1. Hacer preguntas
Los escalones y escaleras son muy comunes en nuestra vida diaria y debemos caminarlos todos los días. Un buen diseño de escalones no sólo puede ahorrar tiempo al subir las escaleras, sino también minimizar el esfuerzo físico. Sin embargo, un diseño irrazonable hará que la gente suba las escaleras en un proceso que llevará mucho tiempo, será laborioso e incluso peligroso. Entonces no podemos evitar preguntarnos, ¿cómo diseñar la relación de aspecto de los pasos para lograr el mejor resultado? (A continuación se analiza principalmente el proceso de subir las escaleras y, finalmente, se analiza el proceso de bajar las escaleras).
Como primer paso para resolver el problema, primero probaremos la existencia de este diseño óptimo. Las dos imágenes siguientes muestran dos tipos diferentes de pasos.
Cuando la altura total, el ancho de los escalones y el consumo físico permanecen sin cambios, la altura h de los escalones es lo suficientemente pequeña, entonces el número de escalones será lo suficientemente grande y el tiempo final t para subir las escaleras tiende a infinidad. Así que no subiremos las escaleras. Si H se hace lo suficientemente grande y la capacidad de movimiento de las piernas humanas es limitada, entonces el aumento en el trabajo de cada paso conducirá inevitablemente a la acumulación y aumento del tiempo de ascenso, lo cual también es inaceptable para nosotros. Debido a los continuos cambios de varios estados, podemos sacar la conclusión de que existe una H tal que T es el valor mínimo. De manera similar, cuando el tamaño del paso r es pequeño, la gente no puede quedarse quieta. Cuando R es lo suficientemente grande, el tiempo t tiende a infinito. Por tanto, tenemos todas las razones para creer que existen r y h óptimos. El análisis aquí se basa únicamente en el conocimiento perceptivo y la intuición geométrica. A continuación, daremos una respuesta lo más razonable posible desde una perspectiva matemática.
Dos. Análisis de problemas
Representación de símbolos:
m masa del cuerpo humano
aceleración de la gravedad
l longitud de la pantorrilla humana
V Velocidad normal al caminar de una persona
Fuerza de las piernas al subir escaleras
Altura total de las escaleras
h altura del escalón
r escalón longitud
pLa potencia de salida más cómoda cuando el cuerpo humano sube escaleras a una altura h.
cLos pies humanos son largos.
Para analizar este problema cuidadosa y exhaustivamente, podemos descomponer todo el proceso de subida de las personas y establecer cada paso de subida como una unidad, luego podemos dibujar el boceto del proceso del movimiento humano. Teniendo en cuenta que subir las escaleras es un proceso dinámico humano muy complejo, para captar la principal contradicción y simplificar el problema, serán necesarias algunas suposiciones artificiales.
Supuestos del modelo: 1. La parte delantera del pie toca el punto B en cada paso.
2. Todo el peso de una persona puede considerarse como una partícula y concentrarse en O (equivalente a concentrarse en N), y otras partes no tienen peso.
3. Camine la misma distancia (ancho de paso) con cada paso y siga avanzando.
4. La fuerza ascendente del cuerpo humano proviene de la fuerza F de la pierna de apoyo, que está relacionada con H. El tamaño de F es constante y siempre mantiene la dirección ON cuando H está fijo.
5. El trabajo realizado en el proceso de subir escaleras es solo en la sección DN. La gente siempre sube con la llamada sensación más cómoda (P permanece sin cambios).
6. La longitud del paso es mayor o igual a los pies.
Descomposición del movimiento: Subir escaleras se puede considerar como dos procesos de movimiento.
