Recientemente regresé a mi ciudad natal para cuidar mi salud. Paseaba a mi perro y leía novelas. No actualizaba mucho y, por supuesto, no estudiaba mucho. Eso, había pasado una semana... Bueno, esto realmente no es bueno. A continuación, la frecuencia de actualizaciones se restablecerá a dos o tres artículos por semana. Como soy el único que escribe esto, la eficiencia no es muy alta, así que perdóneme.
Como no he leído ningún mensaje en los últimos días, un compañero de clase en el fondo de WeChat me pidió que buscara libros, pero no pude responder después de más de 48 horas. qwq se disculpa por esto. Amigo, y si lo ves, puedes agregarlo directamente. Mi amigo ~ otros compañeros de clase que quieran encontrar libros también pueden agregarme directamente en WeChat... Después de todo, si no es un libro electrónico gratuito, se puede encontrar. En línea, los libros de la Alianza de Bibliotecas Nacionales cuestan básicamente tres yuanes por libro, y usted paga usted mismo hhh... Taobao generalmente acepta. Cada libro cuesta cinco yuanes. Creo que los dos yuanes son la tarifa laboral... Así que no es que tenga. para cobrar tres yuanes, es el sitio web el que cobra tres yuanes...
Bien, sin más preámbulos, hoy hablemos de otro modelo de evaluación: un modelo de evaluación integral difuso.
Permítanme decirles de antemano que esta es la primera vez que entro en contacto con este conocimiento. Es posible que no pueda explicar bien los principios. Anotaré bien el proceso de solicitud.
(En cuanto al método de ponderación de entropía mencionado en el artículo anterior, también está el análisis de correlación de grises mencionado anteriormente, lo agregaré más adelante)
Primero, expliquemos lo siguiente " Matemáticas difusas”, las matemáticas difusas son una teoría y un método matemático para estudiar y procesar fenómenos difusos. En la vida real existen muchos conceptos que son difíciles de describir con conjuntos deterministas. Por ejemplo, en el concepto de "joven", ¿constituyen jóvenes entre 15 y 30 años o entre 18 y 25 años? Para este tipo de cuestiones, todos pueden tener puntos de vista diferentes y es difícil dar un rango preciso. Podemos entenderlo como un concepto vago.
Los conceptos de grande y pequeño, largo y corto, belleza y fealdad que a menudo se mencionan en la vida son todos conceptos vagos. De hecho, es bastante fácil de identificar. Puedes preguntarte: ¿qué tan grande es demasiado grande? ¿Qué tan pequeño es demasiado pequeño? ¿Cuánto tiempo es largo? Esta pregunta parece un poco arrogante, pero precisamente porque no hay un rango preciso, solo podemos hacer esta pregunta. En correspondencia con este concepto vago, existen conceptos deterministas. Por ejemplo, el género, en términos generales, es masculino o femenino, y básicamente existe una base precisa para la clasificación; otro ejemplo es la altura, que se mide como 180 o 190. Es muy exacto y no hay mucha ambigüedad. Tenga en cuenta que "altura" es un concepto determinista, mientras que "altura" es un concepto difuso. Piénselo hhh
Las matemáticas difusas se utilizan para resolver problemas que involucran conceptos difusos. Intente utilizar algún tipo de este método. Cuantifica conceptos difusos para facilitar el procesamiento y el cálculo. La evaluación integral difusa es naturalmente una aplicación importante de las matemáticas difusas en problemas de evaluación, es decir, se ocupa de problemas de evaluación que involucran conceptos difusos.
De hecho, también se puede encontrar que uno de los núcleos de los problemas de evaluación es cuantificar varios indicadores de evaluación, y luego ponderarlos y sumarlos, etc. Básicamente, no son muy diferentes, y el difuso modelo de evaluación integral Lo mismo es cierto, no es demasiado difícil de entender y practicar. (Esto solo se refiere al modelo de evaluación con el que he entrado en contacto. Aquellos que estén demasiado avanzados no lo sabrán)
Para explicar mejor los modelos posteriores, es necesario introducir algunos conceptos relacionados en matemáticas difusas.
Primero, repasemos la colección clásica. En la escuela secundaria nos presentaron el concepto de conjunto: una colección de cosas que comparten las mismas propiedades. Este tipo de conjunto clásico tiene algunas propiedades básicas, como la certeza. Dado un conjunto y cualquier elemento, este elemento pertenece a este conjunto o no pertenece a este conjunto. No existe un tercer caso.
