Definición
En un polígono, el punto con la menor suma de distancias a cada vértice se llama punto de Fermat del polígono.
En triángulos planos:
(1). Tres triángulos con ángulos interiores menores a 120, con AB, BC, CA como lados, forman un triángulo equilátero ABC 1, ACB fuera del. triángulo 1. BCA 1, luego conecte AA 1, BB 65438.
(2) Si el ángulo interior del triángulo es mayor o igual a 120 grados, entonces el vértice de este ángulo obtuso es la demanda.
(3) Cuando △ABC es un triángulo equilátero, el centro exterior coincide con el punto de Fermat.
(1) En un triángulo equilátero, BP=PC=PA, BP, PC y PA son las alturas de los tres lados del triángulo y las bisectrices del triángulo respectivamente. es el centro del círculo inscrito y del círculo circunscrito. △BPC≔△CPA≔△PBA .
(2) Cuando BC=BA pero CA≠AB, BP es la altura y la línea media del triángulo CA y la bisectriz del ángulo del triángulo.
Certificado
(1) El ángulo entre el punto Fermat y el lado opuesto es de 120 grados.
△CC1B y △AA1B, BC = ba1, Ba = bc1, ∠ CBC1 = ∠ b+60 grados = ∠ABA1,
△CC1B y △AA1B son triángulos congruentes, Obtener ∠PCB=∠PA1B.
De manera similar, podemos obtener ∠CBP=∠CA1P.
De ∠PA1B+∠CA1P=60 grados, ∠PCB+∠CBP=60 grados, entonces ∠CPB=120 grados.
De manera similar, ∠APB=120 grados, ∠APC=120 grados.
(2)PA+PB+PC=AA1
Gira △BPC 60 grados alrededor del punto B para que coincida con △BDA1, y conecta PD, entonces △PDB es un triángulo equilátero, entonces ∠BPD=60 grados.
Y ∠BPA=120 grados, entonces A, P y D están en la misma línea recta.
Y ∠CPB=∠A1DB=120 grados, ∠PDB=60 grados, ∠PDA1=180 grados, entonces A, P, D, A1 son cuatro.
(3)PA+PB+PC es el más corto.
Tome cualquier punto M en △ABC (no coincidente con el punto P), conecte AM, BM y CM, gire △BMC 60 grados alrededor del punto B para que coincida con △BGA1, conecte AM, GM, A1G (Igual que arriba), entonces AA1
Punto de Fermat del cuadrilátero plano
La prueba del punto de Fermat en el cuadrilátero plano es más simple y fácil de aprender que la prueba del punto de Fermat en el triángulo.
(1) En el cuadrilátero convexo ABCD, el punto de Fermat es la intersección P de las dos diagonales AC y BD.
(2) En el cuadrilátero cóncavo ABCD, el punto de Fermat es el vértice cóncavo D(P). Nada mal. Soy MC Zheng,