1. (De M a N) Si una persona quiere subir los escalones, inclinarse hacia adelante será el primer paso. Después de todo, la gente está avanzando. Para aplicar fuerza en el punto D, es razonable mover el punto M al punto N. Y este proceso es muy cercano al estado de una persona que camina sobre un terreno plano (aquí, todos son tratados por igual, la velocidad es V y la dirección de V es aproximadamente horizontal). Para simplificar el cálculo, el trabajo realizado en esta sección se puede hacer tan pequeño que se puede ignorar (debido a que nuestro principal conflicto es subir las escaleras, el cambio en el trabajo realizado en esta sección también equivale a la diferencia entre caminar 5 metros y 10 metros en terreno plano. Es muy pequeño a los ojos de la gente normal)
2 (N puntos se mantienen verticales y vuelven al estado inicial) El trabajo realizado en este proceso es la contribución de F (la flexión de las piernas aquí es muy similar al empuje del lanzamiento de peso en clase) El proceso de liberación de la pelota en el modelo se puede ver aproximadamente como una relación lineal porque el conflicto principal en ese momento es la velocidad inicial de la pelota. , la atención se centra en este momento en el proceso de pandeo, por lo que la hipótesis es naturalmente diferente del mecanismo del modelo). Luego, basándonos en el conocimiento aprendido en la clase de biología, podemos saber que el movimiento de las piernas humanas depende de la expansión y contracción de las células musculares (la dirección de expansión y contracción solo puede ser en la dirección de la pierna), por lo que todos los músculos pueden Puede considerarse como una fuerza, la dirección siempre es a lo largo de la dirección del cateto y el tamaño permanece sin cambios (en realidad, f cambia con el ángulo y se puede establecer como una constante para simplificar el problema).
Considerando que el trabajo realizado cuando una persona se eleva en el proceso de 2 pasos en realidad se realiza mediante una fuerza no conservativa (no w=mgh), entonces cuando subimos la misma altura de 2 metros, el trabajo que debemos realizar en los 10- Los procesos de pasos y 2 pasos son muy simples e intuitivos. La razón fundamental de esta diferencia es el ángulo entre la capacidad de carga de la pierna y la dirección de la fuerza (es decir, cuanto más alto es el paso, más trabajo extra tenemos que hacer). Por tanto, para medir el concepto de "trabajo de piernas" desde una perspectiva matemática, será necesario el supuesto 4. En segundo lugar, necesitamos medir los dos conceptos de "comodidad" y "fatiga". Por lo general, la razón principal de nuestra fatiga en distancias cortas es en realidad que la intensidad del ejercicio de las piernas es demasiado alta, es decir, la potencia P es demasiado alta. Esto permite medir el "comodidad".
Tres. Obtener datos
Cálculo de la velocidad al caminar cinco: En primer lugar, la llamada "velocidad normal" es un concepto vago, pero existe objetivamente. Para obtener la velocidad normal de marcha de las personas tanto como sea posible y exigir que el error sea lo más pequeño posible, aquí se utilizan múltiples mediciones. Necesitas hacer tus propios experimentos. El piso cerca de la entrada de la casa está pavimentado con ladrillos cuadrados, cada ladrillo es cuadrado con una longitud de lado de 0,48 metros. Esto facilita la medición de distancias. Caminar a velocidad normal con la máxima capacidad de autocontrol. Se estipula que cuando se hayan pasado cinco ladrillos se registrará el tiempo y se pondrá el punto como distancia cero (para eliminar el segmento de aceleración). Finalmente, se obtuvieron 11 conjuntos de datos.
Distancia (metros) tiempo (segundos)
1 2,4 2,03
2 2,88 2,42
3 3,36 2,78
4 3,84 3,22
5 4,32 3,57
6 4,8 3,97
7 5,28 4,47
8 5,76 4,81
9 6.24 5.19
10 6.72 5.53
11 7.2 6.05
La siguiente figura se obtiene ajustando en matlab. El polinomio lineal es y = 0,012909+0,83186 x, por lo que la velocidad normal al caminar es 1,202 m/s.
El peso es de 53 kg, la longitud de la pantorrilla es de 0,47 m y la longitud del pie es de 0,26 m, todo lo cual se puede medir con precisión. Sólo se desconoce la potencia p, pero como suponemos que su tamaño es constante, se puede resolver inversamente según la relación en soluciones modelo posteriores.