En el modelo de evaluación integral difusa, no usamos este conjunto clásico porque estamos tratando con conceptos difusos, por lo que necesitamos usar conjuntos difusos. Los conjuntos difusos son conjuntos que se utilizan para describir conceptos difusos. Una de las diferencias entre ellos y los conjuntos clásicos es que los conjuntos difusos no son deterministas. Por ejemplo, a los 35 años podemos considerarlo "joven" o "de mediana edad". No existe una definición precisa.
Por tanto, no somos como los conjuntos tradicionales, donde un elemento o pertenece a un conjunto o no. Usamos "grado de membresía" para representar la relación entre elementos y conjuntos difusos, es decir, el grado en que los elementos pertenecen a conjuntos difusos. Cuando se habla del grado de membresía, es necesario mencionar la función de membresía, que es un concepto muy importante.
En pocas palabras, la función de membresía es la función del grado de membresía de cada elemento. El dominio es el elemento que estamos estudiando y el valor de la función es el grado de membresía. El rango de membresía es y cuanto mayor sea el valor, más pertenece a este conjunto. (La función de membresía en realidad no se describe de acuerdo con el dominio de definición y el rango de valores. Esto es solo para facilitar la comprensión de qwq)
Dé un ejemplo simple. Cuando queremos medir el concepto de "juventud", no podemos trazar directamente una línea entre 0 y 150 años para distinguir a los jóvenes de los no jóvenes. Por lo tanto, para cada edad entera entre 0 y 150, damos un valor correspondiente, es decir, el grado de membresía, para determinar su relación con el conjunto "joven". Para dar ese valor de manera más conveniente, diseñamos una función, una función de membresía, cuyo dominio es el elemento que queremos estudiar; aquí, un número entero entre 0 y 150. La función de membresía se define de la siguiente manera.
Entre ellos, A representa el conjunto difuso, aquí es el conjunto de "jóvenes" y x representa los elementos del conjunto, es decir, la edad entre 0-150. Podemos dibujar la función. imagen.
Se puede encontrar que cuando la edad es menor de 20 años, el grado de pertenencia correspondiente es 1, es decir, pensamos que quienes tienen menos de 20 años deben pertenecer a la categoría joven; la edad está entre 20 y 40 años, el grado de membresía aumenta con la edad y gradualmente se vuelve menor a medida que aumenta la edad cuando la edad es mayor a 40 años, creemos que está básicamente fuera de la categoría de jóvenes, y los grados de membresía; son todos 0. Si una persona tiene 30 años, no podemos determinar si es joven, pero usamos el grado de membresía de 0,5 y creemos que 30 años tiene un 50% de grado de que pertenece a la categoría joven, y un 50% de grado de que no. No pertenece a la categoría joven. 0,5 mide el grado en que la edad de 30 años pertenece al conjunto joven, expresando la relación entre los 30 años y los "jóvenes".
También podemos entender el grado de membresía desde la perspectiva de la probabilidad. En la vida real, la determinación del grado de membresía a menudo se logra mediante encuestas. Por ejemplo, pregunte a 100 personas si 30 son jóvenes. Si 40 personas responden que sí, su grado de membresía se puede determinar como Cuanto mayor sea el número total de encuestas, más se acercará este valor al verdadero grado de membresía. ¿Es similar a "la frecuencia se acerca a la probabilidad"? En cuanto a la función de membresía anterior, se construyó a voluntad solo para facilitar la comprensión. No es equivalente a los resultados reales de la encuesta, pero aún refleja los pensamientos subjetivos del constructor. De hecho, la función de membresía no es única. Diferentes personas y muestras de diferentes tamaños pueden obtener diferentes funciones de membresía.
Bueno, los conceptos básicos, es decir, conjuntos difusos, funciones de membresía y grados de membresía, se han popularizado hasta ahora. Como no he estado expuesto a ellos durante mucho tiempo, es posible que no pueda hacerlo. explíquelo de forma clara y precisa. En pocas palabras, el grado de membresía que entiendo es el grado en que un elemento pertenece a un determinado conjunto difuso, y la función de membresía es la función utilizada para determinar el grado de membresía, eso es todo. No hay que preocuparse demasiado, siempre y cuando no afecte a la aplicación concreta más adelante.
