一
1. Definición de secuencia
Una secuencia de números ordenados en un orden determinado se llama secuencia, y cada número de la secuencia se llama secuencia. elemento de la secuencia.
(1) De la definición de una secuencia, podemos ver que los números en la secuencia están ordenados en un orden determinado si los números que componen la secuencia son iguales pero. el orden es diferente, entonces no son la misma secuencia, como la secuencia 1, 2, 3, 4, 5 y la secuencia 5, 4, 3, 2, 1 son secuencias diferentes.
( 2) La definición de secuencia no estipula que los números de la secuencia deban ser diferentes. Por lo tanto, en la misma secuencia, pueden aparecer varios números idénticos, como: -1 a la 1.ª potencia, 2.ª potencia, 3.ª potencia. potencia, 4ª potencia,... formando una secuencia: -1, 1, -1, 1,...
(4) El elemento de una secuencia es diferente del número de sus elementos. El elemento de la secuencia se refiere a un determinado número en la secuencia, que es un valor de función, que es equivalente a f (n), y el elemento El número se refiere al número de posición de este número en la secuencia. la variable independiente, que equivale a n en f(n).
(5) El orden es muy importante para la secuencia. Hay varios números idénticos, porque están ordenados en diferentes órdenes, forman una. secuencia que no es la misma secuencia Obviamente, existe una diferencia esencial entre una secuencia y un conjunto de números. Por ejemplo: 2, 3, 4, 5 y 6 están ordenados en números diferentes. obtiene una secuencia diferente, y los elementos en {2, 3, 4, 5, 6} son el mismo conjunto sin importar cómo estén organizados.
2. Clasificación de la secuencia
( 1) Las secuencias se pueden clasificar según el número de términos en la secuencia y se pueden dividir en secuencia finita y secuencia infinita. Al escribir una secuencia, para una secuencia finita, se debe escribir el último término, como la secuencia 1. 3, 5, 7, 9, ..., 2n-1 representa una secuencia finita si la secuencia se escribe como 1, 3, 5, 7, 9, ... o 1, 3, 5, 7, 9,. ..., 2n- 1,..., representa una secuencia infinita.
(2) Según la relación de tamaño entre elementos o el aumento y disminución de la secuencia, se puede dividir en siguientes categorías: secuencia creciente, secuencia decreciente y secuencia oscilante, secuencia constante.
3. La fórmula general de una secuencia
Una secuencia es una secuencia de números ordenados en un orden determinado. El atributo esencial de su connotación es la ley que determina esta secuencia de números. Esta ley suele expresarse mediante la fórmula f(n).
Aunque estas dos fórmulas generales son diferentes en forma, representan. la misma secuencia, así como no todas las relaciones funcionales pueden expresarse mediante expresiones analíticas. Es lo mismo, no todas las secuencias pueden escribir su fórmula general, aunque alguna secuencia tiene una fórmula general, pero en forma, no es necesariamente la misma; Solo se conoce el término finito delante de una secuencia y no hay otra explicación. La secuencia no se puede determinar y la fórmula general es aún más incierta. Por ejemplo: la secuencia 1, 2, 3, 4, ... ,
Los términos posteriores escritos por la fórmula son diferentes. Por lo tanto, la fórmula general La inducción no solo debe mirar sus primeros términos, sino también confiar en las reglas de composición de la secuencia, observar y analizar más. , encuentre verdaderamente las reglas internas de la secuencia y escriba su fórmula general a partir de los primeros términos de la secuencia. No existe un método general a seguir.
Nuevamente, enfatizamos los siguientes puntos al comprender lo general. fórmula de una secuencia:
(1) La fórmula general de una secuencia es en realidad un conjunto de enteros positivos N* o sus subunidades finitas El conjunto {1, 2,...,n} es la expresión de la función del dominio.
(2) Si conoce la fórmula general de la secuencia, utilice 1, 2, 3,... para reemplazarla a su vez. La n en la fórmula puede. usarse para descubrir los términos de esta secuencia; al mismo tiempo, la fórmula del término general de la secuencia también se puede usar para determinar si un determinado número es un elemento en una determinada secuencia y, de ser así, qué número es.
(3) Así como todas las relaciones funcionales no necesariamente tienen expresiones analíticas, no todas las secuencias de números tienen fórmulas generales.
Por ejemplo, la aproximación insuficiente de 2 es exacta a 1 , 0.1, 0.01, La secuencia 1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, ... compuesta por 0.001, 0.0001, ... no tiene fórmula general.
(4) La fórmula general de alguna secuencia puede no necesariamente tener la forma, como en el ejemplo:
(5) Para algunas secuencias, solo se dan los primeros elementos y no se dan sus reglas de composición. Entonces, la fórmula general de la secuencia puede. se resumirá solo a partir de los primeros elementos No.
