Al resolver problemas matemáticos, los candidatos deben prestar atención a la consideración integral del problema y a la aplicación de ideas de resolución de problemas en discusiones clasificadas.
Debemos prestar más atención a cultivar la capacidad de "formar ideas rápidamente" y "formar rodillos rápidamente".
La primera pregunta de esta pregunta es la ubicación del ángulo recto isósceles △ABC en el segundo cuadrante (basándose en los dos ejes de coordenadas),
Porque la pregunta original solo reveló a Los candidatos de que "AC es un lado" en ángulo recto obviamente deben discutirse en dos casos:
(Caso 1): AC es un lado en ángulo recto y C es un vértice en ángulo recto.
Si el punto de intersección b es BD⊥ y el eje x es d, es fácil demostrar △BCD≔△Cao(AAS).
∴BD = CO = 1, CD = AO = 2
Las coordenadas del punto ∴b son (-3, 1).
Supongamos que el punto medio del segmento de línea AC es e, EM ⊥ el eje y es m, EN ⊥ el eje x es n,
A partir del conocimiento de la línea media, es fácil saber que la coordenada E es (- 1/2,1).
Dos puntos tienen la misma coordenada vertical.
El segmento de línea ∴ BE es el eje ∴ X, y be es la línea central de △ABC.
∴Proviene de las propiedades del centro de gravedad de un triángulo (la intersección de tres líneas medias)
¿El centro de gravedad g está en BE, GE= 1/3? BE (distancia del centro de gravedad al vértice del triángulo = dos veces la distancia desde el punto medio del lado opuesto)
Be = (-1/2)-(-3) = 5/2 (la distancia entre los dos puntos en el eje numérico La distancia se calcula restando el valor pequeño de la izquierda del valor grande de la derecha).
GE = 1/3? BE = 5/6 = la abscisa del punto E menos la abscisa del punto g.
La abscisa del punto g es: -1/2-5/6 =-4/3.
El punto g está en la recta X =-4/3, es decir, el centro de gravedad está en la recta a la izquierda del "fulcro" c.
∴ △ABC inevitablemente girará en sentido antihorario alrededor de c, ¡es imposible inclinarlo!
Se recomienda utilizar un triángulo rectángulo isósceles para operar el papel de manera uniforme. Pruébelo en sentido antihorario y sabrá que no se puede inclinar.
∴Esta situación es irrelevante y no existe.
(Caso 2) AC es un lado rectángulo y A es un vértice rectángulo.
Si b es BF ⊥ y el eje y es f, es fácil demostrar que △BFA≔△AOC(AAS).
∴ BF = AO = 2, FA = OC = 1
Las coordenadas del punto ∴b son (-2, 3).
En este momento, el centro de gravedad G de △ABC está en la recta X = -1 que pasa por el punto C. No gira y puede inclinarse, lo cual está en línea con el significado de pregunta.
Las coordenadas del punto ∴b son: (-2, 3)
La segunda pregunta:
∵ ¿Parábola y = ax? +ax - 2 pasa por el punto b (-2, 3)
∴ ¿Sustituir x = - 2 e y = 3 en y = ax? +ax - 2:
3 = a? ( - 2)?+ un? ( - 2) - 2
3 = 4a - 2a - 2
∴ a = 5/2
La fórmula analítica de la parábola es: y = (5/2)x? + (5/2) x - 2
Pregunta 3: Supongamos que hay un punto P tal que △ACP sigue siendo un triángulo rectángulo isósceles con AC como lado derecho:
( 1) Si A es el vértice recto, extiende BA hasta P1 para que AP1 = BA,
obtenga el triángulo rectángulo isósceles △ACP1.
Con P1 como P1N ⊥ y el eje y como n, es fácil demostrar que Rt△ANP1 ≌ Rt△AFB.
∴ NP1 = FB = 2A = FA = 1, luego OA = OA-A = 1.
∴Las coordenadas del punto P1 son (2, 1).
¿Reemplazar y = (5/2) x con x=2? +(5/2) x-2 da y=13. y en este momento? 1
Verifique que el punto P1 en este momento satisface △ACP es un ángulo recto isósceles △ con AC como ángulo recto, pero P1 no está en la parábola.
∴El punto P1 (2, 1) no cumple con el significado de la pregunta, por lo que se omite.
(2) Si c es el vértice de un ángulo recto, sea c CP2 ⊥ CA, sea CP2 = CA.
Obtén el triángulo rectángulo isósceles ACP2.
Es fácil demostrar que Rt△CMP2 ≌ Rt△AOC, si P2M ⊥ eje x es m después de P2.
∴MP2 = oc = 1cm = ao = 2 om = cm-co = 2-1 = 1
∴Las coordenadas del punto P2 son (1,-1)
¿Reemplazar y = (5/2) x con x = 1? +(5/2) x-2 da y= 3. y en este momento? - 1
Se comprueba que el punto P2 en este momento satisface △ACP, que es un ángulo recto isósceles △ con AC como lado derecho, pero P2 no está en la parábola. ∴El punto P2 (1,-1) tampoco cumple con el significado de la pregunta, por lo que se omite.
En resumen, no hay ningún punto P (excepto B) en la parábola, por lo que el triángulo ACP sigue siendo un triángulo rectángulo isósceles con AC como lado derecho.
Comentarios: Al resolver o demostrar "¿Existe una parábola?", la solución habitual es: primero encontrar las coordenadas de un punto que cumpla con el significado de la pregunta y luego sustituir las coordenadas del punto en la fórmula analítica de la parábola para verificar el punto ¿Está en una parábola?
Al resolver este tipo de preguntas, los candidatos no deben pensar que deben existir unilateralmente y luego mostrar un profundo pánico por los resultados inexistentes que resolvieron y comprobar repetidamente si están equivocados. Al resolver problemas, recuerde "tener cuidado y hacerlo de una vez".
El único defecto es que el autor de la pregunta no consideró completamente los detalles de "la posición del centro de gravedad del triángulo y si puede inclinarse", y no explicó si se aplicó una fuerza externa para hacer se inclina como se muestra en la imagen, lo que hace que los candidatos e incluso los profesores resuelvan el problema según la imagen incorrecta.
Si los candidatos pueden considerarla de manera integral, esta pregunta sigue siendo buena.