1, se sabe que n es un entero positivo, 2n+1 y 3n+1 son cuadrados perfectos, entonces:
n=40,
5n +3=5*43=203
Porque 203=29*7, no es un número primo.
¿Entonces no existe tal número n;? ##
2. Supongamos que m es un número entero. La ecuación MX 2+2 (m-5) x+m-4 = 0 sobre x tiene una raíz entera. (m=-18)
= = & gtdelta:=[2(m-5)]^2-4m(m-4)=100-24m
Fórmula original Solución : x = [-2 (m-5) √ (100-24m)]/2m.
=-1+[5√(25-6m)]/m
=-1+{5 √[5^2+(-6m)]}/m?
Para que √[5 ^ 2+(-6m)]} sea un número entero,
= = & gt5 ^ 2+(-6m) debe ser un número cuadrado completo.
= = & gtDe la cuenta de Pitágoras 5-12-13, obtenemos
-6m=12^2=144
m = -18;
= = >? x =-1+{ 5 √[5^2+(-6*-18)]}/(-18)
=-1+{5?√[5^2+12^] }/(-18)
=-1+(5 ?13)/(-18)
Hay una raíz entera: =-1+(5+13)/ ( -18)=-2;
3. Si para un número natural n no menor que 8, cuando 3n+1 es un número cuadrado perfecto, n+1 se puede expresar como la suma de k perfectos. cuadrados, entonces el valor mínimo de k es (?1?)
a, 1? b, 2C, 3D, 4
Solución:
Cuando 3n+1 es un número cuadrado perfecto,? N+1 se puede expresar como la suma de k cuadrados perfectos,
Un número natural n no menor que 8, donde n=8, tiene:
3*8+1= 25 es un número cuadrado completo;
n+1 = 8+1 = 9;
9=3^2=2^2+2^+1^2;
Entonces el mínimo K = 1;?
4. Si m 2 = n+2, n 2 = m+2 (m no es igual a n), entonces el valor de m 3-2mn+n 3 es (?0?)
a, 1B, 0C, 1D, 2
Solución: m 2 = n+2, n 2 = m+2, restar las dos expresiones: (m2-N2)=- ( m-n)= > m+n =-1;
M 2 = n+2, n 2 = m+2, suma las dos expresiones: (m2+N2)=(m+n) + 4 = = > m^2+n^2=3;
Porque: m+n =-1 = = & gt; p>
= = >? m^2+n^2+2mn=1
= = & gt? mn=[1-(m^2+n^2)]/2=(1-3)/2=-1;
m+n =-1 = = & gt; )^3=(-1)^3
= = & gt? m^3+n^3+3mn(m+n)=-1
= = & gt? m^3+n^3=1-3mn(m+n)=1-3*(-1)(-1)=-2;
Entonces: m3-2mn+n3 =-2 -2 *(1)= 0;? ##
5. Supongamos que N = 23x + 92y es un número cuadrado perfecto y N no excede 2392, entonces hay _2115_ pares de todos los pares de enteros positivos (x, y) que satisfacen las condiciones anteriores. .
Solución: ¿Porque N=23x+92y?
= = & gty=-x/4+N/92
Porque n no excede 2392
Entonces n/92 < = 2392/92 = 26 ;
Por el contrario, el rango de valores posible de N/92 (26, 25, 24, 23, 22..., 3, 2, 1) es: sólo cuando N/92=23, N/92=23.
= = & gtN=2116=46*46, que es un número cuadrado completo.
= = & gty=-X/4+2116
Es decir, encontrar la solución entera positiva (X, y) en la recta y=-X/4+2116 .
= = & gtits solución general para enteros positivos:? (X=4K, Y=2116-K), donde (K es un número natural, K=1, 2, 3,, n).
Para hacer que Y=2116-k sea un entero positivo,
= = & gty = 2116-k > K=2115? ;
Entonces * * * hay 2115 enteros positivos (x, y); ##
6 en el sistema de coordenadas plano rectangular xOy, tomamos la abscisa como un número entero y los puntos verticales cuyas coordenadas son números cuadrados perfectos se llaman "puntos buenos". Encuentre las coordenadas de todos los "puntos buenos" en la imagen de la función cuadrática Y = (x-90) 2-4907.