En términos generales, existen tres tipos principales de conjuntos difusos: pequeños, intermedios y grandes. De hecho, es similar a los indicadores extremadamente grande, extremadamente pequeño, intermedio y de intervalo del método TOPSIS, y no tiene nada de especial. Por ejemplo, "joven" es un conjunto difuso relativamente pequeño, porque cuanto más joven es la edad, mayor es el grado de membresía, y cuanto más "joven" es un conjunto difuso relativamente grande, mayor es la edad; cuanto mayor sea el grado de pertenencia, cuanto mayor sea el grupo, más "joven" será; mientras que "de mediana edad" es un conjunto intermedio, sólo cuando la edad esté en un determinado rango intermedio, el grado de pertenencia será mayor. En resumen, es considerar la relación entre "elemento" y "grado de membresía". Para usar otra analogía, es considerar la monotonicidad de la función de membresía. La siguiente imagen puede representar las imágenes de la función de membresía de los tres conjuntos difusos de "jóvenes", "de mediana edad" y "viejos". Eche un vistazo y comprenderá lo que quiero decir.
¿Por qué necesitamos conocer la clasificación de los conjuntos difusos? Porque en el modelo de evaluación integral difusa, es necesario determinar si el concepto difuso correspondiente es grande, pequeño o intermedio, y luego usar la función de membresía correspondiente para encontrar el grado de membresía apropiado.
Nótese nuevamente que no importa qué tipo de conjunto difuso sea, cuanto mayor sea el grado de membresía, mayor será el grado de pertenencia a este conjunto.
Las anteriores son solo tres comunes. De hecho, si lo piensas bien, sabrás que debe haber muchas formas, siempre que un elemento corresponda a un grado de membresía y el rango esté entre. . Los tres anteriores son sólo los tres más comunes y también son los tipos de conjuntos difusos que suelen estar implicados en los problemas de evaluación.
Por supuesto, todavía puede haber algunas preguntas. Por ejemplo, para los conjuntos de "jóvenes" y "viejos", consideramos la edad como el elemento de nuestra investigación, y la edad se puede cuantificar en números. De manera similar, el concepto difuso de rápido y lento puede usar cuantificación de velocidad, profundo y superficial puede usar cuantificación de profundidad, y así sucesivamente. Entonces, ¿cómo podemos cuantificar la belleza y la fealdad? No sé sobre esto... No creo que exista una variable común que pueda usarse para cuantificar la belleza y la fealdad. En los modelos de evaluación generales, este tipo de trampas no deberían estar involucradas (no, no, no). . Si está interesado, compruébelo usted mismo...
Determinar la función de membresía es en realidad dar un conjunto difuso y luego usar algunos métodos para dar la membresía relativa de los elementos que necesitamos estudiar. al conjunto difuso. Por ejemplo, para el conjunto difuso "joven", tenemos que encontrar una manera de determinar el grado de membresía de cada edad entre 0 y 150 años en relación con el conjunto "joven", y dibujar una imagen, que es la imagen del función de membresía.
Existen tres métodos específicos para determinar la función de membresía.
1. Método estadístico difuso
El principio del método estadístico difuso es encontrar varias personas para describir el mismo concepto difuso y utilizar la frecuencia de membresía para definir el grado de membresía. De manera similar a cuando encontramos la probabilidad, podemos usar la frecuencia para aproximar la probabilidad. Por ejemplo, como mencionamos anteriormente, queremos saber el grado de membresía de los de 30 años en relación con los "jóvenes", y luego preguntarle a alguien. Si uno de ellos piensa que los de 30 años pertenecen a la categoría de "jóvenes", entonces. puede ser utilizado Como el grado de afiliación de 30 años en relación con "jóvenes". Cuanto mayor sea, más realista y precisa será esta estimación. Sigue este método para otras edades y podrás dibujar una gráfica de función.
