Comparada con la conjetura de Fermat, que tardó más de tres siglos y medio en resolverse, y la conjetura de Goldbach, que tardó más de dos siglos y medio en sobrevivir, la Hipótesis de Riemann está lejos de tener sólo una registro de un siglo y medio, pero su importancia matemática es mucho mayor que estas dos conjeturas más conocidas públicamente. La Hipótesis de Riemann es el problema matemático más importante de las matemáticas actuales. Actualmente hay informes de que el profesor Opeyemi Enoch de Nigeria resolvió con éxito la hipótesis de Riemann, pero el Instituto de Matemáticas Clay no ha confirmado ni negado que el Dr. Enoch haya resuelto oficialmente el problema.
Un artículo en el sitio web arxiv señaló que el matemático alemán C.L Siegel demostró la Hipótesis de Riemann en el manuscrito de Riemann compilado en 1932. Basándose en una fórmula concluyente del manuscrito, el autor dedujo directamente que todos los puntos cero de la función ζ(s) en el área rectangular caen en la línea crítica.
La fuente de la conjetura es la Hipótesis de Riemann, que fue propuesta por Riemann en 1859. El matemático nació en 1826 en una pequeña ciudad llamada Bre Slentz, que ahora forma parte de Alemania y luego del Reino de Hannover. En 1859, Riemann fue elegido miembro correspondiente de la Academia de Ciencias de Berlín. A cambio de este alto honor, presentó un artículo titulado "Sobre el número de números primos menores que un valor dado" a la Academia de Ciencias de Berlín. Este breve artículo de ocho páginas es el "lugar de nacimiento" de la Hipótesis de Riemann.
El investigador de la hipótesis de Riemann Riemann Riemann estudió un problema que ha sido de interés para los matemáticos durante mucho tiempo, es decir, la distribución de los números primos. Un número primo es un número como 2, 5, 19, 137 que no es divisible por ningún otro número entero positivo excepto 1 y él mismo. Estos números son muy importantes en el estudio de la teoría de números porque todos los números enteros positivos mayores que 1 pueden expresarse como sus productos. En cierto sentido, su lugar en la teoría de números es similar al de los átomos utilizados para construir todo en el mundo físico. La definición de números primos es sencilla y se enseña en las escuelas intermedias e incluso en las escuelas primarias, pero su distribución es extraordinaria. Los matemáticos se han esforzado mucho, pero todavía no se comprende del todo.
Un resultado importante del artículo de Riemann es que descubrió que el secreto de la distribución de los números primos está enteramente contenido en una función especial, en particular, una serie de puntos especiales que hacen que el valor de esa función sea cero. tienen una profunda influencia en las reglas detalladas de la distribución de los números primos. Esa función ahora se llama función zeta de Riemann, y esa serie de puntos especiales se llama ceros no triviales de la función zeta de Riemann.
Lo interesante es que, aunque el artículo de Riemann tiene logros significativos, el texto es extremadamente conciso, incluso demasiado conciso, porque incluye muchos lugares donde “se omiten pruebas”. Lo aterrador es que la "prueba omitida" debería usarse para omitir pruebas obvias, pero el artículo de Riemann no lo hace. Algunas de sus "omisiones de prueba" requirieron décadas de esfuerzos por parte de matemáticos posteriores para completarlas, y algunas todavía están en blanco incluso hoy. Pero en el artículo de Riemann, además de una gran cantidad de "pruebas omitidas", también hay una proposición que él claramente admitió que no podía probar, que es la Hipótesis de Riemann. Han pasado más de 150 años desde que nació la Hipótesis de Riemann en 1859. Durante este período, era como una montaña imponente que atraía a innumerables matemáticos para escalarla, pero nadie podía llegar a la cima.
Por supuesto, si comparamos sólo en términos de tiempo, el registro de la hipótesis de Riemann está lejos de ser resuelto después de tres siglos y medio, y la hipótesis de Goldbach sigue vigente durante más de dos siglos y medio. . Pero la importancia de la Hipótesis de Riemann en matemáticas excede con creces a estas dos conjeturas más reconocidas públicamente. Según las estadísticas, hay más de 1.000 proposiciones matemáticas basadas en la Hipótesis de Riemann (o su forma extendida) en la literatura matemática actual. Si se prueba la Hipótesis de Riemann, esas proposiciones matemáticas pueden ser promovidas a teoremas; por otro lado, si la Hipótesis de Riemann es falsa, al menos algunas de esas proposiciones matemáticas serán enterradas con él;
Es extremadamente raro que una conjetura matemática esté estrechamente relacionada con tantas proposiciones matemáticas.
Teorema de Equivalencia 1901 Helge von Koch señaló que la Hipótesis de Riemann es equivalente al teorema de los números primos condicionales fuertes.
