Teorema de Pitágoras Matemáticas Parte 1 El pensamiento matemático es la esencia del conocimiento matemático y un puente que transforma el conocimiento en habilidades. El uso flexible de ideas matemáticas puede mejorar eficazmente la capacidad de analizar y resolver problemas y mejorar la conciencia de aplicar el conocimiento matemático. En este capítulo del Teorema de Pitágoras, hay muchas ideas matemáticas importantes, que se presentan a continuación con ejemplos.
Primero, el concepto de ecuaciones
En figuras con triángulos rectángulos, se suele utilizar el teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de un segmento de recta. Si el teorema de Pitágoras no se puede utilizar directamente para el cálculo, es necesario resolverlo mediante una serie de ecuaciones.
En segundo lugar, la idea de conversión
La idea de conversión es utilizar un determinado método o enfoque para cambiar la forma del problema que debe resolverse a otra. problema que ha sido resuelto o puede resolverse fácilmente, resolviendo así el problema original.
Ejemplo 3 Como se muestra en la Figura 3, el cuboide mide 15 cm de largo, 10 cm de ancho y 20 cm de alto. La distancia entre el punto B y el punto C es de 5 cm. Si un caracol quiere arrastrarse del punto A al punto B a lo largo de la superficie de un cuboide, ¿cuál es la distancia más corta para gatear?
Análisis: debido a que el caracol se arrastra a lo largo de la superficie del cuboide, es necesario expandir el cuboide hasta convertirlo en una figura plana. Según el segmento de línea más corto entre dos puntos, existen dos posibilidades para que el caracol se arrastre una distancia más corta, como se muestra en las Figuras 4 y 5. Es fácil encontrar la longitud de AB en las dos figuras usando el teorema de Pitágoras. Después de la comparación, se puede encontrar que la distancia más corta que recorre un caracol es 25 cm.
Nota: Aquí, mediante la expansión de un cuboide, la figura tridimensional se convierte en una figura plana, y el problema del camino más corto para que un caracol se arrastre se reduce al problema de utilizar el Teorema de Pitágoras para encontrar la distancia entre dos puntos.
El ejemplo 4 se muestra en la Figura 6, el cual es un cuadrilátero de pasto ABCD, ¿dónde? A = 60O,? B=? D = 90O, AB = 20 m, CD = 10 m, encuentre las longitudes de AD y BC (con una precisión de 0,1 m,? 1,732).
(Examen de ingreso a la escuela secundaria de Tianjin de 2004)
Análisis: ¿Qué debo hacer si no hay un triángulo rectángulo en la imagen? Entonces, ¿imagina un triángulo rectángulo con ángulos de 30° que se extienden desde la intersección de AD y BC en el punto E? E = 30O, AE = 2AB = 40m, CE = 2CD = 20m. Según el teorema de Pitágoras, DE == m, BE == m, entonces AD = 40?22,7 m, BC = 20?14,6 metros.
Descripción: Este problema aprovecha al máximo las características de los gráficos conocidos y transforma inteligentemente el problema del cuadrilátero en un problema de triángulo rectángulo mediante la construcción de un nuevo gráfico.
En tercer lugar, la combinación de números y formas
La combinación de números y formas es captar la relación esencial entre números y formas y combinar el lenguaje matemático abstracto con gráficos intuitivos. ¿Usar formularios para ayudar a los números? ¿aún? ¿Usar números para resolver formas? Simplificar problemas complejos y concretar problemas abstractos, para lograr el propósito de resolver problemas rápidamente.
Ejemplo 5 Hay dos monos en un árbol de 10m de altura. Uno de ellos bajó del árbol y fue directo al estanque a 20 m del árbol, y el otro trepó a la copa del árbol y fue directo al estanque. Si dos monos recorren la misma distancia ¿qué altura tiene el árbol? (Ciudad de Longyan, provincia de Fujian, 2005)
Análisis: Dibuje el cuadro 7 según el significado de la pregunta D es la copa del árbol, AB = 10 m, C es el estanque, AC = 20 m. Supongamos que BD = (m), entonces la altura del árbol es AD = (10)m) m. Debido a que AC AB = BD DC, DC = (30) m, podemos obtener la ecuación 202 (10). 2 = (30 )2, la solución es = 5, entonces 10 = 15, es decir, la altura del árbol es 15m.