(¡Si "4907" en la pregunta "Y = (X-90) 2-4907" es incorrecto, verifíquelo cuidadosamente y modifíquelo!)
7. Conocido Las raíces de la ecuación x 2-6x-4n 2-32n = 0 son todas enteras Encuentra el valor del número entero n..
Solución: = = & gtdelta:=6^2-4. (-4n^ 2-32n)=36+4(4n^2+32n)
Solución a la fórmula original: x = 6 √ [36+4 (4n 2+32n)]/2.
=3 √(4n^2+32n+9)
Para que x sea un número entero,
= = & gt4n 2+32n+ 9 debe ser un número cuadrado completo.
= = & gtObtener: Tomar 4n^2+32n+9 = (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64,..., n^2).
4n^2+32n+9=9
= = & gtn = 0; ##
8. Puntos en BC, CA y AB de ABC, BD: DC = 1, Ce: EA = 2, AF: FB = 3, S△ABC=24, encuentra el área de △DEF.
Solución:
(1) Encuentre S3
△ABC, △AFC y △BFC tomen AB como base, pasen por el punto C y tengan la misma altura Supongamos que porque h
hay: AB*H=? s△ABC;
FB*H=? s△BFC;?
Dividir dos fórmulas: S△BFC=FB/AB*? s△ABC;
¿Porque FA? :FB = 3;? = = & gtAB:FB = 4;
Entonces:S△BFC=FB/AB*? s△ABC = 1/4 * 24 = 6;
En △BFC, d es el punto medio de BC, entonces:
Las áreas de S3 y S△DFC son iguales, = = >? S3=? s△BFC/2 = 6/2 = 3;
②¿Encontrar S2, S1?
△ABC, △ABE y △BEC tienen AC como base y pasan por el punto B. Sus alturas son las mismas, por lo que se establecen en Hb.
Entonces hay: AC*Hb=? s△ABC;? - (*)
AE*Hb=? s△Abe;? - (**)
CE*Hb=? s△BEC;? - (***)
Dividir entre (*) y (* *): S△ABE=AE/AC*? s△ABC;
Dividir entre (*) y (* * *): S△BEC=CE/AC*? s△ABC;
¿Porque CE:AE? =2;? = = & gtAE:AC = 1/3;
= = & gtCE:AC = 2/3;
Entonces: S△ABE=AE/AC*? s△ABC = 1/3 * 24 = 8;
S△BEC=CE/AC*? s△ABC = 2/3 * 24 = 16;
En △ABE, f es el punto (3:1) de AB, entonces: (De manera similar, las alturas son iguales y los fondos son diferentes)
La relación del área de S2 a S△DFC = la relación de la base = AF/FB = 3:1.
= = >? S2 y? La relación de S△ABE = 3/4;
= = & gt? S2=? s△ABE * 3/4 = 8 * 3/4 = 6;
¿Similar S1=? s△BEC * 1/2 = 16 * 1/2 = 8;
Entonces s△def = s△ABC-s 1-S2-S3 = 24-8-6-3 = 7;# #
9. Supongamos que A ^ 2+1 = 3a, B ^ 2+1 = 3b, a≠b, entonces la expresión algebraica (1/A ^ 2)+(1/B ^ 2) El valor de es (?B=7?)
a, 5B, 7C, 9D11
Solución: A 2+1 = 3a, B 2+1 = 3b resta.
= = & gta^2-b^2=3(a-b)
= = & gt(a-b)(a+b)=3(a-b),? Y a≠b,
= = & gta+b=3(1)
A 2+1 = 3a, B 2+1 = 3b.
= = & gta^2+b^2+2=3(a+b)
= = & gta^2+b^2=3*3-2= 7; (2)
Porque (1) a+b=3.
= = & gt(a+b)^2=3^2=9
= = & gta^2+b^2+2ab=9;
= = & gt? 2ab=9-(?a^2+b^2)=9-7=2;
= = & gt? ab = 1;;?
Entonces (1/a2)+(1/B2)=(a2+B2)/(?ab)^2=7/1=7;? ##