Cuatro. El establecimiento del modelo
Supongamos que el número total de pasos es (si hay una puntuación, se puede considerar aproximadamente como el número de veces tomadas en cada corto tiempo). Este error se puede ignorar)
Supongamos que el tiempo del proceso 1 es, el tiempo total de sustituir la relación en el proceso 1 disponible es
El tiempo total del proceso dos es
donde Las funciones son h, l, f y p ya que suponemos que los puntos myn tienen aproximadamente la misma altura. Entonces es una función independiente de x. Si el tiempo total
es mínimo, x debe ser mínimo. Entonces está disponible. Llegamos a la conclusión de que el ancho del escalón debe diseñarse de manera que se acerque al ancho del pie. A partir de esto, obtenemos la figura a siguiente, en base a la cual analizamos los cambios en H.
Porque primero asumimos que el tamaño de f es constante. Si F puede impulsar al cuerpo humano a moverse hacia arriba, Fy debe ser al menos igual a mg, por lo que lo tomamos con el menor esfuerzo. En este punto hemos descompuesto F. Por lo tanto, en el proceso de pasar del punto N al punto S, el trabajo requerido por F solo necesita calcularse por separado para Fx Fy.
Analizamos cuidadosamente el proceso de movimiento y lo ampliamos a la imagen B.
Trabajando en la dirección Fy cuando la altura del escalón es h: Sea la longitud de NNm la variable M, cuando Nm se mueve de n a s cambia de 0 a h. p>Análisis diferencial aprobado, cuando m cambia △m,
donde S(△m) es la distancia de movimiento vertical de Om.
Integral de m
2. Cuando la altura del escalón es h, trabajando en la dirección Fx:
Análisis de elementos diferenciales, sumando △m, obtenemos
Dividimos △m entre ambos lados de modo que △m→0. Por lo tanto
donde S(m) es la longitud de PmOm. Integral sobre m
Porque asumimos que F es función de H (cuando H es constante). Entonces, tomando
En resumen, el tiempo total que tardamos en subir las escaleras
Determinemos el valor mínimo de t a partir de esta fórmula y pongamos el parámetro
p por determinar.
Los cálculos anteriores se pueden completar utilizando arce. El proceso de cálculo es el siguiente
t:= m-& gt;sqrt(0.47^2-((2*0.47-h+m)/2)^2);
diff( t(m), m);
e:= m-& gt;-sqrt(0.47^2-((2*0.47-h+m)/2)^2)* 1/2 /(.2209-(.4700000000-1/2*h+1/2*m)^2)^(1/2)*(-.4700000001/2*h-1/2*m )/0.47 ;
int(e(m), m=0..h);
wy:= h-& gt; 2)/ (4*0,47);
f:= h-& gt (2 * 0,47 * 53 * 9,8)/(2 * 0,47-h);
wx := h -& gt;& gt.4999999999*h-.2659574468*h^2
Así, encontramos que WX y WY hacen básicamente el mismo trabajo. Entonces, al final, el tiempo total se expresa como
& gtf:= h-& gt;h*(1.2*(2*0.47*53*9.8)/(2*0.47-h)* (.4999999999* h-.2659574468*h^2+.5*h-.2659574468*h^2)+0.26*p)/(h*p*1.2);
Y según el En los resultados anteriores, podemos observar la relación entre el trabajo realizado por las piernas humanas (Wx(h)+Wy(h)) y el trabajo efectivo real Mgh.
El diagrama de proceso del sistema cambia con h.
La línea roja es el trabajo total realizado por las piernas humanas, y la línea amarilla es el trabajo efectivo Mgh. Este cambio también coincide con cómo nos sentimos. Por ejemplo, a medida que aumenta H, nos sentiremos cada vez más agotadores al subir los escalones. Cuanto mayor sea H, más obvio será este cambio.
Luego, realiza varias series de experimentos para determinar el valor aproximado de p, elige diferentes escaleras, camina de abajo hacia arriba a una velocidad normal (sin sentirte cansado) y registra el tiempo transcurrido. Calcule p de acuerdo con los supuestos y la fórmula anterior y obtenga la siguiente tabla.
