejemplo 6. Dada la secuencia {an}, a1=1, anan+1=2, encuentra la fórmula general.
Cuando anan+1=2 y an+1an+2=2 dividen y obtienen =, entonces a1, a3, a5,...a2n-1,...y a2, a4, a6 ,...a2n,...son todos hombres. (2) Cuando n es un número par, la suma de.
Comentario: Otra situación en la que se clasifica y discute la paridad de n es que cuando la pregunta la incluye, dividir n en paridad naturalmente puede llevar a discusión. La discusión sobre clasificación equivale a imponer condiciones y convertir la incertidumbre en certeza. Preste atención a fusionarse cuando finalmente puedan escribir juntos. Este es un nuevo tema candente en los exámenes de ingreso a la universidad en los últimos años, como las 21 preguntas en la provincia de Jiangxi en 2005.
Siete.
Método de transformación
El método de intentar convertir problemas no convencionales en problemas de secuencia familiares para encontrar la fórmula general se llama método de reducción, y también es una idea que debemos tener a la hora de resolver cualquier problema matemático.
Ejemplo 7. Se sabe que la secuencia satisface
Encontrar un
Cuando...
Dividir ambos lados por el mismo número,
Esto es Definitivamente,
∴ es una secuencia aritmética, el primer término es 5 y la tolerancia es 4.
Comentarios: Esta pregunta es un método de reducción típico que utiliza la fórmula general derivada de la secuencia aritmética. Los métodos de reducción comunes incluyen la reducción logarítmica, la reducción de coeficientes indeterminados, etc. Y es un método comúnmente utilizado en el examen de ingreso a la universidad, que se puede resumir en series geométricas o secuencias aritméticas.
8. Método "Inducción-adivinar-probar"
Cuando es difícil resolver o deformar directamente, primero encuentre los primeros elementos de la secuencia, adivine el término general y luego use la inducción matemática, es decir, el método de prueba de inducción.
Ejemplo 8. Si la secuencia satisface: Calcule los valores de A2, A3 y A4, y luego resuma la fórmula de an para probar su conclusión.
∫a2 = 2a 1+3×2 = 2×1+3×2,
a3 = 2(2×1+3×2)+3×21 = 22 ×1+2×3×21,
a4 = 2(22×1+2×3×21)+3×22 = 23×1+3×3×22;
Adivina A = 2n-1+(n-1)×3×2n-2 = 2n-2(3n-1);
Usa la inducción matemática para demostrar:
1 Cuando n=1, A1 = 2-1× = 1, la conclusión es correcta;
2 Si n=k, AK = 2k-2 (3k-1) es correcta.
Cuando n=k+1,
=La conclusión es correcta
De 1 y 2, podemos saber que n∈N* existe.
Comentario: Cuando utilice el método "inducción-adivinar-probar", tenga cuidado de adivinar y no adivinar mal, de lo contrario, todos los esfuerzos anteriores serán en vano cuando utilice la inducción matemática para demostrar, preste atención; Para completar el formato, se debe utilizar la hipótesis inductiva.
9. Método del coeficiente indeterminado (método de construcción)
Para encontrar el término general de una fórmula recursiva, como por ejemplo (p y q son constantes), podemos utilizar el indeterminado. método de coeficiente en una serie conocida, que es equivalente al método de sustitución.
Ejemplo 9. Se sabe que la secuencia {an} satisface a1=1, an+1 = +2.
Establezca, entonces,
Para series geométricas,
,
Comentarios: Encuentre el término general de una sucesión recursiva (p , q es una constante), puede usar el método de iteración o el método de coeficiente indeterminado para construir una nueva secuencia an+1+ =p(an+), o puede usar el método de inducción-adivinar para encontrarla. Pregunta que se ha evaluado muchas veces en el examen de ingreso a la universidad en los últimos años.
Ejemplo 10. La secuencia conocida satisface.
Junta los dos lados para obtener y convertir.
Está bien entonces. Orden,
Sí. La condición se puede transformar en:
La secuencia es el primer término, que es la serie geométrica de la tolerancia.
Porque, entonces=
Obtener =.
Comentario: Cuando la fórmula recursiva es (p, q son ambas constantes), se puede dividir por lo mismo y luego se puede clasificar como (p, q son ambas constantes).
Ejemplo 11. La secuencia conocida satisface el hallazgo de a.
Configuración
Después de la expansión, debes hacerlo.
Deja, deja,
La condición se puede transformar en
Encuentra la serie geométrica de la secuencia usando el primer término y la tolerancia. Utilice el método de acumulación para transformar el problema en un problema de encontrar el término general de una secuencia y encontrar la solución.
Comentarios: Cuando la fórmula de recursividad es (p, q son constantes), se puede suponer que las constantes indeterminadas S y T se calculan mediante, simplificando así el problema conocido anteriormente.