4. Imagen de la secuencia
Para el número de secuencia de cada elemento en la secuencia 4, 5, 6, 7, 8. , 9, 10
Existe la siguiente correspondencia con este artículo:
Número de serie: 1234567
Artículo: 45678910
Es decir, lo anterior puede considerarse como una colección. de números de serie. El mapeo de otro conjunto de números. Por lo tanto, desde la perspectiva del mapeo y las funciones, la secuencia puede considerarse como un dominio cuyo dominio es el conjunto entero positivo N* (o su subconjunto finito {1, 2, 3). ,..., n} ), cuando la variable independiente toma valores de pequeño a grande, corresponde a una secuencia de valores de función. La función aquí es una función especial y su variable independiente solo puede tomar números enteros positivos.
Debido a la secuencia de El término es el valor de la función, el número de secuencia es la variable independiente y la fórmula del término general de la secuencia es la función correspondiente y la fórmula analítica.
La secuencia es una función especial y la secuencia se puede representar intuitivamente mediante imágenes.
Las secuencias numéricas se representan mediante imágenes. Puede utilizar el número de serie como abscisa y el elemento correspondiente como ordenada. para representar una secuencia Al dibujar, por conveniencia, dos coordenadas en el plano Sistema de coordenadas cartesianas Las longitudes unitarias tomadas en el eje pueden ser diferentes A partir de la representación gráfica de la secuencia, podemos ver intuitivamente los cambios en la secuencia. , pero no es preciso.
Compare la secuencia con la función La secuencia es una función especial, especial en El dominio de definición es un conjunto de enteros positivos o un conjunto compuesto de enteros positivos continuos finitos encabezados por. 1, y su imagen es un número infinito o finito de puntos aislados.
5. Secuencia recursiva
Una pila de tubos de acero, apilados en siete capas. cada capa de arriba a abajo forma una secuencia: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. ①
Secuencia ① También se puede dar de la siguiente manera: el número de tubos de acero en la primera La capa de arriba a abajo es 4, y la cantidad de tubos de acero en cada capa siguiente es 1 más que la cantidad de tubos de acero en la capa superior.
Ejercicios sincrónicos
1. En la sucesión conocida {an}, an=n2+n, entonces a3 es igual a ()
A.3B. 9
C.12D.20
Respuesta: C
2. Entre las siguientes secuencias, ¿cuál es a la vez una secuencia creciente y una secuencia infinita ()
A.1, 12, 13, 14,…
B.-1,-2,-3,-4,…
C.- 1,-12 , -14, -18,…
D.1, 2, 3,…, n
Análisis: Elija C. Para A, an=1n, n ∈N*, es una secuencia infinita decreciente para B, an=-n, n∈N*, también es una secuencia infinita decreciente para C, an=-(12)n-1; , es una secuencia creciente infinita.
3. Cuál de las siguientes afirmaciones es incorrecta ()
A. Cualquier término de una secuencia se puede encontrar según la fórmula general
p>
B. Cualquier secuencia puede Hay fórmulas de términos generales
C. Una secuencia puede tener varias fórmulas de términos generales en diferentes formas
D. Algunas secuencias pueden no tener términos
Análisis: Seleccione B. No todas las secuencias numéricas tienen fórmulas de términos generales, como 0,1,2,1,0,….
4. secuencia 23, 45, 67, 89,… es ( )
A.1617B.1819
C.2021D.2223
Análisis: Elija C. De la pregunta, sabemos que la fórmula general de la secuencia es an=2n2n +1,
∴a10=2×102×11=2021. Por lo tanto, elija C.
A.3a1B.2a1<. /p>
C.4a1D.1
Análisis: elija C. Asigne valores a n en la fórmula recursiva en secuencia Cuando n = 2, a2 = 2a1; a3=32a2=3a1; cuando n=4, a4=43a3=4a1.
II
1. Definición de desigualdad
En el mundo objetivo, desigual. las relaciones entre cantidades son ubicuas y usamos símbolos matemáticos para conectarlas. Se usan dos números o expresiones algebraicas para expresar la desigualdad entre ellos. Las expresiones que contienen estos signos de desigualdad se llaman desigualdades.
2. Compara la magnitud. de dos números reales
Dos números reales El tamaño de está definido por las propiedades operativas de los números reales
Hay a-b>0?;a-b=0?;a-b<0? .
Además, si b>0, entonces hay >1?;=1?;<1?.
Se puede resumir como: método de diferencias, método del cociente, método de la cantidad intermedia, etc.