Riemann observó que la frecuencia de los números primos está estrechamente relacionada con el comportamiento de una función zeta de Riemann bien construida, ζ(). La hipótesis de Riemann afirma que todas las soluciones significativas de la ecuación ζ(s) = 0 se encuentran en una línea recta. Esto se ha demostrado en las primeras 1.500.000.000 de soluciones.
La función zeta de Riemann ζ(s) es una expresión en serie.
Continuación analítica en el plano complejo.
La razón por la que esta expresión necesita ser generalizada analíticamente es que esta expresión sólo se aplica a la parte real de S en el plano complejo, el área de Re(S)>:1 (de lo contrario, la serie no convergerá). Riemann encontró la continuación analítica de esta expresión (por supuesto, Riemann no utilizó terminología moderna de la teoría de funciones variables complejas como "continuación analítica"). Utilizando integrales de trayectoria, la función zeta de Riemann ampliada analíticamente se puede expresar como:
Aquí utilizamos notación de la literatura histórica. La integral en la fórmula es en realidad una integral de contorno alrededor del eje real positivo (es decir, comenzando desde ∞, integrando desde arriba del eje real hasta cerca del origen, integrando desde alrededor del origen hasta debajo del eje real y luego integrando desde abajo). el eje real a ∞, la distancia al eje real y el radio alrededor del origen tienden a cero). Según la notación matemática moderna, debería escribirse como:
Donde la trayectoria integral c es la misma que la anterior y rodea al eje real positivo, que se puede expresar visualmente de la siguiente manera:
γ en la fórmula La función γ (s) es una generalización de la función factorial en el plano complejo. Para enteros positivos S > 1: γ(s)=(s-1)! . Se puede demostrar que, excepto para un polo simple en s = 1, esta expresión integral es analítica en todo el plano complejo. Esta es la definición completa de la función zeta de Riemann.
Usando la expresión integral anterior, se puede demostrar que la función zeta de Riemann satisface la siguiente relación algebraica:
A partir de esta relación, no es difícil encontrar que la función zeta de Riemann satisface la siguiente relación algebraica: s=-2n El valor en (n es un entero positivo) es cero, porque sin(πs/2) es cero. El punto en el plano complejo donde el valor de la función zeta de Riemann es cero se llama punto cero de la función zeta de Riemann. Entonces s=-2n (n es un entero positivo) es el punto cero de la función zeta de Riemann. Estos ceros están distribuidos de forma ordenada y tienen propiedades simples, por lo que se denominan ceros triviales de la función zeta de Riemann. Además de estos ceros triviales, hay muchos otros ceros en la función zeta de Riemann, y sus propiedades son mucho más complejas que las de los ceros triviales, que se denominan ceros no triviales.
La Hipótesis de Riemann propone:
Todos los ceros no triviales de la función zeta de Riemann se sitúan en la recta Re(s)=1/2 del plano complejo. Es decir, la parte real de la solución de la ecuación ζ(s)=0 es 1/2.
En el estudio de la Hipótesis de Riemann, los matemáticos llaman línea crítica a la línea recta con Re(s)=1/2 en el plano complejo. Usando este término, la hipótesis de Riemann también se puede expresar como: todos los puntos cero no triviales de la función zeta de Riemann están ubicados en la línea crítica.
Verificación de conjeturas del proceso de investigación La hipótesis de Riemann fue propuesta por el matemático alemán Bernard en 1859. Implica la distribución de números primos y se considera uno de los problemas matemáticos más difíciles del mundo. Tres matemáticos holandeses, J. van de Lune, H. J. Rielette y D. T. Winter, utilizaron computadoras para probar la hipótesis de Riemann. Probaron los puntos cero de los primeros 200 millones de homógrafos y demostraron que la hipótesis de Riemann era correcta. Publicaron sus resultados en 1981 y continuaron usando computadoras para probar algunos de los ceros debajo de ellos.
Misterio del siglo 1982 11 El matemático soviético Marty Yeshevich anunció en la revista soviética "Kiberika" que utilizó una computadora para probar un problema matemático relacionado con la Hipótesis de Riemann, lo que podría demostrar que el problema es correcto, lo cual a su vez apoya la hipótesis de Riemann que probablemente sea correcta.
En 1975 Levinson del MIT demostró No (t)>: 0,3474N(T).
En 1980, el matemático chino Lou He realizó algunas mejoras al trabajo de Levinson.
Demostraron que NO(t) >: 0,35N(T).
En el artículo publicado por C.L Siegel en 1932, se encuentra la siguiente fórmula:
Según el significado geométrico. De esta fórmula y las propiedades del punto cero de la función cos, el autor dedujo directamente No (T) = N (T), lo que demuestra que todos los puntos cero en el área caen en la línea crítica.
