Liu Zhong, ciudad de escuela secundaria de Yongfeng, provincia de Jiangxi
Primero, encuentre la ecuación estándar de la hipérbola
Encuentre la hipérbola o (a, b >) ecuación estándar; 0), generalmente usa los conceptos y propiedades relacionados de la hipérbola combinados con otros conocimientos para encontrar directamente A y B o usa el método de coeficiente indeterminado.
Ejemplo 1 Encuentra el * * * yugo de la hipérbola La ecuación de la hipérbola tiene una * * asíntota común con la hipérbola y pasa por este punto.
Para resolver el sistema de ecuaciones hiperbólicas que tienen una asíntota común con la hipérbola, sustituye los puntos para obtener, ∴La ecuación de la hipérbola es, de la definición de * * * hipérbola yugo, podemos obtener esta hipérbola La ecuación de la hipérbola *yugo es.
Comentar este ejemplo es un tipo de problema "Encontrar la ecuación hiperbólica de la hipérbola conocida * * * asíntota". En términos generales, la ecuación de una hipérbola con una asíntota común * * * se puede establecer como (k? r y k≠0); la ecuación hiperbólica de un punto concéntrico se puede establecer como, esta pregunta utiliza el método de coeficiente indeterminado.
En el Ejemplo 2, el producto de las longitudes del semieje real y el semieje imaginario de la hipérbola es, sus dos focos son F1 y F2 respectivamente, la recta pasa por F2 y la El ángulo con la línea recta F1F2 es, y el segmento de línea El punto de intersección de la línea perpendicular media de F1F2 es P, el punto de intersección del segmento de línea PF2 y la hipérbola es q, y luego se establece un sistema de coordenadas apropiado para resolver la ecuación de hipérbola.
La solución toma como origen el punto medio de F1F2, y utiliza la recta entre F1 y F2 como 0), planteemos la ecuación de la siguiente manera: su intersección con el eje Y, y el Las coordenadas del punto Q se obtienen mediante la fórmula de coordenadas del punto fijo, que se puede obtener a partir del punto Q en la hipérbola, y,
La ecuación de la hipérbola es.
Para evaluar este ejemplo se utilizó el método directo.
2. Aplicación de la definición de hipérbola
1. Aplicación de la primera definición
Ejemplo 3 Sean F1 y F2 los dos focos de una hipérbola, el punto P está en la hipérbola y satisface ∠F1PF2=900 Encuentra el área de δf 1pf 2.
La solución se conoce a partir de la primera definición de hipérbola, encontrando los cuadrados de ambos lados.
∵∠F1PF2=900,∴,
∴ ,
∴ .
2. >
p>
Ejemplo 4 Dada la excentricidad de la hipérbola, los focos izquierdo y derecho son F1 y F2 respectivamente, y la directriz izquierda es L. ¿Puedes encontrar un punto P en la rama izquierda de la hipérbola? hipérbola de modo que la distancia D de P a L sea el término medio de la razón?
Para resolver el punto de existencia, entonces, a partir de la segunda definición de hipérbola,
∴, nuevamente,
es decir, resolverlo y obtenerlo,
∵ ,
∴, contradictorio, por lo que el punto p no existe.
Comente las dos situaciones anteriores si no se utiliza la definición de hipérbola para obtener el radio focal,
o su relación, el proceso de resolución del problema será mucho más complicado.
Tercero, aplicación de las propiedades de la hipérbola
Ejemplo 5 Supongamos que la distancia semifocal () de la hipérbola es c,
La recta L pasa por ( a, 0) y (0, b), se sabe que la distancia al origen es,
Encuentra la excentricidad de la hipérbola.
Resolver la excentricidad de la hipérbola aquí es un problema geométrico. ¿Cómo solucionarlo?
¿Qué condiciones se relacionan con ello en la pregunta? Como se muestra en la Figura 1,
Ab=Según el método del área, considere,
Sepa esto, es decir, preste atención
Cuarto, con el double Problemas de trayectoria relacionados con curvas
Ejemplo 6: Tomando el punto móvil P como centro del círculo y los círculos de ⊙A: y ⊙B: están circunscritos, encuentre la ecuación de trayectoria del punto P.
Resuelve el punto fijo P(x, y), y el radio del círculo en movimiento es r.
Según la definición de hipérbola, la trayectoria del punto P es la rama derecha de la hipérbola con A y B como foco.
El ejemplo 7 se muestra en. Figura 2. Desde la hipérbola Dibuje una línea recta vertical en cualquier punto Q, con el pie vertical n, y encuentre la ecuación de la trayectoria del punto P en el segmento de línea QN.
Analíticamente, el punto p se mueve con el movimiento de q, y el punto q está en una hipérbola conocida.
Entonces podemos encontrar la relación de coordenadas entre el punto Q y el punto P y utilizar el método de transferencia para lograr el objetivo.
Supongamos que las coordenadas del punto en movimiento p son, y las coordenadas del punto q son,
Entonces las coordenadas del punto n son.
El punto n está en una línea recta, ∴.........................
PQ es perpendicular a la recta,
Es decir...(2)
La solución simultánea de ① y ②. El punto n está sobre una hipérbola,
∴ ,
Es decir, simplificado, la ecuación de trayectoria del punto P es:
Verbo (abreviatura de verbo) hiperbólico correlación Problema integral
Se sabe que el ejemplo 8 es una hipérbola. Sus puntos de enfoque izquierdo y derecho son F1 y F2 respectivamente. La recta L pasa por su foco derecho F2 y corta la rama derecha de la hipérbola en los puntos A y B para encontrar el mínimo.
Solución,,(,). Según la segunda definición de hipérbola, obtenemos
, ,
∴ ,
Supongamos que el ángulo de inclinación de la recta l es θ, ∵l y el hipérbola La rama derecha se cruza en dos puntos a, b, ∴.
(1) Cuando la ecuación de l sea, sustitúyala en la ecuación hiperbólica.
.
Por el teorema de Vietta:.
∴ .
②Cuando, la ecuación de l es, ∴, ∴.
Como se menciona en ① ②, el valor mínimo es.
Pedir adopción es una respuesta satisfactoria.