Para demostrar que x0 es nilpotente, solo necesitamos demostrar que tiene solo 0 valores propios.
Fácil de verificar, para cualquier polinomio g(x), existe g(x0)∈M.
Supongamos que x0 tiene valores propios λ1, λ2,..., λt (independientemente de los números, no hay dos iguales).
Supongamos que x0 tiene un valor propio distinto de cero, sea λ1 ≠ 0.
Considere el polinomio g(x) = (x-λ2)...(x-λt) y f(x) = xg(x), entonces f(λ1) ≠ 0.
Los valores propios de f(x0) son f(λ1), f(λ2),..., f(λt) (aquí se permiten repeticiones), todos los cuales son 0 excepto f( λ1).
Y la suma de los valores propios de f (λ 1) ≠ 0 y f (x0) ≠ 0, es decir, tr(f(x0)) ≠ 0.
Pero si y = g(x0)∈M, entonces la condición es tr(f(x0)) = tr(x0g(x0)) = 0, lo cual es una contradicción.
Entonces x0 tiene solo 0 valores propios, por lo que es una transformación lineal nilpotente.