Explicación: El teorema de Pitágoras en sí es un modelo de combinación de números y formas, de modo que ¿un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto? ¿forma? Características, ¿tres lados? ¿Contar? La clave para resolver problemas prácticos utilizando el teorema de Pitágoras es convertir el problema real en un modelo de triángulo rectángulo mediante la combinación de números y formas, y luego usar ecuaciones para resolverlo.
Cuarto, la idea de discusión de clasificación
En el proceso de resolución de problemas, cuando las condiciones o conclusiones son inciertas o no únicas, a menudo ocurren varias situaciones posibles, lo que requiere Clasificar problemas de acuerdo con ciertos estándares y luego resolverlos por separado para diferentes situaciones. Finalmente, se combinan varios resultados para llegar a una conclusión sobre todo el tema. Las discusiones sobre clasificación son esencialmente una. ¿Dividir el todo en partes, una por una, y luego sumarlas para formar el todo? métodos matemáticos.
Ejemplo 6 Si los dos lados del triángulo rectángulo miden 3 cm y 4 cm respectivamente, entonces la longitud del tercer lado es _ _ _ _ _.
Análisis: En esta pregunta se sabe que ambos lados del triángulo rectángulo son largos, pero no se especifica si es el lado derecho o la hipotenusa. Por tanto, necesitamos clasificar y discutir si la respuesta es 5cm o cm.
¿Ejemplo 7? ¿Escuela secundaria Shuguang? Hay un macizo de flores triangular ABC, que ahora se puede medir directamente. A = 30O, AC = 40, BC = 25. Encuentre el área de este macizo de flores.
Análisis: Debido a que la pregunta no nos dice claramente la forma de △ABC, necesitamos discutirla en dos situaciones.
En la Figura 8, S△ABC = 10(20 15) m2
En la Figura 9, S△ABC = 10(2015) m2.
Nota: Como no hay números en las preguntas, dichas preguntas a menudo deben discutirse en categorías y es fácil perder la respuesta debido a la falta de consideración. Espero que los estudiantes lo entiendan cuidadosamente.
5. Idea general
Para algunos problemas matemáticos, es difícil resolverlos siguiendo las reglas antiguas y comenzando desde la parte local si piensas en una parte determinada; varias partes del problema en su conjunto, puedes abrir tu mente y responder preguntas rápidamente.
Ejemplo 8 Se sabe que el perímetro de un triángulo rectángulo es de 30cm y la longitud de la hipotenusa es de 13cm Entonces el área de este triángulo es _ _ _ _ _.
Análisis: Supongamos que la longitud de los dos lados rectángulos de este triángulo rectángulo es , y la hipotenusa es , entonces = 3013 = 17, entonces ( ) 2 = 2 2 = 172 = 289, de la Teorema de Pitágoras Eso es 65438.
Nota: Lo que requerimos es el área, es decir, no necesitamos encontrar el valor de la suma por separado, solo encontrarlo en su conjunto.
Ejemplo 9: Como se muestra en la Figura 10, se colocan siete cuadrados en línea recta. Se sabe que las áreas de tres cuadrados colocados en diagonal son 1, 2, 3, y las áreas de cuatro cuadrados colocados en secuencia son S1, S2, S3, S4, entonces S1 S2 S3 S4 = _ _.
Análisis: Según las condiciones conocidas, AC = EC,? ABC=? CDE = 90O, ¿es fácil demostrarlo usando la complementariedad de los ángulos? ACB=? CED, entonces podemos obtener △ABC≔△CDE, entonces BC = ED. En Rt△ABC, AC2 = AB2 BC2 = AB2 DE2 se puede obtener mediante el teorema de Pitágoras. De S1 = AB2, S2 = DE2, AC2 = 1, hay s
Nota: esta pregunta no resuelve directamente S1, S2, S3, S4, pero utiliza el teorema de Pitágoras para resolver S1 S2, S3 S4, que incorpora Demostrar la aplicación flexible del pensamiento general en la resolución de problemas.