3. Propiedades de las desigualdades
(1) Simetría: a>b?;
(2) Transitividad: a>b , b>c?;
(3) Aditividad : a>b?a+cb+c, a>b, c>d?a+cb+d;
( 4) Multiplicabilidad: a>b, c>0?ac>bc ;a>b>0, c>d>0?;
(5) Exponencial: a>b>0? N, n≥2);
(6) Puede precipitarse: a>b>0 (n∈N, n≥2).
Revisar la guía
1. Habilidades del método de deformación del método de diferencias de "una técnica": la deformación es la clave en el método de diferencias, a menudo factorización o formulación.
2. Método de coeficiente indeterminado de "un método": al encontrar el rango de una expresión algebraica, primero use la expresión algebraica conocida para expresarla La expresión objetiva, luego use la regla de igualdad polinomial para encontrar los parámetros y finalmente use las propiedades de las desigualdades para encontrar el rango de la expresión objetiva.
3. "Dos propiedades comunes"
(1) Propiedades recíprocas: ①a>b, ab>0?<;②a<0
③a>b>0,0 ;
④0
(2) Si a>b>0, m>0, entonces
①Propiedades de fracciones propias: (b-m>0);
② Propiedades de fracciones impropias: >;0).
Tres
1. Los valores de x e y que satisfacen las desigualdades lineales binarias (grupos) constituyen un par de números ordenados (x). , y ), se llama solución de una desigualdad lineal (grupo) de dos variables, y el conjunto de todos esos pares de números ordenados (x, y) se llama conjunto solución de una desigualdad lineal (grupo) de dos variables.
2. Cada solución (x, y) de una desigualdad lineal (grupo) de dos variables corresponde a un punto del plano como coordenadas de un punto, y el conjunto solución de una desigualdad lineal (grupo ) de dos variables corresponde a las coordenadas rectangulares del plano Un semiplano (área plana) en el sistema.
3. Línea l: Ax+By+C=0 (A y B no son todos cero) divide el plano coordenado en dos partes, una parte (la mitad del plano) corresponde a la desigualdad lineal binaria Ax. +By +C>0 (o ≥0), y la otra parte corresponde a la desigualdad lineal binaria Ax+By+C<0 (o ≤0).
4. Dada el área del plano, exprésala con una desigualdad (grupo). El método es: elige cualquier punto fuera de todas las líneas rectas (como el origen (0, 0) de esta pregunta), y sustituye sus coordenadas en Ax +By+C, puedes determinar la desigualdad correspondiente juzgando si es positiva o negativa.
5. El área del plano representada por una desigualdad lineal de dos variables es un semiplano dividido por la línea recta correspondiente. Generalmente, se puede determinar sustituyendo puntos especiales en la prueba de desigualdad lineal de dos variables. Cuando la línea recta no pasa por el origen, a menudo se selecciona la prueba del origen. Cuando la línea recta pasa por el origen, (1, 0) o (0, 1) a menudo se sustituyen en la prueba. las desigualdades lineales de dos variables es la parte común del área plana representada por cada una de sus desigualdades. Nota El significado de si el límite es una línea continua o una línea discontinua. "Las líneas definen límites, los puntos definen áreas".
6. El par de números ordenados (x, y) formado por los valores de los números enteros x e y que satisfacen la desigualdad lineal (grupo) de dos variables se llama solución de esta desigualdad lineal ( grupo) de dos variables. Los puntos correspondientes a todas las soluciones enteras se llaman puntos enteros (también llamados puntos de cuadrícula) y todos están dentro del área plana representada por esta desigualdad lineal binaria (grupo).
7. Al dibujar el área plana representada por la desigualdad lineal de dos variables Ax+By+C≥0, el límite debe dibujarse como una línea continua y la desigualdad lineal de dos variables Ax+By. Se debe dibujar +C>0. Al definir un área plana, el límite debe dibujarse como una línea de puntos.
8. Si el punto P (x0, y0) y el punto P1 (x1, y1) están en el mismo lado de la recta l: Ax+By+C=0, entonces AxByC y Ax1+Byl +C tiene el mismo signo si el punto P(x0, y0) y el punto P1(x1, y1) están a ambos lados de la recta l: Ax+By+C=0, entonces AxByC; y Ax1+Byl+C tienen signos opuestos.
9. Los pasos para abstraer desigualdades lineales (grupos) de dos variables de problemas prácticos son:
(1) Configurar variables según el significado de la pregunta;
(2) Analizar las variables del problema y enumerar las desigualdades entre las constantes y las variables x e y en función de cada relación de desigualdad;
(3) Realizar cada desigualdad junto con las variables x y y significativo Los rangos reales, en conjunto, forman un grupo de desigualdades.