Bueno, este método está más en línea con la situación real, pero las encuestas a menudo se realizan mediante cuestionarios u otros medios. En las competiciones de modelos matemáticos, puede que no haya suficiente tiempo, por lo que es solo una introducción. y básicamente no se utiliza. (Pero ahora completar cuestionarios en Taobao es bastante rápido, es genial tener dinero)
2. Utilice escalas de objetivos existentes
Para algunos conjuntos difusos, podemos usar el indicador existente. como el grado de pertenencia del elemento. Por ejemplo, para el conjunto difuso de "familias acomodadas", si queremos determinar el grado de pertenencia de 100 familias, podemos utilizar el "coeficiente de Engel" para medir el grado de pertenencia correspondiente. Coeficiente de Engel = gasto total en alimentos/gasto total del hogar Obviamente, cuanto más cerca esté una familia de un nivel acomodado, menor debe ser su coeficiente de Engel y mayor será el "coeficiente 1-Engel". "Coeficiente 1-Engel" como grado de afiliación familiar en relación con "familias acomodadas". Pero esto es sólo una analogía, después de todo, para las familias ricas, el coeficiente de Engel es muy pequeño y el grado de membresía es muy grande. Sin embargo, aún está en duda si las familias ricas son "familias acomodadas".
De manera similar, para el conjunto difuso "equipo en buenas condiciones", podemos usar la tasa de integridad del equipo para medir el grado de membresía. Para el conjunto difuso "calidad estable", podemos usar la tasa genuina para medir. el grado de membresía. Cuando encuentre un problema, puede buscar primero en Baidu y es posible que encuentre un buen indicador.
Sin embargo, cabe destacar que el grado de membresía es entre , por lo que a la hora de buscar indicadores también debes prestar atención a entre . De lo contrario, se puede realizar la normalización, como se mencionó anteriormente.
Este método se puede utilizar en el modelado, dependiendo del tema específico.
3. Método de asignación
Este es un método relativamente subjetivo, es decir, basado en. Deseos subjetivos, después de determinar la clasificación del conjunto difuso, asignarle una función de membresía para obtener el grado de membresía del elemento. Suena muy subjetivo, pero también es uno de los métodos más utilizados en las competiciones. Simplemente haga una selección y podrá obtener fácilmente la función de membresía.
He pegado los formularios de funciones más utilizados a continuación.
Puede que la imagen no sea muy clara, pero básicamente se puede ver que para conjuntos difusos relativamente pequeños, la función de membresía generalmente disminuye, es decir, cuanto mayor es una determinada característica de un elemento, menor es el grado de membresía es; para conjuntos relativamente grandes, la función de membresía generalmente aumenta, es decir, cuanto mayor es una determinada característica de un elemento, mayor es el grado de membresía, para conjuntos intermedios, la función de membresía generalmente aumenta primero y luego disminuye, alcanzando el valor máximo en la parte media o en un punto determinado.
En las competiciones de modelado reales, para facilitar el cálculo, la más utilizada es la función de membresía distribuida trapezoidal (esto es lo que dijo la clase que escuché). Por supuesto, las cuestiones específicas aún deben analizarse en detalle. La función de membresía debe ser más fluida o más pronunciada, y la parte intermedia debe ser un punto para tomar el valor extremo. La decisión debe tomarse en función de la situación específica, pero en términos generales. , este es el caso.
Eche otro vistazo a la imagen de la función de pertenencia de la distribución trapezoidal.
Los anteriores son varios métodos para determinar las funciones de membresía. Existen otros métodos, como el método Delphi, el método de clasificación de comparación binaria, el método de ponderación integral, etc. Si está interesado, puede comprobarlo usted mismo.
Después de sentar las bases durante tanto tiempo, finalmente puedo usar este método para resolver el problema.
Primero todavía nos falta introducir algunos conceptos.
Por ejemplo, si queremos evaluar el desempeño de un estudiante, de acuerdo con el proceso de jerarquía analítica o método TOPSIS mencionado anteriormente, se otorgará una puntuación completa después de encontrar los indicadores, que a menudo se utiliza para comparar. Se clasificará el desempeño de varios estudiantes. Los indicadores de evaluación anteriores corresponden en realidad al conjunto de factores aquí presentados. Podemos permitir que utilice cuatro indicadores de la clase del conjunto de factores para evaluar el desempeño general de un estudiante.
El conjunto de comentarios es el resultado de la evaluación del objeto correspondiente, similar al "resultado de puntuación" mencionado anteriormente. La diferencia es que el conjunto de reseñas no es una colección de puntuaciones, sino reseñas compuestas de conceptos confusos. Por ejemplo, para evaluar el desempeño de los estudiantes, podemos establecer el comentario en . Estos tres comentarios en el conjunto de comentarios son conceptos vagos, pero cuando tratamos problemas específicos, también podemos poner la solución en el conjunto de comentarios para elegir la mejor solución.
