Puntos de conocimiento 2 de los cursos obligatorios de matemáticas de secundaria
Capítulo 1 Geometría espacial
1.1 Características estructurales de columnas, conos, conos y esferas
1.2 Tres vistas y diagramas intuitivos de la geometría espacial
1 Tres vistas:
Vista frontal: de adelante hacia atrás
Vista lateral: de izquierda a derecha
Vista superior: de arriba a abajo
2 Principios para dibujar tres vistas:
Alinear longitud, alinear altura e igual ancho
3 Dibujo intuitivo: método de medición oblicua
4 pasos del método de medición oblicua:
(1) Las líneas paralelas al eje de coordenadas siguen siendo paralelas al eje de coordenadas;
p>(2). La longitud de la línea paralela al eje y se reduce a la mitad y la longitud de la línea paralela a los ejes x y z permanece sin cambios;
(3). ). El método de dibujo debe estar bien escrito.
5 pasos para dibujar un cuboide usando el método oblicuo: (1) dibujar el eje (2) dibujar la base (3) dibujar los bordes laterales (4) completar el dibujo
1.3 Geometría espacial Área de superficie y volumen
(1) Área de superficie de geometría espacial
1 Área de superficie de prisma y pirámide: Suma del área de cada cara
2 Área de superficie del cilindro
p>
3 Área de superficie de un cono
4 Área de superficie de un cono truncado
5 Área superficial de una esfera
(2) Volumen de una geometría espacial
1 Volumen de un cilindro
2 Volumen de un cono
3 Volumen de un cono
4 Volumen de una esfera
No Capítulo 2 Relación posicional entre rectas y planos
2.1 Relaciones posicionales entre puntos espaciales, líneas rectas y planos
2.1.1
1 Plano Significado: El plano está infinitamente extendido
2 Cómo dibujar y representar planos
(1) Cómo dibujar planos: un plano horizontal generalmente se dibuja como un paralelogramo, con el ángulo agudo dibujado como 450, y horizontalmente el lado se dibuja dos veces más largo que el lado adyacente. (como se muestra en la imagen)
(2) El plano generalmente se representa con las letras griegas α, β, γ, etc., como plano α, plano β, etc., y también puede ser expresado por las letras griegas α, β, γ, etc. Los cuatro vértices de un paralelogramo o los dos vértices opuestos se representan con letras mayúsculas, como el plano AC, el plano ABCD, etc.
3 Tres axiomas:
(1) Axioma 1: Si dos puntos de una recta están en un plano, entonces la recta está en este plano
>El símbolo se expresa como
A∈L
B∈L => L α
A∈α
B∈α
La función del Axioma 1: Determinar si una línea recta está en un plano
(2) Axioma 2: Hay y solo hay un plano que pasa por tres puntos que no están en una línea recta.
El símbolo se expresa como: A, B, C tres puntos no son *** recta => Existe y solo hay un plano α,
De modo que A∈α, B∈α, C∈ α.
La función del Axioma 2: la base para determinar un plano.
(3) Axioma 3: Si dos planos que no se superponen tienen un punto común, entonces tienen y solo una línea recta común que pasa por el punto.
La representación simbólica es: P∈α∩β =>α∩β=L, y P∈L
El papel del Axioma 3: la base para determinar si dos planos se cruzan
2.1.2 La relación posicional entre rectas en el espacio
1 Dos rectas en el espacio tienen las siguientes tres relaciones:
Rectas que se cruzan: en el mismo plano, Hay y sólo hay un punto común;
Rectas paralelas: en un mismo plano, no hay ningún punto común;
Rectas fuera del plano: diferentes en cualquier avión, no hay punto justo.
2 Axioma 4: Dos rectas paralelas a una misma recta son paralelas entre sí.
La representación simbólica es: Supongamos que a, b, c son tres rectas
a∥b
c∥b
Énfasis : axioma 4 Esencialmente, significa que el paralelismo es transitivo y esta propiedad se aplica tanto al plano como al espacio.
El papel del Axioma 4: la base para juzgar que dos líneas rectas en el espacio son paralelas.
