La ciencia es un bien común de la humanidad, y la tarea de los verdaderos científicos es enriquecer este tesoro de conocimiento que puede beneficiar a toda la humanidad. A continuación se muestran las fórmulas y teoremas de vectores espaciales en matemáticas de secundaria que compilé para ti. Espero que te gusten.
Vector espacial
1. Puntos de conocimiento del vector espacial
1. El concepto de vector espacial:
Definición: La definición y paz del vector espacial Al igual que los vectores, aquellas cantidades con magnitud y dirección se llaman vectores, y los segmentos de línea dirigidos todavía se usan para representar vectores espaciales, y los segmentos de línea dirigidos con la misma dirección e igual longitud representan el mismo vector o vectores iguales.
Una cantidad con magnitud y dirección se llama vector Nota:
⑴ Una traslación en el espacio es un vector
⑵ Los vectores generalmente usan segmentos de línea dirigidos para representar la misma dirección. Un segmento de recta largo dirigido representa el mismo o igual vector
⑶ Dos vectores en el espacio se pueden representar mediante dos segmentos de recta dirigidos en el mismo plano
ⅰ Teorema: Si. tres vectores No * superficie, entonces, para cualquier vector en el espacio, existe una matriz real ordenada única x, y, z, tal que. Llamemos base del espacio y llamémosle vectores base.
ⅱBase ortogonal: Si los tres vectores base de una base en el espacio son dos perpendiculares entre sí, entonces esta base se llama base ortogonal.
ⅲ Base ortogonal unitaria: cuando los tres vectores base de una base ortogonal son todos vectores unitarios, se denomina base ortogonal unitaria, generalmente representada por.
ⅳ Cuatro puntos en el espacio están en la superficie: supongamos que O, A, B y C son cuatro puntos en la superficie, entonces, para cualquier punto P en el espacio, existe una matriz real ordenada única x, y, z, hacer.
2. Operación de los vectores espaciales
2. Reseñas destacadas:
1. La geometría sólida se centra inicialmente en la investigación cualitativa, mientras que los vectores espaciales se centran en la investigación cuantitativa. Investigación. La introducción de vectores espaciales proporciona una herramienta muy eficaz para resolver los problemas de relación posicional y medición de gráficos en el espacio tridimensional.
2. De acuerdo con el teorema básico de los vectores espaciales, surgió el método vectorial que utiliza vectores base para resolver problemas de geometría sólida, se estableció un sistema de coordenadas espaciales rectangulares y un método de coordenadas que utiliza coordenadas espaciales para estudiar. Se formaron los gráficos espaciales. Sus soluciones suelen seguir los "tres pasos": primero, convertir el problema vectorial, segundo, realizar operaciones vectoriales y tercero, volver al problema gráfico. Su esencia es la aplicación de la idea de combinar números y formas y la idea de transformación equivalente.
3. La operación de los números reales y la operación de los vectores están relacionadas y son diferentes. El producto cuantitativo de los vectores satisface la ley conmutativa y la ley distributiva, pero no satisface la ley asociativa. el proceso de realizar operaciones relacionadas con productos en cantidad no se puede combinar a voluntad. Vale la pena mencionar que: la fórmula del cuadrado perfecto y la fórmula de la varianza del cuadrado siguen siendo aplicables. La operación del producto cuantitativo es la misma que la operación de polinomios en muchos aspectos, especialmente la eliminación de corchetes. Las dos fórmulas siguientes son más comunes. utilizado. Asegúrese de recordarlos y aprenderlos.
2. Representación de coordenadas del vector espacial:
(1) Sistema de coordenadas rectangular espacial:
① Sistema de coordenadas rectangular espacial O-xyz, seleccionado en el espacio A punto O y una base ortogonal unitaria, con el punto O como origen, establece tres ejes con la dirección como dirección positiva: eje x, eje y, eje z, todos se llaman ejes de coordenadas, el punto O se llama eje de coordenadas. origen, y el vector se llama vector de coordenadas, el plano que pasa por cada dos ejes de coordenadas se llama plano de coordenadas, que se denominan plano xOy, plano yOz y plano zOx respectivamente.
