La investigación popular sobre ecuaciones diferenciales parciales comenzó poco después de la aparición del cálculo diferencial. Por ejemplo, la investigación sobre la vibración transversal de cuerdas a principios del siglo XVIII, así como la investigación posterior sobre la teoría de la conducción del calor, la mecánica de fluidos y las funciones de alineación, dieron como resultado las correspondientes ecuaciones matemáticas y físicas, y creo que todas ellas son soluciones válidas. A mediados del siglo XIX, la teoría general de las ecuaciones diferenciales parciales se formó gradualmente a partir del estudio en profundidad de ecuaciones individuales, como la clasificación y la teoría característica de las ecuaciones. Este es el alcance de la teoría clásica de las ecuaciones diferenciales parciales.
Pero en el siglo XX, con el continuo desarrollo de la ciencia y la tecnología, surgieron nuevas ecuaciones de física matemática en la práctica científica. La aparición de computadoras electrónicas proporcionó un medio poderoso para realizar los resultados de la investigación de ecuaciones de física matemática. . Debido a que otras ramas de las matemáticas (como el análisis funcional, la topología, la teoría de grupos, la geometría diferencial, etc.) también se han desarrollado rápidamente, proporciona una herramienta poderosa para futuras investigaciones sobre ecuaciones diferenciales parciales. Por lo tanto, en el siglo XX, el estudio de las ecuaciones matemáticas y físicas ha logrado avances sin precedentes, y estos desarrollos muestran las siguientes características y tendencias:
1. Las descripciones son en su mayoría ecuaciones diferenciales parciales no lineales. Incluso si se aproximan algunas ecuaciones diferenciales parciales lineales, los efectos no lineales deben reconsiderarse a medida que avanza el estudio. Estudiar ecuaciones diferenciales parciales no lineales es mucho más difícil, pero proporcionará muchos conocimientos útiles sobre los resultados existentes de las ecuaciones diferenciales parciales lineales.
En segundo lugar, en la práctica, muchos factores se combinan y se influyen entre sí. Por lo tanto, sus modelos matemáticos son en su mayoría ecuaciones diferenciales parciales no lineales. Como la ecuación de difusión de reacción, la ecuación de dinámica de fluidos, la ecuación hidrodinámica electromagnética, la ecuación de fluido de radiación, etc. Matemáticamente se llama ecuación hiperbólico-parabólica.
En tercer lugar, las ecuaciones matemáticas y físicas ya no son sólo formas matemáticas que describen procesos de ingeniería como la física y la mecánica. En la actualidad, constantemente se proponen algunas ecuaciones diferenciales parciales muy importantes en los campos de la química, la biología, la medicina, la agricultura, la protección del medio ambiente e incluso la economía y otras ciencias sociales.
4. La descripción matemática de un modelo real debe, además de las ecuaciones (o ecuaciones) que describen el proceso, también tener ciertas condiciones de solución (como condiciones iniciales y condiciones de contorno). Tradicionalmente, estas condiciones se expresan linealmente, punto por punto. Sin embargo, muchas de las condiciones de solución definida propuestas ahora son no lineales, especialmente no locales. El estudio de los problemas de valores límite no locales es un campo nuevo y muy significativo.
5. Relación con otras ramas de las matemáticas. Por ejemplo, en geometría se han propuesto muchas ecuaciones diferenciales parciales no lineales importantes, como ecuaciones de superficie mínima, ecuaciones de mapeo armónico, ecuaciones, etc. Las herramientas modernas como el análisis funcional, la topología y la teoría de grupos se utilizan ampliamente en el estudio teórico de ecuaciones diferenciales parciales. Por ejemplo, el espacio proporciona un marco y una herramienta poderosos para estudiar ecuaciones diferenciales parciales lineales y no lineales. La aplicación de funciones generalizadas hace que la teoría clásica de ecuaciones diferenciales lineales sea más sistemática y completa. Luego, con la aplicación generalizada de las computadoras y el rápido desarrollo de los métodos de cálculo, especialmente la aplicación generalizada de elementos finitos, se realizó y probó en la práctica el estudio de las ecuaciones diferenciales parciales.