Número de pasos n altura del paso h altura total h tiempo t potencia p
1 20 0,17 3,4 18,11 142,34
2 18 0,15 2,7 14,83 140,49
3 25 0,14 3,5 18,92 133,09
4 16 0,18 2,88 15,06 144,31
5 20 0,16 3,2 16,87 146,18
6 22 0,17 3,74 18,87 2 .94
7 20 0,15 3 15,79 148,92
8 18 0,16 2,88 14,91 149,79
9 16 0,17 2,72 15,10 134,85
La práctica ha demostrado que P sigue al total. Los cambios en H alto y H no son significativos, lo que indica que nuestras suposiciones anteriores son básicamente razonables. Aquí el promedio de 9 mediciones se toma como P, por lo que obtenemos P=143,66.
Analizamos t en el primer caso. Tome H=3,4.
& gtf:= h-& gt;3.4*(1.2*(2*0.47*53*9.8)/(2*0.47-h)*(.4999999999*h-.2659574468*h^ 2+.5*h-.2659574468*h^2)+0.26*143.65)/(h*143.65*1.2);
plot(f(h), h=0.1..0.5);
En la imagen observamos que existe tal H, y el tiempo total es el mínimo, es decir, dado el tiempo para subir las escaleras durante una determinada H, podemos calcular el tiempo mínimo. para H con esta potencia p. La altura de tiempo ideal, en la figura anterior, el tiempo para reducir de 0,19 a 0,24 metros es de aproximadamente 0,2 segundos. La optimización de este tiempo es tan pequeña (0,2 segundos) que puede ignorarse (. puede considerarse aproximadamente como una constante). El período de rápida reducción del tiempo es de 0,1 a 0,19. Entonces, para mantener la fuerza en la pierna lo más pequeña posible, también podríamos establecer H en 0,19 metros.
Entonces tenemos que preguntarnos, ¿qué tan confiable es este modelo? Dado que v P se mide de forma aproximada, analizamos la sensibilidad de estos dos parámetros.
plot3d(f(h, v), h=0.1..0.5, v=1.1..1.3, eje=en caja);
plot3d(f(h, p ) , h=0.1..0.5, p=140..154, axis=boxed);
Como se puede ver en los gráficos tridimensionales, el modelo es relativamente confiable. El método de análisis de sensibilidad utilizado por el profesor en clase no se utiliza aquí, porque solo quiero mostrar visualmente la dependencia continua de la solución de los parámetros. Usar sólo datos discretos puede parecer poco intuitivo.
Hasta ahora, después del cálculo, mi mejor altura de escalón debería ser de aproximadamente 0,19 metros, es decir, esta altura puede utilizar total y efectivamente mi fuerza normal, de modo que el tiempo total para subir las escaleras sea el más corto. Sí, no te sentirás cansado aunque superes el límite.
Por cierto, déjame explicarte el proceso de bajar las escaleras. En una distancia corta, el proceso de bajar las escaleras puede considerarse aproximadamente como un proceso en el que las piernas no realizan ningún trabajo y el trabajo se completa completamente por gravedad. Dado que la gravedad es una fuerza conservativa, el tiempo para bajar las escaleras debe ser aproximadamente independiente de H. Pero, ¿por qué bajar las escaleras durante largos periodos de tiempo nos hace sentir cansados? La razón puede ser la amortiguación al bajar las escaleras. Después de todo, las personas son diferentes a los bloques y bolas de madera. Caer demasiado rápido causará molestias en las piernas y el cuerpo, por lo que las piernas siempre tienen que trabajar un poco para que caigan lentamente y aterricen suavemente.
