1. Problemas matemáticos básicos.
1. ¿Qué es el número?
2. ¿Cuáles son las cuatro operaciones aritméticas?
3. ¿Por qué la suma y la multiplicación cumplen con la ley conmutativa, ley asociativa y ley distributiva?
4. ¿Qué son las figuras geométricas?
2 Varias dudas sin resolver.
1. Encuentra (1/1)^3 (1/2)^3 (1/3)^3 (1/4)^3 (1/5)^3... (1/n). )^3=?
Más generalmente:
Encontrar cuando k es un número impar
(1/1)^k (1/2)^k (1/3)^k (1/4)^k (1/5)^k … (1/n)^k=?
Antecedentes:
Resultado de la búsqueda euleriana :
(1/1)^2 (1/2)^2 (1/3)^2 (1/4)^2 (1/5)^2 … (1/n) ^ 2=(π^2)/6
Y la expresión cuando k es un número par.
2. La trascendencia de e π
Antecedentes
Esta pregunta es un caso especial del séptimo problema de Hilbert.
La trascendencia de e^π ha sido probada, pero nadie ha demostrado hasta ahora la trascendencia de e π.
3. Problema de números primos.
Prueba:
ζ(s)=1 (1/2)^s (1/3)^s (1/4)^s (1/5)^s …
(s pertenece al campo complejo)
Los puntos cero de la función definida ζ(s), excepto los números reales enteros negativos, todos tienen partes reales 1/2.
Antecedentes:
Esta es la Hipótesis de Riemann. Este es el octavo problema de Hilbert.
Un matemático estadounidense utilizó una computadora para calcular los primeros 3 millones de puntos cero de la función ζ(s), lo que de hecho es consistente con la conjetura.
Hilbert cree que la solución a la Hipótesis de Riemann puede permitirnos resolver estrictamente la conjetura de Goldbach (cualquier número par se puede descomponer en la suma de dos números primos) y la conjetura de los primos gemelos (hay infinitos números primos números con diferencia de 2 de números primos).
La pregunta extendida es: ¿Cuál es la fórmula de expresión de los números primos? ¿Cuál es la naturaleza de los números primos?
4. ¿Existen números perfectos impares?
Antecedentes:
El llamado número perfecto es un número que es igual a la suma de sus factores.
Los primeros tres números perfectos son:
6=1 2 3
28=1 2 4 7 14
496=1 2 4 8 16 31 62 124 248
Los 32 números perfectos conocidos son números pares.
La conclusión a la que se llegó en 1973 es que si n es un número perfecto impar, entonces:
ngt; 10^50
5. 3. Aparte de 9 = 3 ^ 2, ¿no hay dos números enteros consecutivos que puedan expresarse como potencias de otros números enteros positivos?
Antecedentes:
Esta es la Conjetura Catalana (1842).
En 1962, el matemático chino Ke Zhao demostró de forma independiente que no hay tres números enteros consecutivos que puedan expresarse como potencias de otros números enteros positivos.
En 1976, los matemáticos holandeses demostraron que dos potencias enteras positivas mayores que un determinado número no son continuas. Así que simplemente verifique si cualquier potencia entera positiva menor que este número es consecutiva.
Sin embargo, debido a que este número es demasiado grande, hay más de 500 dígitos, lo que está más allá del rango de cálculo de la computadora.
Así que esta conjetura es casi correcta, pero nadie ha podido confirmarla hasta el momento.
6. Dado un número entero positivo n, si n es un número par, cámbielo a n/2. Si se convierte en un número impar después de la división, multiplíquelo por 3 y súmele 1 (es decir, 3n). 1).
Si seguimos repitiendo esta operación, después de un número finito de pasos, ¿obtendremos definitivamente 1?
Antecedentes:
La conjetura antigua (1930).
La gente nunca ha encontrado un contraejemplo a través de muchos cálculos, pero nadie puede probarlo.
Tres problemas sin resolver en el problema 23 de Hilbert.
