En resumen, la idea de combinar números y formas es una idea matemática en matemáticas que combina números y formas para resolver problemas matemáticos. problemas. La combinación de números y formas consiste en combinar lenguaje matemático abstracto con gráficos intuitivos, combinar el pensamiento abstracto con el pensamiento de imágenes y resolver problemas matemáticos mediante la correspondencia y conversión de números y formas. Hay tres tipos principales de resolución de problemas en matemáticas de la escuela secundaria: cambiar "número" en "forma", cambiar "forma" en "número" y combinar números y formas.
A continuación se hablará sobre la aplicación de la idea de combinar números y formas en algunos problemas de matemáticas.
1. "Número" a "Forma"
Debido a que "Número" y "Forma" son una relación correspondiente, algunas son abstractas y difíciles de entender, mientras que "Forma" Tiene las ventajas de ser vívido e intuitivo, puede expresar pensamientos más específicos y desempeña un papel cualitativo en la resolución de problemas. Por lo tanto, podemos encontrar la correspondencia entre "número" y "forma" y utilizar gráficos para resolver problemas. Podemos identificar un "patrón" familiar en el contexto de un problema determinado que se ajuste a los objetivos del problema. El patrón es una relación o estructura específica entre exponentes y formas. Este método de convertir problemas cuantitativos en problemas gráficos y finalmente resolver problemas cuantitativos mediante análisis y razonamiento gráficos es el método de análisis gráfico. La visualización de problemas cuantitativos es la condición para convertir problemas cuantitativos en problemas gráficos. Generalmente hay tres formas de convertir problemas cuantitativos en problemas gráficos: aplicar conocimientos de geometría plana, aplicar conocimientos de geometría sólida y aplicar conocimientos de geometría analítica. Para resolver un problema matemático, en términos generales, primero analizamos la estructura del problema y la descomponemos en conocida (condiciones) y requerida (meta), y luego comparamos las condiciones y metas para descubrir la relación intrínseca entre los dos. Por lo tanto, para el problema del cambio de "número" a "forma", la idea básica de resolver el problema es aclarar las condiciones dadas en el problema y el objetivo buscado, a partir de las condiciones o conclusiones conocidas del problema. Primero observe y analice si son consistentes con lo requerido. Las fórmulas básicas (teoremas) o expresiones gráficas aprendidas son similares (idénticas), luego haga o construya una gráfica adecuada y finalmente use las propiedades y el significado geométrico de la gráfica que ha sido hecho o construido.
Ejemplo 1: Se sabe que los tres lados del triángulo son 5, 12 y 13 respectivamente. Encuentra el área de este triángulo.
Análisis: Esta pregunta solo da las longitudes de los tres lados del triángulo como 5, 12 y 13 respectivamente, pero no da la altura de uno de los lados, por lo que parece imposible calcular su área. . Aunque sé que existe la fórmula de Heron para encontrar el área de tres lados de un triángulo, es demasiado problemática. Aquí, si podemos analizar este conjunto de datos y descubrir la relación entre 5, 12 y 13, podemos pensar fácilmente en el teorema inverso del teorema de Pitágoras: si un triángulo con tres lados A, B y C satisface a2 B2 = C2; este triángulo es un triángulo rectángulo. Como 52 122 = 132, entonces podemos juzgar que el triángulo con tres lados 5, 12 y 13 es un triángulo rectángulo con 5 y 12 como lado derecho y 13 como hipotenusa. De esta manera, utilizamos el teorema inverso del teorema de Pitágoras para convertir este conjunto de datos 5, 12 y 13 en un triángulo rectángulo con 5 y 12 como lados rectángulos y 13 como hipotenusa. Se realizó la transformación de "número" a "forma", y el triángulo con tres lados de 5, 12 y 13 se convirtió en un triángulo rectángulo. Entonces el área de este triángulo es fácil de obtener. Esta es una combinación típica de números y formas que utiliza el teorema inverso del teorema de Pitágoras.
2. Cambie "forma" por "número"
Aunque la forma tiene la ventaja de ser vívida e intuitiva, debe cuantificarse mediante cálculos algebraicos, especialmente para formas más complejas, no. Solo para digitalizar correctamente, también debemos prestar atención a las características de la forma, descubrir las condiciones ocultas en la pregunta, aprovechar al máximo las propiedades o el significado geométrico de la forma y expresar correctamente la forma en forma de números para su análisis. y cálculo.
Ideas básicas para resolver problemas: aclarar las condiciones dadas y los objetivos deseados, analizar las características y propiedades de las condiciones dadas y los objetivos deseados, comprender el importante significado geométrico de las condiciones u objetivos en los gráficos y utilizar los conocimientos aprendidos para expresar correctamente las cifras utilizadas en la raíz de la pregunta, y luego utilizar las fórmulas o teoremas correspondientes basándose en la relación entre condiciones y conclusiones.