El conjunto de ponderaciones es el peso que desea darle a cada indicador y utilizarlo para una evaluación integral, por lo que no entraré en detalles. Aquí, podemos tomar el conjunto de ponderaciones como el peso de los cuatro indicadores en el conjunto de factores.
Entonces, ¿qué problema resuelve el modelo de evaluación integral difusa? Bueno, de hecho, después de evaluar un objeto determinado utilizando los indicadores del conjunto de factores, se encuentra en el conjunto de comentarios el comentario más adecuado para él. Si los comentarios se centran en planes, se selecciona el plan más adecuado. Entonces, ¿cómo medimos este tipo de "aptitud"? Evidentemente, es el grado de pertenencia, el grado de pertenencia a un determinado conjunto difuso.
Bien, para resumir con un ejemplo, ahora tenemos un conjunto de estudiantes, un conjunto de factores, un conjunto de pesos y un conjunto de comentarios. Nuestro propósito es brindar a los estudiantes un comentario adecuado después de algunas operaciones. Entendido ~
El modelo de evaluación integral difuso de primer nivel significa que solo hay una capa de indicadores de evaluación en el conjunto de factores y no hay anidamiento de una capa tras otra. situación básica.
La solución de este problema se divide principalmente en los siguientes pasos.
Bueno, hasta ahora hemos aprendido los pasos de resolución de problemas de la evaluación integral difusa de primer nivel. Entonces también debes darte cuenta de que lo más importante es definir claramente la matriz de juicio y el vector de peso. Multiplícalos dos por uno y obtendrás el vector de membresía completo. El vector de peso se ha mencionado antes, entonces, ¿cómo encontrar la matriz de juicio o los grados de membresía en la matriz de juicio? El método para determinar la función de membresía también se menciona anteriormente. Con la función de membresía, se puede calcular el grado de membresía. En el modelado real, a menudo utilizamos el "método de asignación" para especificar una función de pertenencia que se ajuste al problema real. También se pueden utilizar otros métodos. Siempre que se conozcan la matriz de juicio y el vector de peso, el problema de evaluación básicamente está resuelto.
De hecho, los pasos para resolver el problema son bastante simples, pero hay demasiados presagios, así que escribí más. A continuación, encontraré un ejemplo de un MOOC de una universidad china para mostrar el proceso de resolución de problemas. Bueno, escribirlo todo a mano es una pérdida de tiempo, así que en su lugar publicaré fotos.
Esta es la pregunta que da la concentración de contaminantes y el peso de cada contaminante en la evaluación del nivel de calidad del aire. Determinemos el nivel de calidad del aire para este día.
La siguiente imagen son los criterios de evaluación.
La concentración de contaminantes es el conjunto de factores de esta pregunta, y los cuatro niveles de calidad del aire son el conjunto de comentarios, que también es un concepto confuso. Por ejemplo, cuando la concentración de TSP es 0,20, no podemos determinar si el nivel de calidad del aire es Nivel 1 o Nivel 2 desde la perspectiva de TSP únicamente, pero podemos determinar el grado de membresía en relación con cada nivel.
¿Cómo confirmar la membresía? Aquí podemos usar el método de asignación para especificar las funciones de membresía de cuatro conjuntos difusos, usando la función de membresía distribuida trapezoidal más comúnmente utilizada que es más consistente con el significado de la pregunta. Se puede encontrar que el "Nivel 1" debe ser un concepto pequeño y confuso, es decir, cuanto menor sea la concentración de contaminantes, mayor debe ser el grado de pertenencia al "Nivel 1" y al "Nivel 3"; conceptos intermedios. Cuando la concentración de contaminantes está en un cierto rango en el medio, el grado de pertenencia correspondiente es mayor; el "Nivel 4" es un concepto relativamente grande. Cuanto mayor es la concentración de contaminantes, mayor es el grado de pertenencia al "Nivel". 4". Después de determinar el tipo de conceptos difusos en el conjunto de revisión, podemos dar la función de membresía de distribución trapezoidal correspondiente. Como se muestra a continuación.
Corresponde al valor de cada concentración de contaminante de la tabla anterior cuando resulta ser uno, dos, tres y cuatro. Desde la perspectiva de la función de membresía, cuando la concentración de contaminantes es igual al valor de esta tabla, el grado de membresía relativo al nivel de calidad del aire correspondiente es exactamente 1. No debería ser difícil de entender, sólo piénsalo y probablemente lo entenderás.