1. Pregunta 1 Supuesto del Continuo.
No existe otra cardinalidad entre la cardinalidad de todos los números enteros positivos (llamado conjunto contable) y la cardinalidad c del conjunto de los números reales (llamado continuo).
Antecedentes: En 1938, el matemático austriaco Gödel demostró que esta hipótesis no puede ser refutada en el sistema de axiomas de la teoría de conjuntos, concretamente en el sistema de axiomas de Zemorrow-Frenkel.
En 1963, el matemático estadounidense Cohen demostró que no se puede demostrar que esta hipótesis sea correcta en este sistema de axiomas.
Por lo tanto, nadie sabe todavía si esta suposición es correcta o incorrecta.
2. Pregunta 2: Compatibilidad de axiomas aritméticos.
Antecedentes: Gödel demostró lo incompleto del sistema aritmético, lo que hizo añicos la idea de Hilbert de utilizar la metamatemática para demostrar la no contradicción del sistema de axiomas aritméticos.
3. Pregunta 7 La irracionalidad y trascendencia de ciertos números.
Ver 2 de 2 arriba
5. Pregunta 8 Problema de números primos.
Ver 3 de 2 arriba
6. Pregunta 11 El coeficiente es la forma cuadrática de cualquier número algebraico.
Antecedentes: Los matemáticos alemanes y franceses lograron avances significativos en la década de 1960.
7. Pregunta 12 Generalización del teorema de Kronecker sobre campos abelianos a cualquier campo racional algebraico.
Antecedentes: Sólo hay resultados dispersos sobre este problema y aún está lejos de estar completamente resuelto.
8. Pregunta 13: La imposibilidad de resolver ecuaciones algebraicas generales de séptimo grado utilizando únicamente funciones binarias.
Antecedentes: En 1957, los matemáticos soviéticos resolvieron el caso de las funciones continuas. Si el requisito es una función analítica, este problema aún no se ha resuelto por completo.
9. Pregunta 15 La base estricta del cálculo de conteo de Schubert.
Antecedentes: El problema del número de puntos de intersección en álgebra. Relevante para la geometría algebraica.
10. Pregunta 16 Topología de curvas y superficies algebraicas.
Requiere el número máximo de curvas algebraicas que contengan curvas de rama cerrada. y el número máximo y posiciones relativas de ciclos límite de ecuaciones diferenciales.
11. Pregunta 18 Utiliza poliedros congruentes para construir el espacio.
El problema de la disposición más cercana de infinitos poliedros iguales de una forma dada sigue sin resolverse.
12. Pregunta 20 Problema general de valores en la frontera.
Los problemas de valores en la frontera de ecuaciones diferenciales parciales están en auge.
13. Pregunta 23 Mayor desarrollo del cálculo de variaciones.
Cuatro Problemas del Siete Milenio
Propuestos en el año 2000 por el Instituto Clay para el Avance de las Matemáticas de Estados Unidos. Para conmemorar las 23 preguntas de Hilbert hace cien años. La recompensa por cada pregunta es de un millón de dólares.
1.
Ver 2 de 3
Mediante esta conjetura, los matemáticos creen que se puede resolver el misterio de la distribución de los números primos.
Este problema es uno de los 23 problemas de Hilbert que aún no ha sido resuelto. Al estudiar los números de la hipótesis de Riemann, los científicos creen que, además de resolver el misterio de la distribución de los números primos, también es útil para la teoría analítica de números, la teoría de funciones y la teoría de funciones elípticas. la teoría de grupos, las pruebas de números primos, etc. tendrán un impacto sustancial.
2. Teoría de Yang-Mills y brecha de masa
Hipótesis
Yang Zhenning y Mill en 1954 propusieron la teoría del calibre de Yang-Mills a partir de Yang Zhenning.
matemáticas y propuso un marco teórico normativo, que más tarde se convirtió gradualmente en una importante teoría de la física cuántica, lo que también hizo que se convirtiera en una figura importante en la fundación de la física moderna.