3 Teorema de los ángulos congruentes: Si los dos lados de dos ángulos en el espacio son paralelos, entonces los dos ángulos son iguales o complementarios
4 Notas:
① El tamaño del ángulo formado por a' y b' sólo está determinado por las posiciones mutuas de a y b, y no tiene nada que ver con la elección de O. Por simplicidad, el punto O generalmente se toma en una de las dos rectas. ;
② El ángulo θ∈(0, ) formado por dos rectas de diferentes caras
③ Cuando el ángulo formado por dos rectas de diferentes caras es un ángulo recto, decimos que las dos rectas con caras diferentes son mutuamente verticales, registradas como a⊥b;
④ Dos rectas son perpendiculares entre sí, y hay dos situaciones: vertical en un lado y vertical en diferentes lados;
⑤ En el cálculo, dos líneas rectas generalmente son El ángulo formado por dos líneas rectas con caras diferentes se convierte en el ángulo formado por dos líneas rectas que se cruzan.
2.1.3 — 2.1.4 Relaciones posicionales entre rectas y planos, y planos en el espacio
1. Existen tres relaciones posicionales entre rectas y planos:
(1) Una línea recta está en un plano - hay innumerables puntos comunes
(2) Una línea recta corta un plano - solo hay un punto común
( 3) Las líneas rectas son paralelas a un plano; no existe un punto común.
Señala: cuando una línea recta se cruza o es paralela a un plano, se denomina colectivamente línea recta fuera del plano. , que se puede expresar mediante a α
a α a∩α=A a∥α
2.2 Juicio de rectas y planos paralelos y sus propiedades
. 2.2.1 Juicio de líneas y planos paralelos
1. Teorema para determinar si una línea recta es paralela a un plano: si una línea recta fuera de un plano es paralela a una línea recta en este plano, entonces la La recta es paralela a este plano.
La abreviatura es: si las rectas son paralelas, entonces las rectas y las superficies son paralelas.
Representación de símbolos:
a α
b β => a∥α
a∥b
2.2.2 Determinar si un plano es paralelo a otro plano
1 Determinar si dos planos son paralelos: Si dos líneas de intersección en un plano son paralelas a otro plano, entonces los dos planos son paralelos.
Representación de símbolos:
a β
b β
a∩b = P β∥α
a∥α
b∥α
2. Hay tres formas de juzgar que dos planos son paralelos:
(1) Usar definición;
(2) Teorema de determinación;
(3) Dos planos perpendiculares a una misma recta son paralelos.
2.2.3 — 2.2.4 Propiedades de las rectas y planos, y de los planos paralelos a planos
1: Una recta es paralela a un plano, luego cualquier recta que pase. a través de esta recta La intersección de un plano con este plano es paralela a esta recta.
La abreviatura es: si las rectas y superficies son paralelas, las rectas son paralelas.
Representación de símbolos:
a∥α
a β a∥b
α∩β= b
Función: Este teorema se puede utilizar para resolver el problema de paralelas entre rectas.
2. Teorema: Si dos planos intersecan a un tercer plano al mismo tiempo, entonces sus rectas de intersección son paralelas.
Representación de símbolos:
α∥β
α∩γ= a a∥b
β∩γ= b
Función: Se puede concluir que una recta es paralela a una recta desde un plano paralelo a un plano
2.3 Juicio de la perpendicularidad de la recta y el plano y sus propiedades
2.3.1 Juicio de perpendicularidad de recta y plano
1 Definición
Si la recta L es perpendicular a cualquier recta del plano α, decimos que la recta L y el plano α son perpendiculares entre sí, denotados como L⊥α, la línea recta L se llama perpendicular al plano α, y el plano α se llama perpendicular a la línea recta L. Como se muestra en la figura, cuando la línea recta es perpendicular al plano, su único punto común P se llama pie vertical.
L
p
α
2. Teorema de determinación: Una recta es perpendicular a dos rectas que se cortan en un plano, Entonces la recta es perpendicular a este plano.
Notas: a) La condición de "dos líneas rectas que se cruzan" en el teorema no se puede ignorar.
b) El teorema encarna la relación entre "una línea recta y un plano perpendicular; " y "una línea recta y una línea recta" Ideas matemáticas de transformación vertical y mutua.