Después de determinar la función de membresía, incorpore directamente la concentración de cada contaminante en este día a la función de membresía, podrá calcular el grado de membresía y obtener la matriz de juicio.
Con la matriz de juicio y el vector de peso, podemos calcular directamente el vector de membresía integral.
Obviamente, la calidad del aire en este día pertenece en mayor medida al segundo nivel, por lo que creemos que el nivel de calidad del aire en este día es el nivel dos.
Pues los ejemplos también están explicados. Puede ir al MOOC de la Universidad China y buscar el curso de modelado matemático de la Universidad Agrícola de Huazhong, que contiene una explicación más detallada de la evaluación integral difusa. Esta pregunta de ejemplo también es del curso. Bueno, hay otras formas de modelar.
La evaluación integral difusa de varios niveles es en realidad equivalente a varias capas más de conjuntos de factores. Por ejemplo, si tenemos que trabajar con 20 indicadores de evaluación al mismo tiempo, será problemático determinar los pesos. Entonces podemos dividir los 20 indicadores en cuatro categorías, determinar el peso de los indicadores dentro de cada categoría y luego determinar. los pesos de las cuatro categorías principales. Esto será más conveniente. Si hay muchos indicadores, se pueden incorporar varias capas más, lo que constituye una evaluación integral difusa de varios niveles.
Si observa el modelo de evaluación de estudiantes en la imagen de arriba, es un modelo de evaluación integral de dos niveles. Los números detrás de los indicadores representan el peso en el nivel correspondiente. ¿Cómo determinamos la matriz de juicio en este momento? Definitivamente no es posible determinar la matriz de juicio del primer nivel en el primer paso. Es necesario avanzar paso a paso desde el último nivel.
Por ejemplo, cuando examinamos el vector de membresía correspondiente al indicador de rendimiento académico, primero debemos examinar sus indicadores del siguiente nivel, es decir, los dos indicadores de calificaciones de cursos profesionales y de cursos no profesionales. montones.
Por ejemplo, la puntuación del curso profesional del Estudiante Z es 90. Según este indicador, el vector de membresía del Estudiante Z es y el conjunto de comentarios sigue siendo "excelente, bueno o deficiente". Luego mire los puntajes de los cursos no profesionales y obtenga un vector de membresía. Usando estos dos vectores, podemos construir una matriz, que es una matriz que representa la matriz de juicio compuesta por dos indicadores secundarios bajo el indicador de desempeño del aprendizaje. Entonces, ¿cómo obtener el vector de membresía del indicador de logro de aprendizaje de primer nivel en relación con el conjunto de comentarios? Es muy simple. ¿No existe un vector de peso? Usamos y podemos obtener un vector de, que es naturalmente el vector de membresía del estudiante Z en relación con el conjunto de comentarios desde la perspectiva del indicador de rendimiento académico. Bueno, si lo desmontamos, es sólo una suma ponderada de los grados de membresía de dos indicadores secundarios. No debería ser difícil de entender.
De manera similar, encuentre los vectores de membresía de otros indicadores de primer nivel para formar la matriz de juicio de los indicadores de primer nivel y luego ponderelos nuevamente para obtener el vector de membresía integral.
Bueno, de hecho, primero obtenemos la matriz de juicio del indicador de nivel, obtenemos el vector de membresía del indicador de nivel y luego usamos el vector de membresía del indicador de nivel para formar una matriz de juicio y obtenemos el vector de membresía del indicador de nivel... De esta manera, por analogía, se obtiene el vector de membresía del indicador de primer nivel, que es el vector de membresía utilizado para la evaluación integral.
Bueno, eso es todo~
En cuanto a las limitaciones, no hablaré de ellas, basta con conocer las condiciones de uso, no sé qué decir. Así que eso es todo, la próxima vez, adiós~
Por cierto, un recordatorio final, si desea buscar archivos PDF en su nombre, es similar al negocio en Taobao. Simplemente puede dejar un mensaje directamente en. el subprograma de mensajes en los tweets de la cuenta pública, o puedes agregarme en WeChat. Si respondes en segundo plano, si no lo ves a tiempo, no podrás responder después de 48 horas. Bueno, no hay tarifa de mano de obra. Tienes que pagar tú mismo los tres yuanes por el sitio web.
Arriba.