Hay un barbero en el pueblo al que le gusta presumir. Un día, el barbero se jactó: "Afeito a toda la gente del pueblo que no se afeita. Sólo esa gente se afeita".
Todos se rieron de esto. Alguien le preguntó: "Señor barbero, ¿puede afeitarse usted mismo?"
"Esto, esto..." El barbero se quedó sin palabras y no pudo pronunciar palabra durante un buen rato.
Resulta que este barbero jactancioso se ve atrapado en un dilema contradictorio. Si se afeita, no se ajusta a la primera mitad de la frase, y no debe afeitarse, pero si no se afeita, no se ajusta a la segunda mitad de la frase, y debe afeitarse de nuevo. Independientemente de si te afeitas o no, de todos modos no está bien.
Una afirmación lógicamente contradictoria como la del barbero se llama paradoja. Este chiste inventado por Russell es la famosa paradoja de Barbour en la historia de las matemáticas.
El barbero parecía gracioso, pero los matemáticos no pudieron reírse después de escucharlo, porque ellos mismos estaban en la misma situación embarazosa que el barbero fanfarrón.
De hecho, los matemáticos de principios del siglo XX se avergonzaban aún más que el barbero jactancioso. Mientras el barbero cancele su afirmación original y se ría descaradamente, no pasará nada; los matemáticos no tienen tanta suerte porque se topan con una paradoja matemática inevitable. Si se retirara la "afirmación" original, la mayor parte del conocimiento valioso de las matemáticas modernas dejaría de existir.
Esta paradoja matemática también fue propuesta por Russell. En 1902, Russell construyó "estrictamente" esta paradoja matemática a partir de la teoría de conjuntos, que ha sido reconocida como la teoría básica de las matemáticas, según los métodos lógicos comúnmente utilizados por los matemáticos. Para popularizarlo, es la paradoja de Barbour.
La teoría de conjuntos es una teoría matemática desarrollada al final de 19 años y ha penetrado rápidamente en todos los rincones de las matemáticas, incluso en los libros de texto de matemáticas de la escuela secundaria. Cambió dramáticamente toda la faz de las matemáticas. Así como los matemáticos acababan de basar las matemáticas en la teoría de conjuntos, apareció la paradoja de Russell, que señalaba con hechos irrefutables que quien esté de acuerdo con la teoría de conjuntos se convertirá en un "barbero fanfarrón", atrapado en un dilema paradójico. Los matemáticos están extremadamente avergonzados. Si seguimos aceptando la teoría de conjuntos, entonces las matemáticas, que pretenden ser absolutamente rigurosas, no estarán justificadas por monstruos como la paradoja de Russell. Si no se aceptara la teoría de conjuntos, muchos inventos matemáticos importantes dejarían de existir.
La paradoja de Russell conmocionó a la comunidad matemática y provocó una crisis que involucraba los fundamentos de las matemáticas. Se descubrió que había una enorme grieta en los cimientos del glorioso edificio de las matemáticas. Si no se repara, todo el edificio corre peligro de derrumbarse en cualquier momento.
Los matemáticos aceptaron valientemente el desafío. Examinaron más de cerca los orígenes de la paradoja de Russell. Resulta que la razón por la que aparece un gigante como la paradoja de Russell es porque en la teoría de conjuntos, la frase "conjunto de conjuntos" no se puede decir a la ligera. Por lo tanto, los matemáticos comenzaron a explorar bajo qué circunstancias las conclusiones matemáticas son verdaderas y el razonamiento matemático es válido... creando así una nueva rama de las matemáticas: la teoría matemática básica.
En este campo, debido a las diferentes visiones de los matemáticos, han surgido tres famosas escuelas de pensamiento. Los matemáticos representados por Russell se llaman lógicos. Sostienen que la paradoja de Russell no ocurrirá mientras no se permita el lenguaje ilógico de "conjunto de conjuntos". Los matemáticos representados por Brouwer se llaman intuicionistas. Sostienen que los "conjuntos de conjuntos" no son intuitivamente comprensibles. Si no se reconoce su racionalidad, la paradoja de Russell, naturalmente, no surgirá. Los matemáticos representados por Hilbert son conocidos como la escuela formalista. Creen que las paradojas son manifestaciones de incompatibilidad.
Las tres escuelas principales propusieron planes para reparar los cimientos de las matemáticas y estalló un gran debate debido a sus respectivas opiniones. Este gran debate tuvo un profundo impacto en el desarrollo de las matemáticas modernas y condujo al nacimiento de muchas ramas nuevas de las matemáticas.
En la actualidad, el trabajo de reparación de los fundamentos de las matemáticas aún no ha logrado resultados completamente satisfactorios y los matemáticos todavía luchan tenazmente.