La trayectoria de un punto en el plano es igual a la distancia de un punto fijo a una línea recta, lo que se llama parábola. Este punto se llama foco de la parábola. La recta se llama directriz de la parábola. El punto fijo no está sobre la recta superior. Es similar a la segunda definición de elipse e hipérbola, pero la relación (excentricidad e) es diferente. Cuando e=1, es una parábola, y cuando 0
2. La ecuación estándar de una parábola tiene cuatro formas. El significado geométrico del parámetro es la distancia desde el foco a la directriz, y se pueden captar las propiedades geométricas de diferentes formas de ecuaciones (como se muestra en la siguiente tabla):
Cualquier punto de la parábola.
3. Las coordenadas de los puntos de la parábola se pueden establecer para simplificar la operación.
4. La cuerda del foco de la parábola: Supongamos que una línea recta que pasa por el foco de la parábola corta a la parábola Las pendientes de las líneas rectas son respectivamente, y los ángulos de inclinación de las líneas rectas son. ,,,,,.
Descripción:
1. Al resolver una ecuación parabólica, si sabes que la curva es una parábola a partir de condiciones conocidas, generalmente usas el método del coeficiente indeterminado si conoces el movimiento; puntos de la curva a partir de condiciones conocidas. Según las reglas, generalmente se utiliza el método de la trayectoria.
2. Cuando se trata de la longitud de la cuerda, el punto medio y la pendiente de una parábola, preste atención al uso del teorema de Vietta para evitar la engorrosa operación de encontrar las coordenadas del punto de intersección.
3. Al resolver el problema de la cuerda focal, se utiliza ampliamente la definición de parábola y también se debe prestar atención a las propiedades geométricas de la cuerda focal.
Guía de resolución de problemas
Ejemplo 1. Se sabe que el vértice de una parábola está en el origen de las coordenadas, el eje de simetría es el eje y la longitud de la cuerda de la intersección con el círculo es igual a * * * Encuentra la ecuación de esta parábola.
Análisis: Sea la ecuación de la parábola o.
Establece el punto de intersección (y10)
Luego, ∴, reemplaza
Alinear, alinear
∴ o ∴
Por lo tanto, la ecuación de una parábola es o.
Ejemplo 2. Suponga que el foco de la parábola es una línea recta que corta la parábola en dos puntos, los puntos están en la directriz de la parábola y el eje es ∨, lo que demuestra que la línea recta pasa por el origen.
Análisis: Prueba 1: Conoce el foco de la parábola a partir del significado de la pregunta
Por lo tanto, la ecuación de la recta que pasa por el foco se puede establecer de la siguiente manera
Desde, elimina
Está bien, entonces
eje ∫∥ y alinéalo.
Las coordenadas del punto ∴ son
Entonces la ecuación de la recta es
Para demostrar que has pasado por el origen solo necesitas demostrar , es decir, prueba.
Ten en cuenta que la fórmula anterior se cumple, por lo que la línea recta pasa por el origen.
Evidencia 2: Igual que el anterior. y el eje ∫, y en la directriz, las coordenadas del punto ∴ son. Luego, conozca la línea de tres puntos de manera que la línea recta pase por el origen.
Evidencia 3: Como se muestra en la figura,
Supongamos que el eje corta la directriz parabólica en un punto, este punto es el pie vertical.
Entonces ∩∩, incluso haciendo amigos ha llegado al punto, y luego
Según las propiedades geométricas de la parábola,
Por lo tanto, el punto es el punto medio, es decir, con El origen coincide con la recta que pasa por el origen.
Comentarios: Esta pregunta pone a prueba el concepto y las propiedades de las parábolas, las ecuaciones y propiedades de las líneas rectas y las habilidades de razonamiento operativo y lógico. Entre ellos, la Prueba 1 y la Prueba 2 son métodos algebraicos, y la Prueba 3 es un método geométrico, que hace pleno uso de las propiedades geométricas de las parábolas y combina números y formas, lo cual es bastante inteligente.
Avances en los puntos de prueba
Clave para los puntos de horneado
La parte de la parábola es una parte obligatoria del examen de ingreso a la universidad cada año. Los puntos de la prueba requieren la definición de parábolas, ecuaciones estándar y propiedades geométricas. Aparecen principalmente en preguntas de opción múltiple y preguntas para completar espacios en blanco. Evalúan principalmente conocimientos básicos, habilidades básicas y métodos básicos. 5 puntos.
