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Seleccionado para la final de matemáticas del examen de ingreso a la escuela secundaria de 2008
1 (08 Putian, Fujian) 26. (14) Como se muestra en la figura, la parábola pasa por tres puntos: A (-3, 0), B (0, 4), C (4, 0).
(1) Encuentra la fórmula analítica de la parábola.
(2) Se sabe que AD=AB (D está en el segmento de línea AC), hay un punto en movimiento P que se mueve desde el punto A a lo largo del segmento de línea AC a una velocidad de 1 unidad de longitud por segundo; al mismo tiempo, otro punto A en movimiento Q se mueve desde el punto B a lo largo de la línea BC a cierta velocidad. Después de moverse durante t segundos, la línea PQ se divide verticalmente por BD para encontrar el valor de t;
(3) En el caso de (2), ¿hay un punto m en el eje de simetría de la parábola? ¿Eso minimiza el valor de MQ MC? Si existe solicitar las coordenadas del punto m; si no existe explicar el motivo.
(08 Análisis de la pregunta 26 de Fujian Putian) 26(1) Solución 1: Sea la fórmula analítica de la parábola y=a(x 3)(x-4).
Debido a que B (0, 4) está en la parábola, 4=a(0 3)(0-4) se resuelve para obtener a=-1/3.
Entonces la fórmula analítica de la parábola es
Solución 2: Supongamos que la fórmula analítica de la parábola es,
Según el significado de la pregunta: c =4 y resuélvelo.
Entonces la fórmula analítica de la parábola es
(2) Conectar DQ, en rt delta AOB,
Entonces AD=AB=5, AC=AD CD =3 4=7, CD = AC-AD = 7–5 = 2.
Debido a que BD divide PQ verticalmente, PD=QD, PQ⊥BD, entonces ∠PDB=∠QDB.
Porque AD=AB, ∠ABD=∠ADB, ∠ABD=∠QDB, entonces DQ‖AB.
Entonces ∠CQD=∠CBA. ∠CDQ =∠cab, entonces △CDQ∽△cab.
Es decir,
Entonces AP = ad–DP = ad–dq = 5 –=,
Entonces el valor de t es
(3) Hay un punto M en el eje de simetría que minimiza el valor de MQ MC.
Razón: Debido a que el eje de simetría de la parábola es
Por lo tanto, A (-3, 0) y C (4, 0) son simétricos respecto de una recta.
Si la intersección que conecta AQ está en el punto M, el valor de MQ MC es el más pequeño.
q es el eje QE⊥x, en el punto e, por lo que ∠QED=∠BOA=900.
DQ‖AB, ∠BAO=∠QDE, △DQE∽△ABO
Es decir,
Entonces QE=, Alemania=, entonces OE = OD Alemania =2 =, entonces Q(,).
Supongamos que la fórmula analítica de la recta AQ es
Entonces la siguiente es
Por lo tanto, la fórmula analítica de la recta AQ es simultánea.
Por lo tanto, m
Entonces: existe un punto m en el eje de simetría que minimiza el valor de MQ MC.
2. (08 Gansu Baiyin y otras 9 ciudades) 28. (12 puntos) Como se muestra en la Figura 20, en el sistema de coordenadas cartesiano plano, el cuadrilátero OABC es un ángulo recto y las coordenadas del punto B son (4, 3). Una recta M paralela a la diagonal AC parte del origen O y se mueve a lo largo de la dirección positiva del eje X a una velocidad de 1 unidad de longitud por segundo. Ambos lados de la recta M y el ángulo recto OABC se establecen por separado. .
(1)Las coordenadas del punto A son_ _ _ _ _ _ _ _, y las coordenadas del punto C son_ _ _ _ _ _ _ _;
(2) Cuando t = segundos o segundos, Mn = AC
(3) Sea S el área de △OMN y encuentre la relación funcional entre S y T;
(4) En (3) ¿La función S obtenida tiene un valor máximo? En caso afirmativo, encuentre el valor máximo; en caso contrario, explique el motivo.
(08 Análisis de 28 preguntas en 9 ciudades incluyendo Baiyin, Gansu) 28. La puntuación total de esta pregunta es 12.
Solución: (1) (4, 0), (0, 3 puntos
(2) 2, 4 puntos
( 3) Cuando 0 < t ≤ 4, OM = t .
De △OMN∽△OAC
∴ON=, s = .6 puntos
Cuando 4 < t < 8,
Como se muestra en la figura, od = t, ∴ ad = t-4.
Método 1:
De △DAM∽△AOC, podemos obtener AM=, ∴BM = 6-.7 puntos.
De △BMN∽△BAC, BN==8-t, podemos obtener ∴ CN = t-4,8 puntos.
S=Rectángulo área OABC-área Rt △área OAM-Rt △área MBN-Rt △NCO.
=12 - (8-t)(6-)-
= .10 puntos
Método 2:
Fácil de saber que el cuadrilátero ADNC es un paralelogramo, ∴CN=AD=t-4, bn = 8-t.7 puntos.
De △BMN∽△BAC, BM==6-, podemos obtener ∴ AM = .8 puntos.
El siguiente es el mismo método que el uno.
(4) Existe un valor máximo.
Método 1:
Cuando 0 < t ≤ 4,
La apertura de la parábola S= es hacia arriba, en el lado derecho del eje de simetría t =0, S aumenta a medida que t aumenta,
∴Cuando t=4, el valor máximo de s = 6,
Cuando 4 < t < 8,
p>La apertura de la parábola ∵ S= es hacia abajo, su vértice es (4, 6), ∴ s < 6.
En resumen, cuando t=4, el valor máximo de S es 6,12 puntos.
Método 2:
∫S =
∴Cuando 0 Obviamente, cuando t=4, el valor máximo de S es 6,12 puntos. Nota: Solo cuando la respuesta a la pregunta (3) es correcta y la respuesta a la pregunta (4) es solo "máxima" y no hay otros pasos, la puntuación puede ser 1, de lo contrario, no hay puntos; se dará.