La teoría propuesta por Yang Zhenning y Mills producirá partículas que transmitirán fuerzas, y la dificultad que encontraron
es la masa de esta partícula. Lo que dedujeron matemáticamente fue que la partícula tenía carga eléctrica pero no masa. Sin embargo, la dificultad es que si esta partícula cargada no tiene masa, ¿por qué no hay evidencia experimental? Y si se supone que la partícula tiene masa, se violará la simetría de calibre. Generalmente, los físicos creen que hay calidad, por lo que cómo llenar este vacío es un problema matemático bastante desafiante.
3. Los problemas de P versus NP (Los problemas de P versus NP)
A medida que aumenta el tamaño del cálculo, el tiempo de cálculo aumentará polinomialmente. El tipo de problema se llama "pregunta P". ".
La P en la pregunta P es la primera letra del Tiempo Polinomial.
Sabemos que el tamaño es n. Si podemos determinar si el tiempo de cálculo está por debajo del tiempo cnd (cyd son números reales positivos)
o no, lo llamamos ". polinomio" "Método de determinación del tiempo". El problema que se puede resolver con este
algoritmo es el problema P. Por otro lado, si hay otros factores involucrados, como el sexto sentido, el algoritmo se denomina "algoritmo no determinista". Este tipo de problema es un "problema NP", y NP es.
Non determinista Abreviatura de Tiempo polinómico (tiempo polinómico no determinista).
Por definición, el problema P es parte del problema NP. Pero, ¿hay algo en los problemas NP que no pertenezca al nivel de los problemas P? ¿O, después de todo, el problema NP también se convierte en un problema P? Este
es el famoso problema PNP.
4. Ecuaciones de Navier-Stokes (Ecuaciones de Navier-Stokes)
Debido a que la ecuación de Euler está demasiado simplificada, se busca modificarla en el proceso de modificación,
>Nuevos resultados. El ingeniero francés Navier y el matemático británico Stoker realizaron una derivación matemática rigurosa y tomaron en consideración el término de viscosidad para obtener la ecuación de Navier-Stoke.
Desde que el matemático francés Leray demostró la solución global débil de la ecuación de Navier-Stough en 1943, la gente ha estado pensando en ello.
¿Es si esta solución es única? El resultado obtenido es: si se supone de antemano que la solución de la ecuación de Navier-Stoke es una solución fuerte, entonces la solución es única. Entonces la pregunta es: ¿Qué tan grande es la brecha entre la solución débil y la solución fuerte? ¿Es posible que la solución débil sea igual a la solución fuerte? En otras palabras, ¿es posible obtener una solución fluida y constante a la ecuación de Navier-Stoke? Además, está demostrado que su solución explotará en un tiempo finito.
Resolver este problema no sólo contribuirá a las matemáticas sino también a la física y la ingeniería aeroespacial, especialmente la turbulencia (turbulencia) tendrá un impacto decisivo. Además, la ecuación de Gram de Navier-Stow también está estrechamente relacionada con la. Ecuación de Boltzmann del gran físico austriaco Postmann. Estudie la ecuación de Navier-Stoke (Eula) y la ciencia de la relación entre las dos ecuaciones de Boltzmann se llama límite hidrodinámico. Se puede ver que la ecuación de Nanoville-Stoke en sí es muy rica. connotación.
5. Conjetura de Poincaré (Conjetura de Poincaré)
La conjetura de Poincaré es un gran problema en topología. En la jerga del mundo matemático: simplemente conectado
Una variedad cerrada tridimensional es homeomorfa a una esfera tridimensional.
Desde un punto de vista matemático, este es un problema aparentemente simple pero muy difícil. Fue propuesto por Poincaré en 1904.
Más tarde, muchos matemáticos destacados se sintieron atraídos por este tema de investigación. .