El examen suele dividirse en cuatro niveles:
Nivel 1: Examina la aplicación de la definición de parábola;
Nivel 2: Examina la solución de la ecuación estándar parabólica;
Nivel 3: Examinar la aplicación de las propiedades geométricas de las parábolas;
Nivel 4: Examina la síntesis de parábola, vector plano y otros conocimientos.
Los métodos y enfoques básicos para resolver problemas incluyen: método de coeficiente indeterminado, método de ecuación de trayectoria, método de combinación de formas y números, método de discusión de clasificación y método de transformación equivalente.
Análisis de ejemplo típico
Ejemplo 3. (2006 Jiangxi) se establece como el origen de coordenadas, el foco de la parábola y un punto de la parábola. Si, las coordenadas del punto son ().
A.B.
C.D.
Respuesta: b
Análisis: Solución 1: Establecer las coordenadas del punto en y luego
,
Resolver o (abandonar), sustituir la parábola para obtener las coordenadas del punto.
Opción 2: Con base en el significado de la pregunta, entonces,
Se encuentra que las coordenadas del punto ∴ son.
Comentarios: Esta pregunta prueba las operaciones de puntos móviles y vectores de parábolas.
Ejemplo 4. (Anhui 2006) Si el foco de la parábola coincide con el foco derecho de la elipse, entonces el valor es ().
A.-2b 2c-4d 4
Respuesta: d
Análisis: El foco derecho de la elipse es, por lo tanto el foco de la parábola es, entonces.
Comentarios: Esta pregunta examina la relación entre parábolas y cantidades básicas en la ecuación estándar de elipses.
Test estándar
1. Preguntas de opción múltiple:
1 Si la ecuación directriz de la parábola es, entonces el valor del número real es (). .
A.B.C.D.
2. Supongamos que el vértice de la parábola está en el origen, el foco está en el eje y la distancia desde el punto de la parábola al foco es 4, que es igual a ().
A.4 B. 4 o -4 C. -2 D. -2 o 2
3. La ecuación estándar de una parábola con foco en una recta es ( )
p>
A.b. O
Contra reembolso
4. La ecuación del círculo cuyo centro está en la parábola y que es tangente a la directriz y el eje de la parábola es ()
A.B.
C.D.
5 La longitud del lado de un cubo es 1, el punto está en el lado. , el punto es un punto en movimiento en el plano y el punto en línea recta. La diferencia al cuadrado entre la distancia y la distancia de un punto a otro es 1, entonces la trayectoria del punto es ().
A. Parábola b. Hipérbola c. Recta d. Ninguno de los anteriores
6. Si la distancia desde el punto de ajuste a la directriz parabólica es y la distancia a la línea recta es , entonces el valor mínimo es ().
Siglo V a.C.
7. El punto conocido es un punto en movimiento en la parábola, la proyección del punto sobre el eje es, la coordenada del punto es, entonces el valor mínimo de es ().
A.B. 4 C. D. 5
8 La recta que pasa por el foco de la parábola corta a la parábola en dos puntos, y el origen de las coordenadas es ().
A.12 B. -12 C
2. Completa los espacios en blanco:
9 Dado que la circunferencia es tangente a la directriz de la parábola. , el valor es _ _ _ _ _.
10. Como todos sabemos, los dos puntos de la parábola son los orígenes de coordenadas. Si el centro vertical de la parábola es exactamente el foco de la parábola, la ecuación de la recta es _ _ _ _ _.
11. La recta que pasa por el punto (0, 1) corta los dos puntos. Si la abscisa del punto medio es, entonces _ _.
12. Se sabe que la recta y la parábola se cortan en dos puntos, por lo que las coordenadas del punto medio del segmento de recta son _ _ _ _ _.
Tres. Responde la pregunta:
13. Dado que el vértice de la parábola está en el origen, el eje de simetría es el eje y la distancia desde un punto de la parábola al foco es 5, encuentra la ecuación de la parábola.