② Sistema de coordenadas cartesianas de la mano derecha: sostenga el eje z con la mano derecha cuando los cuatro dedos de la mano derecha giren del eje x positivo al eje y positivo en un ángulo de. 90°, el pulgar apunta en la dirección positiva del eje z;
③ Elementos componentes: punto (origen), línea (eje x, y, z), superficie (plano xOy, yOz). plano, plano zOx);
④ Coordenadas rectangulares espaciales Cómo dibujar el sistema: Al dibujar el sistema de coordenadas rectangulares espaciales O-xyz, generalmente haga ∠xOy=135° (o 45°), ∠yOz= 90°, el eje z es perpendicular al eje y, y las longitudes unitarias del eje z y del eje y son las mismas, la longitud unitaria en el eje x es la mitad del eje y (o z -axis);
(2) Representación de coordenadas del vector espacial:
① Sistema y vector de coordenadas rectangulares espaciales conocidos, y se establece como un vector de coordenadas (como se muestra en la figura). ),
Según el teorema básico de los vectores espaciales, existe una matriz real ordenada única llamada coordenadas del vector en este sistema de coordenadas rectangular, denotada como .
②En el sistema de coordenadas rectangular espacial O-xyz, para cualquier punto A en el espacio, corresponde a un vector Si, entonces la matriz ordenada (x, y, z) se denomina punto en este espacio. sistema de coordenadas rectangular Las coordenadas del punto A se registran como A(x, y, z), donde x se llama coordenada de abscisas del punto A, y se llama coordenada de ordenadas del punto A y z se llama coordenada vertical de punto A. Al escribir las coordenadas de un punto, la distancia entre las tres coordenadas El orden no se puede cambiar.
③ Determinación de las coordenadas de cualquier punto en el espacio: dibuja tres planos (o planos verticales) paralelos al plano de coordenadas que pasan por P, e intersecan los ejes de coordenadas en tres puntos A, B y C respectivamente, │x│ =│OA│, │y│=│OB│, │z│=│OC│, cuando las direcciones de y son iguales, xgt 0, cuando las direcciones de y son opuestas, xlt 0, en; De la misma manera, se pueden confirmar y y z (en la foto).
④ Regulación: El punto inicial de todos los vectores espaciales es el origen del sistema de coordenadas. Por lo tanto, cualquier vector en el espacio corresponde a las coordenadas de su punto final uno a uno.
⑤Las coordenadas de un vector en el sistema de coordenadas cartesiano son iguales a las coordenadas del punto final del segmento de línea dirigido que representa este vector menos las coordenadas del punto inicial.
(3) Operación de coordenadas cartesianas del vector espacial:
⑦ Distancia entre dos puntos en el espacio:
⑧ Punto medio del segmento de línea espacial M (x, y , las coordenadas de z): ;
⑨ Ecuación esférica:
4. A través del punto fijo O, dibuja tres ejes numéricos mutuamente perpendiculares. Todos tienen O como origen y. generalmente tienen la misma longitud. Estos tres ejes se denominan eje z (eje horizontal), eje y (eje vertical) y eje z (eje vertical); en conjunto, se denominan ejes de coordenadas. Los ejes x e y generalmente están dispuestos en el plano horizontal, mientras que el eje z es la plomada y sus direcciones positivas deben cumplir con la regla de la mano derecha, es decir, estos tres ejes de coordenadas forman un espacio de coordenadas rectangular; sistema, y el punto O se llama origen de coordenadas.
5. Puntos especiales en el sistema de coordenadas del espacio rectangular:
(1) Coordenadas del punto (origen): (0, 0, 0); > (2) Las coordenadas de los puntos en la línea (eje de coordenadas): las coordenadas en el eje x son (x, 0, 0), las coordenadas en el eje y son (0, y, 0) y las coordenadas en el eje z son (0, 0, z).
(3) Las coordenadas de los puntos en el plano (plano xOy, plano yOz, plano zOx): las coordenadas en el plano son (x, y, 0), las coordenadas en el plano son (0, y, z) y las coordenadas en el plano son (x, 0, z)
6. Para hacer el vector perpendicular al eje z, siempre que z=0. De hecho, para hacer que el vector sea perpendicular a qué eje de coordenadas, siempre que la coordenada correspondiente del vector sea 0.
7. En el sistema de coordenadas espacial rectangular, la ecuación x=0 representa el plano yOz, la ecuación y=0 representa el plano zOx, la ecuación z=0 representa el plano xOy y la ecuación x =a representa el plano paralelo al plano yOz , la ecuación y=b representa el plano paralelo al plano zOx, la ecuación z=c representa el plano paralelo al plano xOy
8. siempre que y se sustituyan, se puede demostrar que las reglas de operación de los vectores espaciales son las mismas que las de los vectores planos.
9. Según el teorema básico de los vectores espaciales, cualquier vector en el espacio puede; ser generado por tres vectores en la superficie ilimitada del espacio. Tres vectores en cualquier superficie ilimitada pueden constituir el espacio. Este teorema es la base de la descomposición de vectores espaciales.