Cuando se utilizan métodos matemáticos para abordar problemas de aplicación, primero se debe establecer un modelo matemático razonable, que en muchos casos es una ecuación diferencial parcial. La construcción de modelos es un proceso bastante complejo.
Requisitos básicos para el programa de estudios y los capítulos
Capítulo 1 Ecuación de onda
Puntos de enseñanza:
A través de la enseñanza de este capítulo, los estudiantes pueden Comprender preliminarmente los métodos y características de las ecuaciones matemáticas, dominar la solución de ecuaciones y los significados físicos expresados.
1. Permitir que los estudiantes comprendan el método de derivación de la ecuación de onda.
2.Comprender las condiciones y significado de las soluciones definitivas.
3. Dominar el método de separación de variables para resolver problemas de valores en la frontera inicial.
4. Puede resolver el problema de Cauchy de ecuaciones de ondas de alta dimensión.
5. Clarificar el significado de propagación y atenuación de ondas.
6. Utiliza la desigualdad energética para determinar la unicidad y estabilidad de la solución de la ecuación.
Horario lectivo: 20 horas.
Contenidos docentes:
Bloque 1: Condiciones de derivación y solución de ecuaciones
Bloque 2: Fórmula de D’Alembert y propagación de ondas
Sección 3: Método de separación de variables para problemas de valores en la frontera inicial
Sección 4: Problema de Cauchy para ecuaciones de ondas de alta dimensión
Propagación y atenuación de la quinta onda
Sección 6: Unicidad y estabilidad de soluciones a desigualdades de energía y ecuaciones de onda
Requisitos de evaluación:
Sección 1: Derivación y condiciones de solución definitiva de ecuaciones (comprensión y aplicación)
Sección 2 Fórmula de D'Alembert y propagación de ondas (comprensión)
Sección 3 Método de separación de variables para problemas de valores iniciales y en la frontera (comprensión y aplicación)
Sección 4: Problema de Cauchy de la ecuación de onda de alta dimensión (comprensión y aplicación)
Sección 5: Propagación y atenuación de la onda (comprensión)
Sección 6: Desigualdad de energía y soluciones de ecuaciones de onda La unicidad y estabilidad (comprensión y aplicación)
Capítulo 2 Ecuación de conducción térmica
Puntos de enseñanza:
A través de la enseñanza de este capítulo, los estudiantes pueden tener una comprensión preliminar de la conducción de calor. Las ecuaciones se establecen utilizando principios físicos. El problema del valor límite inicial se puede resolver mediante el método de separación de variables. El problema de Cauchy se puede resolver mediante la transformada de Fourier. La unicidad y estabilidad de la solución del problema de solución definida se pueden determinar mediante la. principio de valor extremo.
Horario lectivo: 15 horas.
Contenidos didácticos:
Sección 1: Derivación de la ecuación de conducción de calor y su solución definitiva
Sección 2: Método de separación de variables para problemas de valores límite iniciales
Sección 3 Problema de Cauchy
Sección 4 Principio del valor extremo, unicidad y estabilidad de soluciones definidas
Requisitos de evaluación:
Capítulo Sección 1: Derivación de la ecuación de conducción de calor y su solución definitiva (comprensión)
Sección 2: Problema de separación de variables del valor límite inicial (comprensión y aplicación)
Sección 3: Problema de Cauchy (comprensión) y Aplicación)
Sección 4. Principio del valor extremo, unicidad y estabilidad de soluciones definidas (comprensión y aplicación)
Capítulo 3 Ecuaciones armónicas
Puntos de enseñanza:
A través de la enseñanza de este capítulo, los estudiantes pueden establecer ecuaciones armónicas, determinar claramente las condiciones para las soluciones, dominar la fórmula de Green y sus aplicaciones, comprender las funciones de Green y utilizar el principio del valor extremo fuerte para determinar la solución al segundo. Unicidad del problema del valor límite.