Ejemplo 3: Cerrar un área rectangular con una valla de cierta longitud. Xiao Ming cree que el área es más grande cuando rodea el área de un cuadrado, pero Liang Xiao no lo cree así.
¿Qué piensas? (Seleccionado de la tercera pregunta de los ejercicios P30 en el volumen de matemáticas de octavo grado de la Universidad Normal del Este de China)
Análisis: La clave de esta pregunta es "Con un perímetro fijo, ¿cómo comparar?" ¿el área de un cuadrado y el área de un rectángulo?", es decir, los perímetros son iguales, ¿cómo expresar numéricamente el área de un cuadrado y el área de un rectángulo y cómo comparar los área de un cuadrado y el área de un rectángulo. Suponemos que la longitud de la cerca es L = 4a, entonces la longitud del lado del cuadrado es a. De acuerdo con el hecho de que los lados opuestos del rectángulo son iguales, un conjunto de lados opuestos es a-x y el otro conjunto de. lados opuestos es una x, (x > 0) como se muestra a continuación.
a a x
a-x
Rectángulo cuadrado
S cuadrado = A2, S rectángulo = (A X) (A-X) = A2-X2 . Porque x > 0, x2 > 0. Por lo tanto, A2 > A2-X2 significa S cuadrado > S rectángulo. Este es un problema de aplicación práctica típico de construir números a partir de formas.
3. "Forma" y "número" se cambian entre sí
La transformación mutua de forma y número significa que en algunos problemas matemáticos, no se trata simplemente de una simple transformación de número o número a partir de forma, sino que forma y número se transforman uno en otro. No sólo debemos pensar en convertir la intuición de la forma en el rigor del número, sino que también debemos cambiar la estrecha conexión entre número y forma. Para resolver este tipo de problemas, a menudo necesitamos partir de lo conocido y de la conclusión al mismo tiempo, analizar cuidadosamente y descubrir los cambios mutuos de la "forma" y el "número" internos. El método general es mirar "forma" y pensar en "número", y mirar "número" y pensar en "forma". La esencia es la combinación de "número" y "forma", y "forma" y "número".
Ejemplo 5: Hay un cuadrilátero ABCD (como se muestra en la figura); ∠ABC = 90°; AB = 4mBC = 3mCD = 12m;
Encuentra el área del cuadrilátero ABCD. (Seleccionado de la Pregunta 7, Grupo P63B, Volumen 1, Matemáticas de octavo grado, Edición de la Universidad Normal del Este de China)
Análisis: El resultado de esta pregunta es encontrar el área del cuadrilátero ABCD, si el cuatro lados son C B.
ABCD es un cuadrilátero especial: un trapezoide en ángulo recto, por lo que
podemos usar la fórmula s = (base superior base inferior)/2. Esta fórmula se puede utilizar si
∠bad = 90° Según el teorema inverso del teorema de Hook
strand, se requiere BD2 = da2 AB2A.
Pero no podemos encontrar la longitud de BD,
Por lo tanto, no podemos encontrar el grado de maldad.
Comienza con lo conocido ∠ ABC = 90, d
Ab = 4m, BC = 3m. Según el teorema de Pitágoras, podemos obtener AC = √ ab2 bc2 = √ 42 32 = 5m. En el triángulo ACD, de AC = 5m, CD = 12m, DA = 13m, obtenemos 52 122 = 62. De esta forma, podemos transformar el problema de encontrar el área del cuadrilátero ABCD en el problema de encontrar la suma de las áreas de dos triángulos rectángulos ABC y un triángulo rectángulo ACD. Lo resolvimos fácilmente por el significado de la pregunta.
A través del análisis de los resultados y resultados conocidos, primero usamos el teorema de Pitágoras para obtener la longitud de la hipotenusa AC a través del triángulo rectángulo ABC, que consiste en mirar la "forma" y pensar en la "número" entonces según AC = 5m, se combina Se sabe que CD = 12m y DA = 13m, y se considera que 52 122 = 132, es decir, el teorema inverso del teorema de Pitágoras lleva a AC2 Cd2 = da2 El triángulo ACD es un triángulo rectángulo que pertenece a la "forma" del pensamiento "numérico". Finalmente, el área del cuadrilátero ABCD se convierte en la suma de las áreas de los dos triángulos rectángulos ABC y el triángulo rectángulo ACD, lo que resuelve el problema.
La combinación de números y formas es un método de pensamiento matemático común, que puede simplificar problemas complejos y concretar problemas abstractos. Para mejorar la capacidad de los estudiantes para combinar números y formas, los profesores deben guiarlos con paciencia y cuidado para que aprendan a conectar, comprender, aplicar y dominar la combinación de números y formas.