No mucho después de que se propusiera la conjetura de Poincaré (Figura 4), los matemáticos naturalmente la extendieron
al espacio de alta dimensión (n4), lo que llamamos conjetura de Poincaré generalizada: Un < simplemente conexo /p>
≥
Variedad cerrada de n(n4)-dimensionalidad, si tiene el mismo grupo fundamental que una esfera de n
≥ dimensiones, entonces debe ser homeomórfica para la esfera n-dimensional.
Casi 60 años después, en 1961, el matemático estadounidense Smale demostró directamente la ecuación de cinco dimensiones (n5) Lo anterior
≥
La conjetura generalizada de Poincaré, por que ganó la Medalla Fields en 1966. Después de 20 años, Freedman, otro matemático estadounidense, demostró la conjetura de Poincaré de cuatro dimensiones y fue reconocido por este logro en 1986. Ganó la Medalla Fields. Pero el espacio tridimensional (n3) en el que realmente vivimos era todavía un misterio sin resolver en ese momento.
=
Hasta abril de 2003, el matemático ruso Perelman dio tres conferencias en
el Instituto Tecnológico de Massachusetts. Durante la reunión, respondió a muchas preguntas de los matemáticos. , y había muchas señales de que Fereman podría haber descifrado la conjetura de Poincaré. Unos días más tarde, el "New York Times" hizo pública la noticia por primera vez bajo el título "Los rusos resuelven un famoso problema matemático".
El artículo principal publicado por el influyente sitio web de matemáticas MathWorld el mismo día era "La conjetura de Poincaré
ha sido probada, ¡y esta vez es cierta!"
La revisión por parte de los matemáticos no se completará hasta 2005, y hasta el momento, no se han encontrado lagunas
que impidieran a Freeman recibir los millones de dólares del Clay Mathematics Institute.
6. Birch y Swinnerton-Dyer
Conjetura
Ecuación general de la curva elíptica y^2= x^3 ax b, encontrarás este tipo de curva. al calcular la longitud del arco de la elipse
. Desde la década de 1950, los matemáticos han descubierto que las curvas elípticas están estrechamente relacionadas con la teoría de números, la geometría, la criptografía, etc. Por ejemplo: Wiles demostró el teorema final de Fermat. Uno de los pasos clave fue utilizar la relación entre curvas elípticas y formas modulares; es decir, la conjetura de Taniyama-Shimura; Shirazuki y Swain especularon que estaba relacionada con las curvas elípticas. .
En la década de 1960, Bai Zhi y Swinnerton-Dale de la Universidad de Cambridge en el Reino Unido utilizaron computadoras para calcular algunas
soluciones racionales de ecuaciones polinómicas. Suele haber infinitas soluciones, pero ¿cómo calcular el infinito
? La solución es clasificar primero. El método matemático típico es el concepto de congruencia.
De esto podemos obtener la clase de congruencia (clase de congruencia), que es el resto de la división por un número, infinito
p>Es imposible tener varios números. Los matemáticos eligen naturalmente los números primos, por lo que este problema está relacionado con la función Zeta de la hipótesis de Riemann. Después de un largo período de extensos cálculos y recopilación de datos, observaron algunas reglas y patrones y llegaron a esta suposición. A partir de los resultados de los cálculos por computadora, concluyeron que la curva elíptica tendrá un número infinito de puntos racionales, si y sólo si la función Zeta ζ (s) = adjunta a la curva El valor es 0, es decir, ζ (1. )
; cuando s1= 0
7. Conjetura de Hodge (Conjetura de Hodge)
"Cualquier proyección no singular Las formas diferenciales armónicas en el cuerpo algebraico son todas las combinaciones racionales de las clases homohomológicas de círculos algebraicos."
Este último problema no es el más difícil entre los siete problemas principales del milenio. Es un problema difícil, pero puede ser el menos comprendido por gente común y corriente. Porque hay demasiadas especialidades avanzadas y resúmenes
Materiales de referencia: "100 problemas básicos de matemáticas", "Matemáticas y cultura", "Revisión de los 23 problemas matemáticos de Hilbert"