Teorema de Pitágoras Matemáticas Parte 2 Los métodos de pensamiento matemático se basan en contenidos matemáticos específicos como soporte, y son ideas rectoras y métodos de aplicación universal que son superiores al contenido matemático específico. Puede permitir a las personas comprender el verdadero significado de las matemáticas y desempeñar un papel de guía y regulación en las actividades de pensamiento de las personas para aprender y aplicar conocimientos matemáticos para resolver problemas. El educador matemático japonés Yoneyama Konzo cree que si los estudiantes no tienen la oportunidad de aplicar las matemáticas después de ingresar a la sociedad, entonces las matemáticas como conocimiento generalmente se olvidarán uno o dos años después de dejar la escuela. Sin embargo, no importa en qué industria se dediquen, el espíritu matemático y los métodos de pensamiento matemático grabados en sus mentes desempeñarán un papel importante en sus vidas y trabajos durante mucho tiempo. El uso flexible de métodos de pensamiento matemático para resolver problemas a menudo puede convertir las dificultades en facilidad, convertir el deterioro en magia y obtener el doble de resultado con la mitad de esfuerzo. A continuación se muestra un ejemplo de las ideas matemáticas que impregnan el teorema de Pitágoras.
Primero, la idea de clasificación
Ejemplo 1.
(2013 Prefectura de Guizhou Qianxinan) Si los dos lados de un triángulo rectángulo son 3 y 4 respectivamente, entonces la longitud del tercer lado es ().
Comentarios: ¿Cuáles son los errores comunes en esta pregunta? ¿Enganchar tres hilos, cuatro hilos y cinco? Como resultado, el lado con una longitud de lado de 4 se consideró directamente como un lado en ángulo recto, eligiendo así A incorrectamente y cometiendo el error de no considerar completamente el problema.
En segundo lugar, la idea de ecuaciones
Ejemplo 2. (Jinan, Shandong 2013) Como se muestra en la Figura 1, Liang Xiao tiró de la cuerda para izar la bandera hasta la parte inferior del mástil. El extremo de la cuerda apenas tocó el suelo y luego tiró del extremo de la cuerda hasta una posición de 8 m de distancia. desde el asta de la bandera. Se encuentra que el extremo de la cuerda está a 2 m del suelo en este momento, entonces la altura del mástil de la bandera (se ignora la parte sobre la polea) es ().
a . 12mb . 13mc . 16md 17m
Observa el gráfico cuando se tira del extremo de la cuerda a una posición a 8 m del asta de la bandera. Dibuje una línea a través del extremo de la cuerda hasta el asta de la bandera para obtener un triángulo rectángulo, luego establezca la altura del asta de la bandera en un número desconocido y use el teorema de Pitágoras para resolver la ecuación.
Solución: Como se muestra en la Figura 2, si la altura del asta de la bandera es X, entonces AC=AD=x, AB=x-2, BC=8.
En Rt△ABC, (x-2)2 82=x2 se obtiene del teorema de Pitágoras.
La solución es x=17m, es decir, la altura del asta de la bandera es 17m, y la respuesta es d.
En tercer lugar, la idea general
Ejemplo 3. (Jiangsu Yangzhou, 2013) Si la diferencia entre dos lados adyacentes de un rectángulo es 2 y la longitud de la diagonal es 4, entonces el área del rectángulo es _ _ _ _ _ _ _ _.
Análisis: Supongamos que los dos lados adyacentes del rectángulo son a y b (a>; b), entonces, según el significado de la pregunta, a-b=2, a2 b2=16. El área del rectángulo es igual a ab. La clave es encontrar una manera de convertir las dos ecuaciones en una fórmula que contenga ab.
Solución: Supongamos que los dos lados adyacentes del rectángulo son a y b (a >; b), entonces a-b=2.
En quinto lugar, la idea de combinar números y formas
Ejemplo 5. (Zhangjiajie, Hunan 2013) Como se muestra en la Figura 4, en el sistema de coordenadas plano rectangular, las coordenadas de los vértices A y C del OABC rectangular son (10, 0) y (0, 4) respectivamente, el punto D es el punto medio de OA , y el punto P se mueve hacia BC. Cuando △ODP es un triángulo isósceles con una longitud de cintura de 5, las coordenadas del punto P son.