2.3.2 Determinar si un plano es perpendicular a un plano
1. El concepto de ángulo diédrico: representa una figura compuesta por dos semiplanos que parten de una recta en el espacio.
A
lanzadera l β
B
α
2 Notación del ángulo diédrico: ángulo diédrico α -l-β o α-AB-β
3. El teorema de determinación de que dos planos son perpendiculares entre sí: si un plano pasa por la perpendicular del otro plano, entonces los dos planos son perpendiculares. .
2.3.3 — 2.3.4 Propiedades de las rectas y planos, y de los planos perpendiculares a planos
1. Teorema: Dos rectas perpendiculares a un mismo plano son paralelas.
2 Teorema de la propiedad: Si dos planos son perpendiculares, entonces la recta perpendicular a la línea de intersección en un plano es perpendicular al otro plano.
Diagrama de bloques de la estructura del conocimiento de este capítulo
Capítulo 3 Rectas y ecuaciones
3.1 Ángulo de inclinación y pendiente de rectas
3.1 Ángulo de inclinación y pendiente
1. El concepto de ángulo de inclinación de una recta: Cuando la recta l corta el eje x, tomando el eje x como punto de referencia, se forma el ángulo α entre los La dirección positiva del eje x y la dirección hacia arriba de la línea recta l se llama línea recta l. El ángulo de inclinación En particular, cuando la línea recta l es paralela o coincidente con el eje x, α = 0° es. especificado.
2. El rango de valores del ángulo de inclinación α: 0°≤α<180°.
Cuando la línea recta l es perpendicular al eje x, α= 90°.
3. La pendiente de la recta:
El ángulo de inclinación α de una recta (α≠90°) se llama pendiente de esta recta. La pendiente a menudo se representa con la letra k minúscula, es decir,
k = tanα
⑴ Cuando la línea recta l es paralela o coincide con el eje x, α=0 °, k = tan0°=0;
⑵Cuando la recta l es perpendicular al eje x, α= 90°, k no existe.
Se puede observar de esto que a El ángulo de inclinación α de la recta l debe existir, pero la pendiente k no necesariamente existe.
4. La fórmula de la pendiente de la recta:
Dada. dos puntos P1 (x1, y1), P2 (x2, y2), x1≠x2, use las coordenadas de dos puntos para expresar la pendiente de la recta P1P2:
Fórmula de pendiente:
3.1.2 Paralelo y perpendicularidad de dos rectas
p>
1. Dos rectas tienen pendientes y no se superponen. Si son paralelas, entonces sus pendientes son iguales; si sus pendientes son iguales, entonces son paralelas, es decir
Nota: Arriba La equivalencia de se establece bajo la premisa de que las dos rectas no coinciden y la pendiente existe. Sin esta premisa, se llega a la conclusión. no aguanta. Es decir, si k1=k2, entonces debe haber L1∥L2
2. Ambas rectas tienen pendientes. Si son perpendiculares entre sí, entonces sus pendientes son recíprocas negativas entre sí; si sus pendientes son recíprocas negativas, entonces son perpendiculares entre sí, es decir
3.2.1 Ecuación punto-pendiente de una recta
1. recta: una recta pasa por un punto y la pendiente es
p>
2. Ecuación pendiente-intersección de una recta: Se sabe que la pendiente de la recta es, y el punto de intersección con el eje es
3.2.2 Ecuación de dos puntos de la recta
3.2.3 La ecuación general de una recta
1. La ecuación general de una recta: una ecuación lineal de dos variables (A y B no son 0 al mismo tiempo)
2.
