El realismo admite que los objetos matemáticos existen independientemente de nuestros pensamientos, mientras que el antirrealismo cree que los objetos matemáticos no existen o existen independientemente de nuestros pensamientos, y el nominalismo afirma que los objetos matemáticos no existen en absoluto. . existir. Esta clasificación parece ser aceptada por la mayoría de los autores.
El debate entre realismo matemático y antirrealismo matemático es el foco de debate en la filosofía matemática del siglo XX. Históricamente, el debate contemporáneo entre realismo matemático y antirrealismo matemático está relacionado y es diferente del debate entre realismo y nominalismo en la filosofía occidental tradicional. En primer lugar, los objetos matemáticos abstractos son diferentes de los llamados universales o ideas de la filosofía occidental tradicional. Tanto el universo como las ideas están relacionados con algo específico y pueden verse como una representación o abstracción de algo específico.
Por ejemplo, Platón imaginó que los círculos perfectos realmente existen, y que esos círculos imperfectos específicos en el mundo material son solo sombras de círculos perfectos. Por el contrario, también podemos decir que el llamado círculo perfecto es, en cierto sentido, la representación o abstracción de un círculo concreto e imperfecto. Sin embargo, si el universo es finito y discreto, entonces el círculo perfecto en la geometría euclidiana en realidad no tiene "sombra" en el mundo material. Del mismo modo, esos números muy grandes pueden no ser representaciones o abstracciones de nada concreto real en el universo o sus cantidades físicas. Por no hablar de esos espacios funcionales abstractos, espacios topológicos, cardinales infinitos e incluso cardenales grandes, etc. , no tienen "sombra" en el mundo material, ni son abstracciones directas de ninguna cosa específica o de sus propiedades.
Son diferentes de los puntos en común o ideas de la filosofía tradicional. El platonismo, el realismo y el nominalismo en la filosofía tradicional se refieren a teorías que afirman o niegan la existencia independiente de ideas universalistas. Por tanto, el realismo o platonismo en la filosofía matemática moderna trasciende el realismo y el platonismo en el sentido tradicional. El realismo en la filosofía matemática moderna consiste en afirmar la realidad objetiva de un mundo matemático abstracto que es completamente independiente del mundo material y no tiene similitud con el mundo material. Esto se debe a algunas características sin precedentes de las matemáticas modernas, es decir, los objetos de los que hablan las matemáticas modernas no son simples abstracciones de cosas específicas. Su visión va mucho más allá de cualquier cosa específica del mundo material, y no puede haber ninguna "sombra". en el mundo material.
Las características de las matemáticas modernas hacen que el debate entre realismo y antirrealismo sea más agudo y significativo.
Esta característica de las matemáticas modernas agudiza el conflicto entre realismo y antirrealismo, y también hace que los problemas antes mencionados que enfrentan el realismo matemático puro y el antirrealismo puro sean más prominentes.
Por un lado, si una cosa abstracta, como un universal o una idea, es sólo un representante de una cosa concreta correspondiente, o la cosa concreta correspondiente es "abstracta" en cierto sentido, entonces Los realistas podrían decir que afirmar la existencia de cosas abstractas no es tan increíble. Podrían decir que podemos entender las cosas abstractas a través de las cosas concretas, y entonces se podrán responder los problemas epistemológicos de las cosas abstractas.
Por el contrario, los antirrealistas también pueden decir que cuando hablamos de las llamadas cosas abstractas, simplemente adoptamos una cierta manera de hablar de las correspondientes cosas concretas, en lugar de afirmar realmente esas llamadas cosas. cosas abstractas. En otras palabras, el llamado círculo perfecto de Platón es sólo una ilusión. Simplemente imaginamos un círculo tan perfecto como muchos círculos imperfectos en el mundo real, y los llamados círculos perfectos en nuestra geometría deben entenderse como conclusiones correspondientes (aproximadas) sobre varios círculos imperfectos.
Por lo tanto, los antirrealistas pueden creer que la afirmación de que los universales y las ideas existen independientemente de cosas específicas no tiene un significado real y no puede contribuir a nuestro conocimiento real, sino que es sólo la teoría de algunos filósofos. filosofía. En otras palabras, la cuestión de si los universales y las ideas son independientes de esas cosas específicas se basa en un mal uso del lenguaje y es una cuestión de mucho ruido y pocas nueces.
Sin embargo, las matemáticas modernas parecen estar hablando de objetos matemáticos abstractos que son completamente independientes y no tienen ninguna similitud con cosas concretas, y se considera que las matemáticas proporcionan la base más confiable para el conocimiento y la ciencia.
La verdad matemática se considera la verdad más fiable. Muchos de nuestros respetados matemáticos y científicos parecen sostener esta creencia.
Todos ellos parecen apoyar el realismo y muestran que el realismo parece ser una creencia confirmada por la práctica científica, no sólo el resultado de los engaños de algunos filósofos, sino también una creencia basada en una mala comprensión del lenguaje.
Por otro lado, los objetos estudiados por las matemáticas modernas, especialmente los objetos infinitos y las estructuras matemáticas abstractas, van mucho más allá de la simple abstracción de las cosas concretas del universo y no tienen ninguna similitud con las cosas concretas. Es difícil decir que podemos entender esos infinitos objetos matemáticos abstractos a través de cosas concretas limitadas. Como mínimo, sería necesario construir una teoría filosófica compleja para explicarlo.
Además, no podemos evitar hablar de objetos matemáticos como números reales, funciones y espacios topológicos (porque no hay nada lo suficientemente similar a ellos en el mundo físico) del mismo modo que evitamos hablar de círculos perfectos (pero sólo los círculos imperfectos en el mundo físico pueden reemplazarlos).
Así, estas dos características de las matemáticas modernas, a saber, su fundamento científico y su trascendencia (al menos superficial), no sólo fortalecen el argumento a favor del realismo sino que también aumentan el problema de resolver la epistemología realista. del problema. Esto nos lleva a creer que realmente algo está sucediendo aquí, y no sólo una cuestión de mucho ruido y pocas nueces imaginadas por algunas mentes confusas.
——La filosofía matemática de Ye Feng en el siglo XX