Aquí presento la variable de tiempo de amortiguación, donde T es el tiempo total real para bajar las escaleras, L es el ancho del escalón y V es la velocidad de caminata horizontal. Obviamente, es la suma de los tiempos de almacenamiento en búfer (retraso). Para la mayoría de las personas normales, durante una corta distancia abajo, dentro del rango normal de H (el rango calculado anteriormente), se puede considerar aproximadamente como 0. Entonces sólo podremos discutir el proceso de subir las escaleras. Sin embargo, ¿podrá alguna vez ignorarse? La respuesta es obviamente no. Por ejemplo, cuando H es grande, es una función de H y H (no se puede ignorar la influencia de H en algunos grupos especiales, como los ancianos y los discapacitados, por lo que el proceso). La posibilidad de bajar las escaleras debe considerarse por separado.
Prueba del modelo de verbo (abreviatura de verbo)
Debido a la particularidad de los datos anteriores, el modelo es demasiado especializado. Después de todo, no camino solo. Pero soy una persona normal, e incluso teniendo en cuenta las incertidumbres de los parámetros de muchas personas, los cambios no serán demasiado grandes.
Según la encuesta, todos los escalones del campus varían entre 0,16 y 0,2 m, desde el escalón más bajo frente al Edificio de Ciencia y Tecnología hasta el escalón más alto frente a la Cuarta Cantina. El ancho es aproximadamente el mismo que el largo del pie, lo que indica que la conclusión del modelo es apenas aceptable (aunque no tan precisa). Esto equivale a probar el modelo hasta cierto punto (porque la altura de los escalones se puede ajustar adecuadamente según la práctica, y no deben existir alturas inapropiadas ni modificarse o mejorarse en la próxima construcción).
Para obtener más información, puede consultar las disposiciones pertinentes del "Código de diseño de edificios" GB 50096-1999, que entró en vigor el 1 de junio de 1999: "El ancho de los escalones de las escaleras no debe ser inferior a 0,26 m, la altura de los escalones no debe ser superior a 0,175 m y la pendiente es 33,94, que se acerca al estándar de comodidad "0,26 debe ser la longitud del pie y 0,175 es la altura óptima. (Este resultado puede ser el resultado de mecánicos y estadísticos relevantes, y debería ser información más autorizada).
Análisis de errores: a través de la inspección anterior, se puede ver que los resultados calculados son de hecho diferentes de los reales. unos. H es demasiado grande.
Las razones de esta desviación son las siguientes.
(1) Diferencias en el peso humano
(2) Diferencias en altura y longitud de las piernas
(3) Diferencias en la longitud del pie humano
(4) Velocidad de inclinación hacia adelante (aquí se toma como velocidad al caminar, pero el primer proceso es solo el proceso de inclinación hacia adelante, su velocidad debe ser mayor que la velocidad al caminar y no es fácil de medir, por lo que el error debe ser inevitable )
(5) La función de f que cambia con el movimiento de la pierna no se conoce con precisión (implicará una dinámica humana compleja. Debido al conocimiento limitado, para simplificar la complejidad, tiene que ser (6) La diferencia en la fuerza normal de las personas, por ejemplo, la cantidad de ejercicio que pueden soportar los atletas profesionales y la gente común debe ser diferente.
Por lo tanto, si los datos anteriores se pueden conocer con precisión, hay motivos para creer que el error en los resultados del cálculo será muy pequeño. El modelo será más confiable.
La importancia del modelo verbal intransitivo
A través del análisis de este modelo se encontró la relación aproximada entre F v P c L M. Sin embargo, esto también plantea una pregunta: ¿Son las disposiciones del código de diseño de edificios GB50096-1999 demasiado unilaterales? Los datos de 0,175m deben ser un promedio estadístico. En algunos casos específicos, se deben tomar medidas adicionales, por ejemplo, la altura de los escalones en los edificios de escuelas secundarias y universidades puede ser igual. Sin embargo, los trámites para guarderías, residencias de ancianos y centros de rehabilitación deben estipularse por separado. De lo contrario, puede surgir peligro debido a una altura inadecuada del escalón. Si se obtienen los datos relevantes, se puede calcular la altura óptima basándose en el modelo, ampliando así el contenido de la especificación de diseño del edificio.
Fin