14. La cuerda de la parábola que pasa por el punto (4, 1) es exactamente bisecada. Encuentra la ecuación de la recta.
15. Establecer punto f (1, 0), punto m en el eje, punto en el eje, y.
(1) Cuando un punto se mueve sobre el eje, encuentre la ecuación de trayectoria del punto;
⑵ Suponga que son tres puntos en la curva, formando una secuencia aritmética. Encuentre las coordenadas de estos puntos cuando la perpendicular corta el eje en E (3,0).
Prueba sintética
1. Preguntas de opción múltiple:
1. (Shanghai, 2005) Dibujar una línea recta que pase por el foco de la parábola y la corte. parábola en dos puntos La suma de las abscisas es igual a 5, entonces esa línea recta ().
R. Sólo uno. b. Sólo dos.
C. Hay infinitas D que no existen.
2. (2005 Jiangsu) Si la distancia desde un punto de la parábola al foco es 1, entonces la ordenada del punto es ().
A. 0 aC
3. (2005 Liaoning) Se sabe que el centro de la hipérbola está en el origen y la excentricidad. Si una de sus directrices coincide con la directriz de la parábola, entonces la distancia desde la intersección de la hipérbola y la parábola hasta el origen es ().
A. 21 aC
4. (2005 País ⅰ) Se sabe que una directriz de la hipérbola coincide con una directriz de la parábola, entonces la excentricidad de la hipérbola es ( ).
A.B.C.D.
5. (2004) Supongamos que la directriz de la parábola corta al eje en un punto. Si la recta que pasa por este punto y la parábola tienen un punto común, el rango de la pendiente de la recta es ().
A.B.C.D.
6. (2006 Shandong) El punto en movimiento es el punto de la parábola y es el origen. Si se obtiene el valor mínimo en ese momento, el valor mínimo es ().
A.B.C.D.
7. (2004 Beijing) En la sección axial de una copa, la curva de la pared interior de la copa satisface la ecuación parabólica. Si se coloca una pelota pequeña en una taza, el rango del área de superficie de la pelota es ().
A.B.C.D.
8. (Beijing, 2005) Si la directriz de la parábola es , y la recta y la parábola se cortan en dos puntos, entonces la suma de las distancias del punto a la directriz es ( ).
A.8 B. 7 C. 10 D. 12
2. Completa los espacios en blanco:
9. en una curva Un punto en movimiento, entonces el valor mínimo de la suma de la distancia de un punto a otro y la distancia de un punto a un eje es _ _ _ _ _.
10. (Beijing, 2005) Si la cuerda que pasa por el foco de la parábola y es perpendicular al eje es , y el diámetro del círculo es , entonces la relación posicional entre el círculo y la directriz de la parábola es _ _ _ _ _, el área del círculo es _ _ _ _ _.
11. (Liaoning, 2005) Dada una cuerda de la parábola, la coordenada de la intersección de la recta y el eje es (0, 2), entonces _ _ _ _ _.
12. (Huang Gang, 2004) Se sabe que el foco de la parábola está en una línea recta. Ahora la parábola se traslada a lo largo del vector y el foco de la parábola se mueve a lo largo de la línea recta hasta este punto, entonces la longitud de la cuerda de la parábola interceptada por el eje después de la traslación es _ _ _ _ _.
Tres. Responde la pregunta:
13. (Shandong, 2004) Se sabe que el foco de la parábola C: es una recta que pasa por un punto fijo y corta a la parábola en dos puntos.
(1) Si un círculo con una cuerda como diámetro pasa por el origen, entonces el valor de
(2) Bajo la condición de (1), si, encuentre; la ecuación de trayectoria del punto en movimiento.
14. (2005 Sichuan)
Como se muestra en la figura, es el foco de una parábola. El punto es un cierto punto en la parábola. en la parábola. El valor mínimo es 8.
(1) Resuelve la ecuación parabólica;
(2) Si es el origen de las coordenadas, pregunta si existe un punto tal que la recta de movimiento que pasa por el El punto intersecta la parábola en dos puntos. En caso afirmativo, encuentre las coordenadas del punto en movimiento. Si no, explique el motivo.
15. (Henan, 2005) Se sabe que la parábola es el vértice y el foco. La recta en movimiento corta a la parábola en dos puntos. Si siempre hay un número real, entonces.
(1) Buscar;
(2) Encontrar la ecuación de trayectoria del punto satisfactorio.