Análisis: Es fácil saber que OD=5. Para hacer de △ODP un triángulo isósceles con una longitud de cintura de 5, puedes hacer un círculo con el punto O como centro y OD como radio; también puedes hacer un círculo con el punto D como centro y el punto OD como radio;
Solución: De C (10, 0), OD=5.
(1) Tomando el punto O como centro del círculo y OD como radio, haz un círculo para intersecar.
Ejemplo 6 de pensamiento sobre la estructura verbal intransitiva. Mismo ejemplo 3
Análisis: basado en las condiciones conocidas y combinado con el diagrama de cuerdas para demostrar el teorema de Pitágoras, este ejemplo tiene la siguiente solución inteligente.
Teorema de Pitágoras en Matemáticas, Parte 3 El pensamiento matemático correcto es la clave para resolver problemas con éxito. Al utilizar el teorema de Pitágoras para resolver problemas, si puedes comprender correctamente el pensamiento matemático, puedes ampliar tus ideas y hacer que el método sea simple y rápido. A continuación se presentan algunas ideas matemáticas que se utilizan a menudo en la aplicación del teorema de Pitágoras para su referencia.
Primero que nada, el concepto de ecuaciones
◆Ejemplo 1 Como se muestra en la Figura 1, hay una hoja de papel con un triángulo rectángulo, sus dos lados rectángulos AC= 6 cm, BC = 8 cm. Ahora el lado rectángulo AC se dobla a lo largo de la línea recta AD de modo que caiga sobre la hipotenusa AB, y el punto C caiga sobre el punto E, entonces CD es igual a ().
A.2cm centímetro A.2cm centímetro A.2cm centímetro A.2cm centímetro
Análisis: Desde la perspectiva de la pregunta, ¿ACD y? El DEA es simétrico con respecto a la publicidad lineal, ¿entonces existe? ¿ACD? DEA. Además, AE=AC=6cm, CD=ED, DE? AB. ¿Supongamos entonces que CD=ED=xcm? En DEB, DE2 BE2=BD2 se puede obtener a partir del teorema de Pitágoras. En ABC, AB2=AC2 BC2=62 82=100, AB=10.
Entonces tenemos x2 (10- 6) 2=(8- x)2, y la solución es x=3. Entonces elegimos b.
En segundo lugar, cambiamos el concepto
El ejemplo 2 se muestra en la Figura 2. La altura del cuboide es de 3 cm, la base es cuadrada y la longitud del lado es 2 cm. Actualmente, un insecto parte de A, se arrastra por la superficie del cuboide y alcanza c. ¿Cuál es la distancia más corta que puede recorrer el insecto?
Análisis: Para encontrar la distancia más corta en una superficie geométrica, generalmente se puede expandir la superficie geométrica y convertir la figura tridimensional en una figura plana. Para este problema, puedes doblar la superficie derecha del cuboide hacia la superficie frontal, de modo que los puntos A y C sean * * * planos, y la longitud del segmento de línea AC sea la distancia más corta (Figura 3). Según el teorema de Pitágoras, AC2=32 42=52, que es la distancia más corta recorrida por el insecto.
En tercer lugar, la idea de discusión sobre clasificación
◆¿Dónde está el ejemplo 3? En ABC, AB=15, AC=20, altura del lado BC=12. Intenta encontrar la longitud de BC.
Análisis: La altura de un lado de un triángulo puede estar dentro del triángulo o fuera del triángulo, por lo que el problema debe plantearse en dos situaciones. ¿Cuándo es el AD alto del lado BC? El tiempo interno de ABC se muestra en la Figura 4. Del teorema de Pitágoras, BD2=AB2-AD2, BD = 9; CD2=AC2-AD2 y CD=16, entonces BC = BD CD = 9 16 = 25; ¿La gran publicidad de BC allí? El tiempo externo de ABC, como se muestra en la Figura 5, también se puede obtener a partir del teorema de Pitágoras CD=16, BD=9. En este momento BC=CD-BD=16-9=7, entonces la longitud de BC es 25 o 7.
Cuarto, la combinación de números y formas