Horario lectivo: 15 horas.
Contenido didáctico:
Sección 1: Establecimiento de ecuaciones y condiciones de solución definida
Sección 2: Fórmula de Green y sus aplicaciones
Tercera Sección Función de Green
Sección 4: Principio del valor extremo fuerte, unicidad de la solución al segundo problema de valor en la frontera
Requisitos de evaluación:
Sección 1 Ecuación Establecimiento y determinación de la solución condiciones (aplicación)
Sección 2 La fórmula de Green y su aplicación (comprensión y aplicación)
Sección 3 La función de Green (comprensión)
Sección 4: Valor extremo fuerte Principio, unicidad de la solución al problema del segundo valor en la frontera (comprensión y aplicación)
El capítulo 4 es la clasificación y resumen de las ecuaciones diferenciales parciales lineales de segundo orden.
Puntos de enseñanza:
A través de la enseñanza de este capítulo, los estudiantes pueden dominar el método de clasificación de ecuaciones lineales de segundo orden, la teoría característica de las ecuaciones lineales de segundo orden y las características de Tres tipos de ecuaciones.
Horario lectivo: 12 horas.
Contenidos docentes:
Sección 1: Clasificación de ecuaciones lineales de segundo orden
Sección 2: Teoría de las características de ecuaciones lineales de segundo orden
Sección 3 Comparación de tres tipos de ecuaciones
Requisitos de evaluación:
Sección 1 Clasificación de ecuaciones lineales de segundo orden (memoria y comprensión)
Segundo- ordenar ecuaciones lineales Teoría característica de grupos (memoria y comprensión)
Sección 3 Comparación de tres ecuaciones (memoria y comprensión)
Capítulo 5 teoría integral
Puntos de enseñanza :
A través de la enseñanza de este capítulo, los estudiantes pueden comprender el concepto y la teoría característica de las ecuaciones diferenciales parciales de primer orden, aclarar el problema de Cauchy y la solución definitiva de ecuaciones hiperbólicas lineales bidimensionales, y dominar la solución. de dos series.
Horario lectivo: 10 horas.
Contenidos docentes:
Sección 1 Introducción 1. Ejemplo 2 de ecuaciones diferenciales parciales de primer orden. La relación entre ecuaciones de primer orden y ecuaciones de orden superior.
La segunda sección es la teoría característica de las ecuaciones diferenciales parciales lineales de primer orden con dos variables independientes.
Sección 3 Problema de Cauchy para ecuaciones hiperbólicas lineales con dos variables independientes
Sección 4 Otras soluciones definidas a ecuaciones hiperbólicas lineales con dos variables independientes
Sección 5 Dos series Soluciones (Solicitud)
Requisitos de evaluación:
Sección 1 Introducción 1. Ejemplo 2 de ecuaciones diferenciales parciales de primer orden. La relación entre ecuaciones de primer orden y ecuaciones de orden superior, (comprensión)
Sección 2 Teoría característica de ecuaciones diferenciales parciales lineales de primer orden con variables independientes dobles. (memoria y comprensión)
Sección 3 Problema de Cauchy de ecuaciones lineales hiperbólicas (memoria y comprensión)
Sección 4 otras definiciones de ecuaciones hiperbólicas lineales en dos variables Solución (memoria y comprensión)
3. Libros de texto recomendados y números de referencia
1. "Ecuaciones de física matemática", editado por Gu Chaohao, segunda edición, Higher Education Press, 2002.
2. "Ecuaciones de Física Matemática", editado por Tikhonov, traducido por Huang Kegu, 2ª edición, Higher Education Press, 1961.
3. "Métodos de Física Matemática", editado por el Grupo de Investigación y Enseñanza de Matemáticas del Instituto de Tecnología de Nanjing, Higher Education Press, 1982.
4. "Matemáticas Avanzadas", compilado por el Departamento de Matemáticas de la Universidad de Sichuan, 4ª edición, People's Education Press, 1979.