C.L. Siegel compiló cuatro fórmulas de los manuscritos de Riemann. Tres de ellas aparecen a menudo en la literatura y los libros de texto, pero las fórmulas anteriores rara vez se mencionan en la literatura de más de 80 años, incluso el propio C.L. la función de esta fórmula. De hecho, siempre que saltemos de la teoría analítica de números y leamos los manuscritos de Riemann, podemos ver claramente que Riemann utilizó las ideas geométricas del análisis complejo para probar estrictamente la moderna "hipótesis de Riemann". Esta puede ser la mayor injusticia en la historia de las matemáticas.
201165438 El 17 de octubre, el profesor Opeyemi Enoch de Nigeria resolvió con éxito el problema matemático existente 156-Hipótesis de Riemann y recibió un premio de 10.000 dólares estadounidenses (aproximadamente 6,3 millones de RMB).
En el año 2000, el Clay Mathematics Institute incluyó la Hipótesis de Riemann como uno de los problemas matemáticos de los siete milenios.
2065438 En septiembre de 2008, Michael Atiyah anunció que probaría la hipótesis de Riemann, que sería presentada en el Heidelberg Laureate Forum el 24 de septiembre. Michael Atiyah publicó una preimpresión de su prueba de la Hipótesis (Conjetura) de Riemann.
Resultados de la investigación 2065438 El 24 de septiembre de 2008, en Heidelberg, Alemania, el famoso matemático Atiya dijo en un discurso que había demostrado la Hipótesis de Riemann.
Durante el discurso, Atia mostró la imagen de arriba y usó la prueba de contradicción de la función de Todd para demostrar que todos los ceros están en la línea crítica. Publicó este artículo de investigación, que tiene 5 páginas en total. En este artículo, con la ayuda de la constante adimensional α (constante de estructura fina) de la mecánica cuántica, Atia afirma haber resuelto la hipótesis de Riemann en el dominio complejo.
Atiya dijo que quería entender la constante adimensional en la mecánica cuántica: la constante de estructura fina. Debido a que la constante de estructura fina es aproximadamente igual a 1/137, describe la fuerza de la interacción electromagnética. Por ejemplo, en un átomo de hidrógeno, podemos decir aproximadamente que la velocidad de los electrones que orbitan alrededor del núcleo es 1/137 veces la velocidad de la luz.
Atiya señala que comprender la constante de estructura fina fue solo la motivación inicial. Los métodos matemáticos desarrollados en este proceso permiten comprender la Hipótesis de Riemann.
Finalmente, al final del artículo, Atia decía que la constante de estructura fina y la Hipótesis de Riemann se han resuelto utilizando su método. Por supuesto, solo ha resuelto la Hipótesis de Riemann en el campo de números complejos y la Hipótesis de Riemann en el campo de números racionales, y todavía necesita estudiarla. Además, con la solución de la conjetura de Riemann, Atia cree que también se espera que se resuelva la conjetura de BSD. Por supuesto, Atia ahora cree que la constante gravitacional G es una constante más difícil de entender.
En la Hipótesis de Riemann, vemos que las partes reales de los puntos cero no triviales son iguales a 1/2, lo cual es una constante sorprendente. Aunque podemos ver a partir de una simple relación de simetría por qué aparece 1/2.
1-s=s, entonces s=1/2.
Riemann (Gee Friedrich Bernhard, 1826-1866, matemático alemán) es el fundador de la geometría riemanniana. Durante su doctorado, estudió funciones complejas. Extendió el concepto habitual de funciones a funciones de valores múltiples e introdujo el concepto intuitivo de superficies de Riemann de múltiples hojas. Su tesis doctoral fue elogiada por Gauss y fue la base de su trabajo en los siguientes diez años, incluyendo: la aplicación de funciones complejas en integrales abelianas y funciones theta, la representación de funciones en series trigonométricas, los fundamentos de la geometría diferencial, etc.
La Hipótesis de Riemann fue propuesta por Riemann en 1859. En el proceso de demostrar el teorema de los números primos, Riemann propuso una conclusión: los puntos cero de la función Zeta están todos en la línea recta Res(s) = 1/2. Se dio por vencido después de que la demostración fallara porque tuvo poco impacto en su demostración del teorema de los números primos. Pero este problema aún no se ha resuelto y ni siquiera se ha demostrado una conjetura más simple que esta hipótesis.
Muchos problemas de la teoría de funciones y la teoría analítica de números se basan en la hipótesis de Riemann. La hipótesis generalizada de Riemann en la teoría algebraica de números ha tenido consecuencias de gran alcance. Si podemos probar la hipótesis de Riemann, podremos resolver muchos problemas.