3.3 Las coordenadas de intersección y fórmula de distancia de líneas rectas
3.3.1 Las coordenadas de intersección de dos líneas rectas
1. de dos rectas
L1: 3x+4y-2=0
L1: 2x+y +2=0
Solución: Resuelve el sistema de ecuaciones
Obtener x =-2, y=2
Entonces las coordenadas de la intersección de L1 y L2 son M (-2, 2)
3.3. 2 Distancia entre dos puntos
La fórmula de la distancia entre dos puntos
3.3.3 La fórmula de la distancia de un punto a una recta
1. La fórmula de la distancia de un punto a una recta:
La distancia de un punto a una recta es:
2. La fórmula de la distancia entre dos rectas paralelas:
Se conocen dos rectas paralelas La ecuación general de la suma de rectas es: ,
: , entonces la distancia entre y es
Capítulo 4 Círculos y Ecuaciones
4.1.1 Ecuación estándar de una circunferencia
1 Ecuación estándar de una circunferencia:
Ecuación de una circunferencia con centro A(a,b) y radio r<. /p>
2. Punto y círculo Cómo juzgar la relación:
(1) >, el punto está fuera del círculo
(2) =, el punto es sobre la circunferencia
(3) < , el punto Dentro de una circunferencia
4.1.2 Ecuación general de una circunferencia
1.
2. Características de una ecuación general de un círculo:
(1)①Los coeficientes de x2 e y2 son iguales, no iguales a 0.
②No existe un término cuadrático como xy.
(2) Hay tres coeficientes específicos D, E y F en la ecuación general de un círculo. Por lo tanto, solo es necesario encontrar estos tres coeficientes y se determina la ecuación del círculo.
(3) En comparación con la ecuación estándar de un círculo, es una ecuación cuadrática binaria especial con características algebraicas obvias. La ecuación estándar de un círculo señala las coordenadas del centro del círculo, el tamaño. del radio y las características geométricas más obvias.
4.2.1 La relación posicional entre un círculo y un círculo
1 Utilice la distancia desde un punto a una línea recta para determinar la relación posicional entre una línea recta y un círculo. .
Supongamos que la línea recta: , el círculo: , el radio del círculo es, la distancia desde el centro del círculo a la línea recta es, entonces la base para juzgar la relación posicional entre la línea recta y el círculo es el siguiente:
(1 ) En aquel tiempo, la línea recta y el círculo estaban separados
(2) En ese momento, la línea recta y el círculo; eran tangentes;
(3) En ese momento, la línea recta y el círculo se cruzaban
4.2.2 La relación posicional entre círculos
La relación posicional; entre dos círculos.
Supongamos que la longitud de la línea que conecta los centros de los dos círculos es, entonces la base para juzgar la relación posicional entre los círculos es la siguiente:
(1) En ese tiempo, los círculos estaban separados unos de otros;
(2) En ese momento, círculos y círculos estaban circunscritos
(3) En ese momento, círculos y círculos se cruzaban; /p>
(4) En ese momento, círculos y círculos Inscritos;
(5) En ese momento, el círculo y el círculo están incluidos;
4.2.3 Aplicación de ecuaciones de rectas y círculos
1. Utilizar ángulos rectos planos. El sistema de coordenadas resuelve la relación posicional entre rectas y círculos;
2.
Los pasos para usar el método de coordenadas para resolver problemas geométricos:
Paso 1: Establecer un sistema de coordenadas rectangular plano apropiado, usar coordenadas y ecuaciones para representar los elementos geométricos en el problema y transformar la geometría plana. problema en un problema algebraico;
Paso 2: Resolver el problema algebraico mediante operaciones algebraicas;
El tercer paso: "traducir" los resultados de la operación algebraica en conclusiones geométricas.
4.3.1 Sistema de Coordenadas Cartesianas Espaciales
1. El punto M corresponde al conjunto real ordenado único, , , son respectivamente las coordenadas de P, Q y R en los ejes , y Coordenadas
2. Una matriz real ordenada, correspondiente a un punto en el sistema de coordenadas rectangulares del espacio.
3 Las coordenadas de cualquier punto M en el espacio se pueden representar mediante una matriz real ordenada. , Esta matriz se llama coordenadas del punto M en el sistema de coordenadas rectangular de este espacio, denotado por M , se llama coordenada de abscisa del punto M, se llama coordenada de ordenadas del punto M y se llama coordenada vertical del punto M .
4.3.2 La fórmula de la distancia entre dos puntos en el espacio
1 La fórmula de la distancia entre cualquier punto en el espacio y el punto